Comportamento Mecânico dos Cabos em Linhas de Transmissão de Energia Elétrica

Conceitos Básicos Comportamento Mecânico dos Cabos CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 3 Introdução 1 Projeto mecânico Dimensionamento de todos os elementos da linha de transmissão de forma a assegurar seu bom funcionamento face às solicitações de natureza mecânica a que é submetida CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Introdução 2 Linhas de transmissão Sistemas de alta tensão Normas rígidas Preservar a integridade física dos seres vivos Assegurar altos índices de segurança CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 Análise de um Vão Isolado 1 Situação hipotética linha de transmissão composta por um único vão CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II Análise de um Vão Isolado 2 a b a e b pontos de suspensão CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 Análise de um Vão Isolado 3 a b a e b pontos de suspensão ab vão A m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 8 Análise de um Vão Isolado 4 a b Catenária curva descrita pelo cabo CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 9 Análise de um Vão Isolado 5 a b Catenária curva descrita pelo cabo Ponto o vértice da catenária ponto mais baixo o da curva CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 10 Análise de um Vão Isolado 6 a b f Flecha m depende do comprimento do vão o da tração aplicada e do tipo de cabo f H Altura dos pontos de suspensão m H CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 11 Análise de um Vão Isolado 7 a b hs Altura de segurança m estabelecida por normas o em função de diversos fatores tais como a classe f H de tensão da linha e as características do local de passagem hs CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 12 Análise de um Vão Isolado 8 a b o São definidos também Peso unitário do cabo p kgfm Comprimento do cabo L m L A A CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 13 Cálculo das Trações 1 a b o Situação de equilíbrio Cabo tracionado CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 14 Cálculo das Trações 2 a b o Ponto M qualquer da catenária Como está a tração neste ponto M CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 15 Cálculo das Trações 3 a b o A tração em qualquer ponto é tangente à curva no ponto M T CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 16 Cálculo das Trações 4 a b o E deslocando o ponto M até o ponto o M T CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 17 Cálculo das Trações 5 a b o No ponto o não há componente vertical M T To CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 18 Equações de Equilíbrio 1 Análise do trecho OM a b o M T To α CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 19 Equações de Equilíbrio 2 Σ FVERTICAIS 0 Σ FHORIZONTAIS 0 a b o M T To α CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 20 Equações de Equilíbrio 3 Σ FVERTICAIS 0 peso do condutor no trecho T sen α a b o M T To α Σ FHORIZONTAIS 0 To T cos α CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 21 Equações de Equilíbrio 4 Para M b 2 p L T sen α To T cos α a b o T To α CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 22 Equações de Equilíbrio 5 A força de tração T equilibra as demais forças atuantes 2 p L T sen α To T cos α Força horizontal e constante Força vertical que vale o peso do condutor no semivão CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 23 Equações de Equilíbrio 6 Considerando que o comprimento do cabo relativo ao trecho OM vale s então a b o M T To α p s T sen α To T cos α To p s T cos T sen α α α To p s tg 1 ps CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 24 Equações de Equilíbrio 7 To constante T depende do ponto da curva Mínima ou máxima a b o M T To α α To p s tg 1 ps CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 25 Equações de Equilíbrio 8 T é mínima para α 0 T To T é máxima para α α Pontos de suspensão a e b T T a b o M T To α α α 2 To p L tg 1 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 26 Observações Para tamanhos práticos de vãos α assume valores pequenos T To Os máximos valores de tração aplicados deverão atender aos critérios de segurança estabelecidos em norma CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 27 Exemplo Linha de transmissão de 138 kV Vão isolado O cabo é tracionado com To 1545 kgf Dados do cabo empregado Tração de ruptura 7735 kgf Seção transversal 21030 mm2 Peso unitário 07816 kgfm Calcular a tração nos pontos de suspensão para Um vão de 350 m Um vão de 1000 m Admita que o comprimento do cabo é aproximadamente igual ao vão CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 28 Respostas Para A 350 m T 155104 kgf Para A 1000 m T 159366 kgf CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 29 Observações 1 Vão de 350 m Tamanho normal para uma LT de 138 kV Vão de 1000 m Muito grande Qual é a variação da