Modelagem de Linhas de Transmissão em Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica

TRANSMISSÃO E DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Modelagem de Linhas de Transmissão 1 Introdução 2 Relações entre Tensões e Correntes 3 Modelos de Linhas de Transmissão 1 Linha Curta 2 Linha Média 3 Linha Longa 4 Quadripólos 5 Bibliografias Modelagem de Linhas de Transmissão INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO Na aula passada aprendemos as características elétricas de linhas de transmissão entendendo que uma linha de transmissão pode ser representada através de uma impedância em série e uma admitância em paralelo Na aula de hoje vamos aprender a modelagem de linhas de transmissão Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão INTRODUÇÃO Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES A linha é representada por uma impedância longitudinal RjX que representa os efeitos das perdas por efeito Joule R e do campo eletromagnético X quando seus cabos condutores são percorridos por uma corrente elétrica e por uma admitância transversal GjB que representa os efeitos da corrente de fuga através das cadeias de isoladores e perdas por efeito corona G e do campo elétrico gerado entre os cabos e a terra B Estes efeitos são distribuídos ao longo de todo o comprimento da linha e por isso os seus parâmetros são normalmente dados em Ωkm para a impedância longitudinal e em Skm para a admitância transversal como mostra a Figura1 Fonte 1 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES Fonte 1 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão 𝑉𝑆 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝐼𝑆 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝐼𝑅 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝çã𝑜 𝑉𝑅 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝çã𝑜 𝑂𝑛𝑑𝑒 𝑅 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑗𝑋𝐿 𝑅𝑒𝑎𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 jB 𝑆𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐺 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES O que se pretende calcular é o modelo equivalente da linha de transmissão isto é os parâmetros concentrados da LT com os parâmetros distribuídos z impedância longitudinal em Ωkm e y admitância transversal em Skm conhecidos Para isto vamos considerar o modelo elementar da linha de transmissão mostrado na Figura 2 Figura 2 Modelo Elementar Distribuído de uma Linha de Transmissão Fonte 1 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES 𝑉 𝐼𝑧 𝑥 𝑉 𝑥 𝐼𝑧 𝐼 𝑉𝑦𝑥 𝐼 𝑥 𝑉𝑦 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝐼𝑧 𝑑𝐼 𝑑𝑥 𝑉𝑦 Quando 𝑥 0 temos 1 2 Derivando as equações 1 e 2 em relação a x obtemos 𝑑2𝐼 𝑑𝑥² 𝑦 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑²𝑉 𝑑𝑥² 𝑧 𝑑𝐼 𝑑𝑥 3 4 Substituindo os valores de dIdx e dVdx nas equações 1 e 2 nas equações 3 e 4 temos 𝑑2𝐼 𝑑𝑥² 𝑦zI 𝑑²𝑉 𝑑𝑥² 𝑦𝑧𝑉 5 6 Fonte 2 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES A equação 5 tem como únicas variáveis V e x Já a equação 