tração nos pontos de suspensão em relação à To CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 30 Observações 2 Para o vão de 350 m ΔT 039 Para o vão de 1000 m ΔT 315 Com qual valor de vão ocorreria a ruptura do cabo 19394 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 3 Equações Básicas Catenária Flecha Comprimento do Cabo CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Catenária 1 a b o M T To α ps CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 Catenária 2 a b o M T To α ps x y CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 6 Catenária 3 dx dy z dx dy tg α a b o M T To α ps x y p s T sen α To T cos α To p s tg α Mas Definindo To p s z CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 Catenária 4 To p s z To ds p dz 2 2 dy dx ds ds dx dy Mas z dx dy 2 2 dy dx To p dz Como dx z dy 2 2 2 dx z dy I II CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 8 Catenária 5 To dx p z 1 z ln 2 2 2 2 dx z dx To p dz z2 1 To dx p dz To dx p z 1 dz 2 Substituindo II em I III Integrando III Ou ainda x To p 2 x To p 2 e z 1 z e z 1 z IV V CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 9 Catenária 6 dx dy z 2 e e z x To p x To p z dx y Top x senh z Subtraindo V de IV Como Ou ainda CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 10 Catenária 7 1 Top x cosh p To y Equação da catenária a b o M T To α ps x y CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 11 Catenária 8 n 1 n 6 1 6 4 1 4 2 1 2 1 n C x 6 C x 4 C x 2 C x 1 C x cosh p To C1 Função coseno hiperbólico Definindo n t 6 t 4 t 2 t 1 t cosh n 6 4 2 OBS Para linhas reais a série é rapidamente convergente Podese utilizar apenas dois termos CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 12 Catenária 9 n 1 n 6 1 6 4 1 4 2 1 2 1 n C x 6 C x 4 C x 2 C x 1 C x cosh 1 Top x cosh p To y 2 1 2 1 2 C x C y 2 To x2 p y 0 Voltando na equação da catenária CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 13 Catenária 10 2 To x2 p y 1 Top x cosh p To y Equações da catenária a b o M T To α ps x y Exata Aproximada Função hiperbólica x Parábola CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 14 Flecha 1 a b o f CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 15 Flecha 2 a b o f x y y x CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 16 Flecha 3 f y a b o f x y 2 x A A Substituindo nas equações da catenária Ponto de suspensão CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 17 Flecha 4 8 To p A f 2 1 2 C A cosh C f 1 1 Exata Aproximada a b o f Equações da flecha CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 18 Comprimento do Cabo 1 Comprimento de uma curva qualquer no plano xy 2 1 x x 2 dx dx dy 1 L x y x1 x2 C1 x senh z dx dy 2 1 x x 1 2 dx C x senh 1 L Para a catenária VI CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 19 Comprimento do Cabo 2 Integrando VI 1 1 C x senh C L Metade do cabo 2 x A 1 1 2 C A senh C L 1 1 2 C A senh 2 C L Comprimento total CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 20 Comprimento do Cabo 3 n 1 n n 5 1 5 5 3 1 3 3 1 1 C n 2 A C 5 2 A C 3 2 A 2 C A 2 C A senh Função seno hiperbólico n t 5 t 3 t t t senh n 5 3 OBS Para linhas reais a série é rapidamente convergente Podese utilizar apenas dois termos CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 21 Comprimento do Cabo 4 n 1 n n 5 1 5 5 3 1 3 3 1 1 C n 2 A C 5 2 A C 3 2 A 2 C A 2 C A senh 8 To p A f 2 3 A 8 f A L 2 0 Voltando na equação do comprimento do cabo Como 2 3 2 24 To A p A L 1 1 2 C A senh 2 C L CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 22 Comprimento do Cabo 5 1 1 2 C A senh 2 C L Exata Aproximada Equações do comprimento do cabo 3 A 8 f A L 2 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 23 Exemplo Anterior Calcular Flecha Comprimento do cabo Considerar os vãos de 350 m 1000 m Comparar as equações exata e aproximada CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 24 Respostas 1 Para o vão de 350 m Comprimento do cabo Lexata 3504573 m Laproximada 3504572 m Flecha fexata 77515 m faproximada 77464 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 25 Respostas 2 Para o vão de 1000 m Comprimento do cabo Lexata 10106977 m Laproximada 10106635 m Flecha fexata 635741 m faproximada 632363 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 3 Vão Desnivelado Isolado 1 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Vão Desnivelado Isolado 2 a b o CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 Vão Desnivelado Isolado 3 a b o A Vão A CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 6 Vão Desnivelado Isolado 4 a b o Desnível h A h CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 Vão Desnivelado Isolado 5 a b o Vão equivalente Ae A h Ae CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 8 Vão Equivalente 1 a b o A h Ae Ae A A A CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 9 Vão Equivalente 2 a b o A h Ae x y A CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 10 Vão Equivalente 3 a b o A h Ae x y 11 22 A CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 11 Vão Equivalente 4 a b o A h Ae x y 11 22 A Ponto 1 x1y1 Ponto 2 x2y2 x1 x2 y1 y2 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 12 Vão Equivalente 5 O cálculo do vão equivalente pode ser feito a partir da equação da catenária 1 C x cosh C y 1 1 2 1 y y h Desnível CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 13 Vão Equivalente 6 2 1 y y h 1 C cosh x C y 1 1 1 1 1 C cosh x C y 1 2 1 2 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 14 Vão Equivalente 7 1 C cosh x C 1 C cosh x C h 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 C cosh x C cosh x C h Mas A x x A x x 2 1 2 1 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 15 Vão Equivalente 8 1 1 1 2 C A senh 2 C A senh 2 C h Aplicando as relações das funções hiperbólicas e manipulando algebricamente chegase a Aplicando as relações das funções hiperbólicas e expandindo em série chegase a C1 A 2 h A CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 16 Vão Equivalente 9 Como C1 A 2 h A A A Ae C1 A 2 h A Ae Ou A p 2 h To A Ae CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 17 Flechas em Vãos Desnivelados 1 Flecha equivalente Flecha maior Flecha menor a b o CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 18 Flechas em Vãos Desnivelados 2 Flecha equivalente É a flecha correspondente ao vão equivalente fe Da expressão de vãos nivelados 8 To p Ae fe 2 fe CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 19 Flechas em Vãos Desnivelados 3 Flecha maior ou flecha máxima É a maior distância vertical entre a linha que liga os pontos de suspensão e a catenária fs É possível mostrar que 8 To p A fs 2 A flecha máxima em um vão desnivelado tem o mesmo valor da flecha em um vão igual nivelado fs CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 20 Flechas em Vãos Desnivelados 4 Flecha menor É a menor distância entre as linhas horizontais que passam pelo suporte inferior e pelo vértice fo É possível mostrar que 2 4 fs h 1 fs fo fo CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 21 Análise dos Esforços Atuantes Vãos Desnivelados CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 22 Esforços Atuantes 1 a b o A Ae A CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 23 Esforços Atuantes 2 a b o A Ae A Ta To CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 24 Esforços Atuantes 3 a b o A Ae A To To Ta Tb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 25 Esforços Atuantes 4 a b o A Ae A To To Tb To To Va Ta Vb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 26 Forças Verticais 1 A força vertical no ponto de suspensão superior superior vale kgf 2 p Le Va 2 p Ae Va 2 A p 2 h To A p Va Ae A h To 2 A p Va CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 27 Forças Verticais 2 A força vertical no ponto de suspensão inferior inferior vale kgf 2 Le L p Vb 2 Ae A p Vb Como A A Ae A 2 Ae 2 Ae A CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 28 Forças Verticais 3 A 2 Ae p Vb A p 2 h To A p 2 h To A 2 1 p Vb Ae A A h To 2 A p Vb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 29 Forças Verticais 4 Resumindo Ponto de suspensão superior superior Ponto de suspensão inferior inferior A h To 2 A p Vb A h To 2 A p Va CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 30 Forças Axiais 1 a b o To To Tb To To Va Ta Vb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 31 Forças Axiais 2 2 2 2 Vb To Tb a b o To To Tb To To Va Ta Vb 2 2 2 Va To Ta CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 32 Forças Axiais 3 Desenvolvendo as expressões chegase a Para o suporte superior suporte superior Para o suporte inferior suporte inferior fe p To Ta h p fe To Tb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 3 Exemplo Anterior com Desnível Mesma linha do exemplo anterior Desnível 40 m Determine Esforços verticais nos pontos de suspensão Esforços axiais nos pontos de suspensão Dados Tração horizontal 1545 kgf Peso unitário do cabo 07816 kgfm Vão 350 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Solução 1 Forças Verticais Ponto de suspensão superior superior Ponto de suspensão inferior inferior A h To 2 A p Vb A h To 2 A p Va 2 p Ae Va 2 Ae A p Vb ou ou ou ou CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 Solução 2 Forças Verticais Ponto de suspensão superior superior Ponto de suspensão inferior inferior 31335 kgf Va 3979 kgf Vb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 6 Solução 1 a b CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 Solução 2 a b Ta CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 8 Solução 3 a b To Va Ta CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 9 Solução 4 a b Tb To Va Ta Vb Vb 0 0 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 10 Solução 5 a b Tb To Va Ta Vb Vb 0 0 To Vb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 11 Solução 6 a b Tb To Va Ta Vb Vb 0 0 To Vb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 12 Solução 7 a b Tb To Va Ta Vb Vb 0 0 To Vb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 13 Solução 8 a b Tb To Va Ta O v O véértice da caten rtice da catenáária ria est estáá fora do vão fora do vão To Vb o CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 14 Solução 9 a b Tb To Va Ta To Vb o A Ae2 A força vertical no suporte inferior será negativa sempre que o vão for menor do que o semivão equivalente CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 15 Solução 10 Forças Axiais Ponto de suspensão superior superior Ponto de suspensão inferior inferior ou ou ou ou 2 2 2 Vb To Tb 2 2 2 Va To Ta fe p To Ta h p fe To Tb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 16 Solução 11 Forças Axiais Ponto de suspensão superior superior Ponto de suspensão inferior inferior 157677 kgf Ta kgf Tb 154551 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 17 Solução 12 Forças Axiais Ponto de suspensão superior superior Ponto de suspensão inferior inferior 2 To To Ta 157677 kgf Ta kgf Tb 154551 003 To To Tb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 18 Equações dos Comprimentos dos Cabos CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 19 Vão Desnivelado 1 2 2 1 2 2 C A senh 4 C h L Exata Aproximada Equações do Comprimento do Cabo a b o 2 1 2 2 2 12 C A 1 A h L CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 20 Exemplo Anterior Comprimento do cabo Lexata 35273 m Laproximada 35273 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 2 Análise de Vãos Contínuos CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 3 Linhas de Transmissão Reais Sucessão de um grande número de vão Os esforços são transmitidos de um vão a outro Suportes de mesma altura Suportes de diferentes alturas CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Vãos Contínuos com Suportes de Mesma Altura CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 Caso 1 Vãos Iguais 1 n vãos de tamanho a a a a a CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 6 Caso 1 Vãos Iguais 2 n vãos de tamanho a a a a a A n a A CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 Caso 1 Vãos Iguais 3 a a a a o o o o CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 8 To To To To To To Caso 1 Vãos Iguais 4 a a a a o o o o To To CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 9 To To To To To To Caso 1 Vãos Iguais 5 a a a a o o o o To To Estruturas Terminais CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 10 To To To To To To Caso 1 Vãos Iguais 6 a a a a o o o o To To To T V To T V Estruturas Terminais CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 11 To To To To To To Caso 1 Vãos Iguais 7 2 p l V a a a a o o o o To To To T V To T V Estruturas Terminais l comprimento do cabo no vão a 2 p a V CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 12 To To To To To To Caso 1 Vãos Iguais 8 2 p l V a a a a o o o o To To To T V To T V Estruturas Intermediárias l comprimento do cabo no vão a 2 p a V CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 13 To To To To To To Caso 1 Vãos Iguais 9 2 p l V a a a a o o o o To To To T V To T V Estruturas Intermediárias l comprimento do cabo no vão a 2 p a V To T V To T V To T V CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 14 To To To To To To Caso 1 Vãos Iguais 10 a a a a o o o o To To To T V To T V To T V To T V To T V To T V To T V To T V 2 p l V l comprimento do cabo no vão a 2 p a V Estruturas Intermediárias CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 15 Caso 1 Vãos Iguais 11 As forças horizontais se anulam As forças verticais se somam o o o o To T V To T V To T V To T V Estruturas Intermediárias p l 2 V p a 2 V CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 16 Cálculo da Nova Flecha 1 Considerando que o comprimento total do cabo não se alterou Lembrando que para um vão isolado n L l 3 A 8 f A L 2 3 a f 8 a l 2 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 17 Cálculo da Nova Flecha 2 Mas n L l 3 a f 8 a l 2 n a A e n A 3 f 8 n A n L 2 3 A f 8 n A L 2 n f f CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 18 Exemplo 1 O vão de 1000 m do exercício anterior é subdividido em 5 vãos iguais através da colocação de 4 estruturas adicionais Determine Os esforços nas estruturas terminais Os esforços nas estruturas intermediárias A flecha Dados To 1545 kgf vão isolado p 07816 kgfm CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 19 Exemplo 2 Quanto vale a tração no vão reduzido Já foi visto que 8 n To p A f 2 8 To p a f 2 8 To n A p n f 2 n To To CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 20 Exemplo 3 Estruturas terminais 2 p a V n To To 309 kgf 5 1545 To 2 0 7816 200 V 7816 kgf V T 31872 kgf CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 21 Exemplo 4 Estruturas intermediárias 2 V VTOTAL 15632 kgf V Flecha 8 To p a f 2 f 1265 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 22 Caso 2 Vãos Diferentes 1 a b c CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 23 Caso 2 Vãos Diferentes 2 a b c To TI VI To TF VF Estruturas Terminais CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 24 Caso 2 Vãos Diferentes 3 a b c To TI VI To TF VF Estruturas Intermediárias To To T23 V23 V21 T21 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 25 Caso 2 Vãos Diferentes 4 Estruturas terminais As forças verticais são proporcionais aos semivãos vizinhos Estruturas intermediárias As forças verticais valem a soma do peso do condutor nos semivãos adjacentes CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 26 Caso 2 Vãos Diferentes 5 21 23 2 V V V a b c To TI VI To TF VF To To T23 V23 V21 T21 2 2 p a 2 p b V2 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 27 Exercício Considere a estrutura B no trecho de linha indicado Determine Os esforços atuantes nesta estrutura Os flechas nos vãos adjacentes 300 m 500 m B Dados To 1545 kgf p 07816 kgfm CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 2 Respostas do Exercício Respostas Força vertical 31264 m Forças axiais T300 154944 kgf T500 155731 kgf Flechas f300 569 m f500 1581 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 3 Análise de Vãos Contínuos com Suportes em Desnível CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Linhas Reais Caso geral Vãos diferentes Suportes com diferentes alturas Exemplo Trecho com 5 estruturas CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 11 22 33 44 55 Trecho de Linha 1 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 6 11 22 33 44 55 Estrutura Estrutura Terminal Terminal Estruturas Estruturas Intermedi Intermediáárias rias Trecho de Linha 2 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 Localização dos Vértices o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 To V12 T12 Esforços Atuantes Estrutura 1 o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 To V12 T12 Esforços Atuantes Estrutura 2 To To V21 V23 T21 T23 o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 To V12 T12 Esforços Atuantes Estrutura 3 To To V21 V23 T21 T23 To To V34 V32 T32 T34 o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 To V12 T12 Esforços Atuantes Estrutura 4 To To V21 V23 T21 T23 To To V34 V32 T32 T34 To To V45 V43 T43 T45 o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 To V12 T12 Esforços Atuantes Estrutura 5 To To V21 V23 T21 T23 To To V34 V32 T32 T34 To To V45 V43 T43 T45 To To T54 V56 T56 o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 h45 h34 h23 h12 To To To To To To To To To T54 V12 V21 V23 V34 V32 V45 V43 V56 T56 T43 T45 T32 T34 T21 T23 T12 Desníveis o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 a12 a23 a34 a45 h45 h34 h23 h12 To To To To To To To To To T54 V12 V21 V23 V34 V32 V45 V43 V56 T56 T43 T45 T32 T34 T21 T23 T12 Vãos o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 a12 a23 a34 a45 h45 h34 h23 h12 To To To To To To To To To T54 V12 V21 V23 V34 V32 V45 V43 V56 T56 T43 T45 T32 T34 T21 T23 T12 Distâncias À direita nij À esquerda mij n12 n23 m12 n34 m34 n45 m23 o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 a12 a23 a34 a45 n23 n12 m12 m23 n34 m34 n45 h45 h34 h23 h12 To To To To To To To To To T54 V12 V21 V23 V34 V32 V45 V43 V56 T56 T43 T45 T32 T34 T21 T23 T12 Cálculo dos Esforços CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 17 Equações para um Vão Desnivelado Lembrando Ponto de suspensão superior superior Ponto de suspensão inferior inferior A h To 2 A p Vb A h To 2 A p Va fe p To Ta h p fe To Tb CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 18 Estrutura 1 Terminal 12 12 12 1 a To h 2 p a V p n V 12 1 p 2 Ae A VINFERIOR h p fe To T 12 12 1 ou CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 19 Estrutura 2 Intermediária 1 23 21 2 V V V 23 23 23 23 a To h p 2 a V p n V 23 23 Forças verticais p 2 Ae A VINFERIOR ou CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 20 Estrutura 2 Intermediária 2 Forças verticais 12 12 12 21 a To h p 2 a V 23 21 2 V V V ou p 2 Ae VSUPERIOR p m V 21 21 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 21 Estrutura 2 Intermediária 3 Forças axiais p fe To T 12 21 h p fe To T 23 23 23 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 22 Estrutura 3 Intermediária 1 Forças verticais p 2 Ae A VINFERIOR ou 34 34 34 34 a To h p 2 a V p n V 34 34 34 32 3 V V V CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 23 Estrutura 3 Intermediária 2 Forças verticais ou p 2 Ae VSUPERIOR 23 23 32 32 a To h p 2 a V p m V 23 32 34 32 3 V V V CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 24 Estrutura 3 Intermediária 3 Forças axiais p fe To T 23 32 h p fe To T 34 34 34 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 25 Estrutura 4 Intermediária 1 Forças verticais ou 45 43 4 V V V 45 45 45 45 a To h p 2 a V p n V 45 45 p 2 Ae VSUPERIOR CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 26 Estrutura 4 Intermediária 2 Forças verticais p 2 Ae VSUPERIOR ou 45 43 4 V V V 34 34 34 43 a To h p 2 a V p m V 34 43 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 27 Estrutura 4 Intermediária 3 Forças axiais p fe To T 34 43 p fe To T 45 45 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 28 Estrutura 5 Intermediária O vértice O4 coincide com o ponto de suspensão Forças verticais Forças axiais 56 5 V V To T54 2 56 2 56 V To T CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 29 Outros Conceitos Arrancamento Vão médio Vão gravante CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 30 o o Situação de Arrancamento CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 31 Vão Médio Média aritmética dos vãos adjacentes 2 a a a j i m o o ai aj CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 32 Vão Gravante ou Vão de Peso 1 Vão fictício que multiplicado pelo peso unitário do condutor fornece o valor da força vertical transmitida à estrutura CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 33 Vão Gravante ou Vão de Peso 2 2 1 g X X a N 2 1 N p X p X V o o X1 X2 2 1 N X X p V o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 a12 a23 a34 a45 n23 n12 m12 m23 n34 m34 n45 h45 h34 h23 h12 To To To To To To To To To T54 V12 V21 V23 V34 V32 V45 V43 V56 T56 T43 T45 T32 T34 T21 T23 T12 Quais são os vãos de peso CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 35 Vãos de Peso n56 5 m34 n45 4 m23 n34 3 m12 n23 2 n12 1 Vão Gravante Estrutura CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 2 Exemplo o1 o3 o4 o2 11 22 33 44 55 a12 a23 a34 a45 n23 n12 m12 m23 n34 m34 n45 h45 h34 h23 h12 To To To To To To To To To T54 V12 V21 V23 V34 V32 V45 V43 V56 T56 T43 T45 T32 T34 T21 T23 T12 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Exemplo 1 Na figura anterior foram medidos Vãos a12 234 m a23 181 m a34 487 m a45 152 m Desníveis h12 1545 m h23 2530 m h34 1475 m h45 820 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 Exemplo 2 Distâncias n12 31m n23 95 m n34 197 m n45 152 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 6 Exemplo 3 Considerando To 1020 kgf p 07816 kgfm Determine para as estruturas 1 2 3 e 4 O vão médio O vão gravante Os esforços verticais e axiais CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 Exemplo 4 Vãos médios e vãos gravantes ag4 487197 152 442 m am4 487 1522 3195 m 4 ag3 181 95 197 473 m am3 181 4872 334 m 3 am2 234 1812 2075 m ag2 234 31 95 108 m 2 ag1 31 m am1 234 02 117 m 1 Vão Gravante Vão Médio Estrutura CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 8 Exemplo 5 Esforços verticais resultantes Basta utilizar os vãos de peso 34547 4 36970 3 8441 2 2423 1 V kgf Estrutura CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 9 Exemplo 6 Esforços axiais Estrutura 1 40633 m p a To 2 h a Ae 12 12 12 12 m 1581 8 To p Ae fe 2 12 12 T12 102028 kgf 2 2 12 2422 1020 T h p fe To T 12 12 12 Ou CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 10 Exemplo 7 Esforços axiais Estrutura 2 p fe To T 12 21 h p fe To T 23 23 23 T21 103236 kgf 54583 m p a To 2 h a Ae 23 23 23 23 2854 m 8 To p Ae fe 2 23 23 T23 102253 kgf CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 11 Exemplo 8 Esforços axiais Estrutura 3 p fe To T 23 32 kgf 104231 T32 h p fe To T 34 34 34 56605 m p a To 2 h a Ae 34 34 34 34 3069 m 8 To p Ae fe 2 34 34 T34 103246 kgf CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 12 Exemplo 9 Esforços axiais Estrutura 4 p fe To T 34 43 104400 kgf T43 p fe To T 45 45 29280 m p a To 2 h a Ae 45 45 45 45 m 8 21 8 To p Ae fe 2 45 45 T45 102642 kgf CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 2 Influência dos Agentes Externos CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 3 Classificação Esforços permanentes Esforços transitórios Freqüentes Montagemmanutenção Esforços que nunca ocorrem associados a uma baixíssima probabilidade de ocorrência CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Frequentes ou Normais São esforços transitórios associados a fatores meteorológicos Ação do vento Variação de temperatura redução Gelo CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 Montagem e Manutenção Montagem Durante o processo de montagem da linha os cabos são submetidos a cargas provisórias decorrentes de procedimentos e técnicas empregadas no seu lançamento Manutenção Carrinhos de linha Operários CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 6 Esforços que Nunca Ocorrem Associados a sobrecargas excepcionais ou acidentais Rompimento de um dos cabos CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 Efeito da Variação da Temperatura Temperatura dos condutores Extremamente dinâmica Aumento x redução Calor recebido Calor recebido Efeito Joule associado à circulação de corrente na linha varia com a carga do sistema Incidência do sol varia ao longo do dia varia com a estação do ano etc Calor perdido Calor perdido Irradiação e convecção Condições ambientais temperatura vento Resultado ΔT 0 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 8 Análise de um Vão Isolado 1 A varia variaçção da temperatura ão da temperatura acarreta na mudan mudançça do a do comprimento do cabo comprimento do cabo com conseqüente altera alteraçção ão das tra das traçções ões Dilatação térmica linear 1 2 1 t t L L t A Δ α L1 Comprimento inicial à temperatura t1 αt Coeficiente de dilatação térmica linear do condutor 1oC t2 Temperatura final oC t1 Temperatura inicial oC CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 9 Análise de um Vão Isolado 2 Como a deformação elástica do cabo é proporcional às trações aplicadas Lei de Lei de Hooke Hooke E S T T L LB Δ 01 02 1 E Módulo de elasticidade do condutor kgfmm2 S Seção transversal do condutor mm2 T02 Tração à temperatura t2 kgf T01 Tração à temperatura t1 kgf CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 10 Análise de um Vão Isolado 3 O novo comprimento do cabo será B A L L L L Δ Δ 1 2 Dilatação linear Deformação elástica E S T T L t t L L L t 01 02 1 1 2 1 1 2 α CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 11 Equação de Mudança de Estado 1 E S T T L t t L L L t 01 02 1 1 2 1 1 2 α E S T T L L t t E S T T L L L t t L t t 1 1 01 02 1 2 1 2 01 02 1 1 2 1 2 1 α α CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 12 Equação de Mudança de Estado 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 C A senh C L C A senh C L E S T T L L t t t 1 1 01 02 1 2 1 2 α p T C p T C 02 2 01 1 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 13 Equação de Mudança de Estado 3 A equação permite o cálculo da tração à temperatura t2 É necessário um processo iterativo para solucionála Vale para um vão isolado E S T T C A senh C C A senh C t t t 1 2 2 1 01 02 1 1 2 2 1 2 α CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 14 Exemplo 1 O cabo de um vão isolado de 350 m está tracionado com 1545 kgf tração horizontal a uma temperatura de 20oC Qual será o valor da tração se a temperatura do cabo for reduzida de 25oC Dados do cabo Peso unitário 07816 kgf Seção transversal 2103 mm2 Módulo de elasticidade 8086 kgfmm2 Coeficiente de dilatação térmica linear 18 x 106 oC1 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 15 Exemplo 2 Tentativa e erro Tentativa inicial 1800 kgf ΔT 25oC 25001 25001 1779 1779 25095 1780 25637 1785 26030 1790 26955 1800 ΔT oC T02 kgf CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 16 Exemplo 3 Métodos numéricos Newton Raphson Bissecção Exemplos de implementações computacionais CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 2 Influência do Vento CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 3 Influência do Vento NBR 18272 A pressão exercida pelo vento atuando perpendicularmente ao eixo longitudinal do condutor pode ser calculada como α 2 0 0045 v Pv α Coeficiente de efetividade da pressão do vento NBR 5422 redutor em função da rugosidade v Velocidade do vento kmh kgfm2 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Força Exercida pelo Vento O resultado é uma força perpendicular ao eixo do condutor d vP v f d P f v v kgfm Força exercida pelo vento por unidade de comprimento cálculo simplificado CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 Resultado A ação do vento em conjunto com a força peso faz com que a catenária originalmente em um plano vertical fique em um plano inclinado Peso virtual do condutor 2 2 v r f p P kgfm CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 6 Ação do Vento CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 Consequências Aumento das trações Aparecimento de uma força horizontal transversal ao condutor que deverá ser absorvida pelas estruturas v v A f F 2 No caso de vãos contínuos kgf v j i v f a a F 2 kgf CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 8 Exemplo 1 O cabo utilizado na linha abaixo tem diâmetro de 001883 m e peso unitário de 07816 kgfm Considerando que a velocidade do vento é de 110 kmh com coeficiente de efetividade de 08 determine A pressão e a força do vento sobre o cabo Os esforços horizontais transmitidos às estruturas A e B devido à força do vento 300 m A B 280 m 420 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 9 Exemplo 2 Pressão do vento 80 0 0045 110 P 2 v 300 m A B 280 m 420 m α 2 v 0 0045 v P 2 v P 4356 kgf m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 10 Exemplo 3 Força do vento 300 m A B 280 m 420 m 0 8202 kgf m fv d P f v v 0 01883 4356 fv CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 11 Exemplo 4 Força horizontal Estrutura A v v 2 f A F 300 m A B 280 m 420 m 12303 kgf Fv 0 8202 2 300 Fv CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 12 Exemplo 5 Força horizontal Estrutura B 300 m A B 280 m 420 m 28707 kgf Fv v j i v f 2 a a F 0 8202 2 420 280 Fv CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 13 Influência dos Agentes Externos 1 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 14 Influência dos Agentes Externos 2 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 15 Influência dos Agentes Externos 3 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 16 Influência dos Agentes Externos 4 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 17 Influência dos Agentes Externos 5 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 18 Influência dos Agentes Externos 6 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 19 Influência dos Agentes Externos 7 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 20 Influência dos Agentes Externos 8 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 21 Influência dos Agentes Externos 9 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 22 Influência dos Agentes Externos 10 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II Influência dos Agentes Externos 11 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 24 MontagemManutenção 1 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 25 MontagemManutenção 2 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 26 MontagemManutenção 3 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 2 Influência Simultânea da Temperatura e do Vento CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 3 Influência Simultânea da Temperatura e do Vento Estado 1 temperatura 1 sem vento T01 Estado 2 temperatura 2 com vento T02 E S T T C A senh C C A senh C t t t 1 2 2 1 01 02 1 1 2 2 1 2 α Equação de mudança de estado r 02 2 01 1 p T C p T C CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 4 Exemplo O cabo de um vão isolado de 350 m está tracionado com 1545 kgf tração horizontal a uma temperatura de 20oC sem vento Qual será o valor da tração se a temperatura do cabo for 10oC com vento de 110 kmh α08 Dados do cabo Peso unitário 07816 kgf Seção transversal 2103 mm2 Módulo de elasticidade 8086 kgfmm2 Coeficiente de dilatação térmica linear 18 x 106 oC1 CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 5 Vão Básico ou Vão Regulador Equação de mudança de estado vão isolado Linhas de transmissão reais Sucessão de vãos Conceito de vão regulador CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 6 Estruturas de Suspensão e Ancoragem ou Amarração 1 Suspensão Ancoragem CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 7 Estruturas de Suspensão e Ancoragem ou Amarração 2 Suspensão CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 8 Estruturas de Suspensão e Ancoragem ou Amarração 2 Ancoragem CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 9 Estruturas de Suspensão e Ancoragem ou Amarração 3 As estruturas de ancoragem são estruturas especiais Maior rigidez mecânica Mais caras Não transmitem os esforços mecânicos entre os vãos adjacentes Descontinuidades mecânicas Usadas de trechos em trechos CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 10 Estruturas de Suspensão e Ancoragem ou Amarração 4 A distância entre duas estruturas de ancoragem é chamada de seção de tensionamento Em geral quanto maior a tensão da linha maiores são as seções de tensionamento Ex 230 kV 5 km CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 11 Aplicação da Equação de Mudança de Estado É possível mostrar que a equação de mudança de estado pode ser aplicada ao vão básico de uma seção de tensionamento definido como N i 1 i N 1 i 3 i B a a A N Número total de vão da seção de tensionamento ai iésimo vão da seção de tensionamento AB Vão básico ou vão regulador CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 12 Exemplo 1 1 Duas estruturas de ancoragem estão afastadas de 25 km Os vãos intermediários têm as seguintes dimensões a1 230 m a2 247 m a3 308 m a4 256 m a5 208 m a6 212 m a7 257 m a8 262 m a9 248 m a10 272 m Quanto vale o vão Quanto vale o vão bbáásico da se sico da seçção de ão de tensionamento tensionamento CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 13 Exemplo 1 2 272 248 262 257 212 208 256 308 247 230 272 248 262 257 212 208 256 308 247 230 A 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 B N i 1 i N 1 i 3 i B a a A AB 254 m CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 14 Exemplo 2 1 O cabo da seção de tensionamento indicada está tracionado com 1545 kgf tração horizontal Qual será o valor da tração se a temperatura do cabo variar de 25oC 30oC 250 m 450 m ANCORAGEM ANCORAGEM ANCORAGEM ANCORAGEM CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 15 Exemplo 2 2 Dados do cabo Peso unitário 07816 kgf Seção transversal 2103 mm2 Módulo de elasticidade 8086 kgfmm2 Coeficiente de dilatação térmica linear 18 x 106 oC1 250 m 450 m ANCORAGEM ANCORAGEM ANCORAGEM ANCORAGEM CTCEETEE Transmissão de Energia Elétrica II 16 Exemplo 2 3 Vão básico To2 1736 kgf To2 1371 kgf 250 m 450 m ANCORAGEM ANCORAGEM ANCORAGEM ANCORAGEM 390 5 m 450 250 450 250 A 3 3 B