6 tem como únicas variáveis I e x Portanto as soluções das equações 5 e 6 para V e I respectivamente devem ser expressões que quando derivadas duas vezes em relação a x levem à expressão original multiplicada pela constante yz Por exemplo a solução de V quando derivada duas vezes em relação a x deve dar yzV Isso sugere uma solução exponencial Supondo que a solução da Equação 5 seja 𝑉 𝐴1𝑒 𝑦𝑧 𝑥 𝐴2𝑒 𝑦𝑧 𝑥 7 Com a segunda derivada de V em relação a x temos 𝑑²𝑉 𝑑𝑥² 𝑦𝑧 𝐴1𝑒 𝑦𝑧 𝑥 𝐴2𝑒 𝑦𝑧 𝑥 8 Que é yz vezes a solução admitida para V Portanto a equação 7 é solução da equação 5 𝑑2𝐼 𝑑𝑥² 𝑦zI 𝑑²𝑉 𝑑𝑥² 𝑦𝑧𝑉 5 6 Fonte 2 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES Substituindo na equação 1 o valor de V dado pela equação 7 temos 𝐼 1 Τ 𝑧 𝑦 𝐴1𝑒 𝑦𝑧 𝑥 1 Τ 𝑧 𝑦 𝐴2𝑒 𝑦𝑧 𝑥 9 As constantes 𝐴1 e 𝐴2 podem ser calculadas usando as condições de contorno na barra receptora da linha ou seja 𝑥 0 𝑉 𝑉𝑅 𝑒 𝐼 𝐼𝑅 Substituindo estes valores nas equações 7 e 9 temos 𝑉𝑅 𝐴1 𝐴2 𝐼𝑅 1 Τ 𝑧 𝑦 𝐴1𝐴2 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝐼𝑧 1 𝑉 𝐴1𝑒 𝑦𝑧 𝑥 𝐴2𝑒 𝑦𝑧 𝑥 7 Lembrando que a impedância característica 𝑍𝑐 Τ 𝑧 𝑦 temos 𝐴1 𝑉𝑅 𝐼𝑅𝑍𝑐 2 𝐴2 𝑉𝑅 𝐼𝑅𝑍𝑐 2 10 11 Fonte 2 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES Lembrando que a constante de propagação 𝛾 𝑦𝑧 e substituindo os valores obtidos para 𝐴1 e 𝐴2 nas equações 7 e 9 temos 𝑉 𝑉𝑅𝐼𝑅𝑍𝑐 2 𝑒𝛾𝑥 𝑉𝑅𝐼𝑅𝑍𝑐 2 𝑒𝛾𝑥 𝐼 𝑉𝑅 𝑍𝑐𝐼𝑅 2 𝑒𝛾𝑥 𝑉𝑅 𝑍𝑐𝐼𝑅 2 𝑒𝛾𝑥 𝐴1 𝑉𝑅 𝐼𝑅𝑍𝑐 2 𝐴2 𝑉𝑅 𝐼𝑅𝑍𝑐 2 10 11 𝑉 𝐴1𝑒 𝑦𝑧 𝑥 𝐴2𝑒 𝑦𝑧 𝑥 7 𝐼 1 Τ 𝑧 𝑦 𝐴1𝑒 𝑦𝑧 𝑥 1 Τ 𝑧 𝑦 𝐴2𝑒 𝑦𝑧 𝑥 9 Lembrando que senh 𝜃 𝑒𝜃 𝑒𝜃 2 cosh 𝜃 𝑒𝜃 𝑒𝜃 2 e 12 13 14 15 𝑉 𝑉𝑅 cosh 𝛾𝑥 𝐼𝑅𝑍𝑐 senh 𝛾𝑥 𝐼 𝐼𝑅 cosh 𝛾𝑥 𝑉𝑅 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑥 Fonte 2 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES Como x é a distância entre o receptor e um ponto qualquer da LT podemos substituí lo por 𝑙 o comprimento da LT Dessa forma temos 16 17 𝑉𝑆 𝑉𝑅 cosh 𝛾𝑙 𝐼𝑅𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝐼𝑆 𝐼𝑅 cosh 𝛾𝑙 𝑉𝑅 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 18 19 𝑉𝑅 𝑉𝑆 cosh 𝛾𝑙 𝐼𝑆𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝐼𝑅 𝐼𝑆 cosh 𝛾𝑙 𝑉𝑆 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 OU Lembrando que 𝛾𝑙 𝑍𝑌 𝑍𝑐 𝑅𝑗𝜔𝐿 𝐺𝑗𝜔𝐶 𝑍 𝑌 e que 20 21 Fonte 2 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES Portanto cosh 𝛾𝑙 cosh 𝑍𝑌 senh 𝛾𝑙 senh 𝑍𝑌 Pela expansão em série de Maclaurin temos cosh 𝑍𝑌 1 𝑍𝑌² 2 𝑍𝑌 4 4 𝑍𝑌 6 6 senh 𝑍𝑌 𝑍𝑌 𝑍𝑌³ 3 𝑍𝑌 5 5 𝑍𝑌 7 7 22 23 Fonte 3 𝑉𝑆 𝑉𝑅 cosh 𝛾𝑙 𝐼𝑅𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝐼𝑆 𝐼𝑅 cosh 𝛾𝑙 𝑉𝑅 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 16 17 Depende principalmente do comprimento l km da linha como também do valor absoluto de 𝛾𝑙 em menor grau que aumenta com o aumento da tensão nas linhas Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES A observação da Tabela 1 nos permite em função do comprimento das linhas procurar circuitos equivalentes e métodos de cálculo simplificados baseados no número de elementos da expansão em série a considerar nos cálculos cosh 𝑍𝑌 1 𝑍𝑌² 2 𝑍𝑌 4 4 𝑍𝑌 6 6 senh 𝑍𝑌 𝑍𝑌 𝑍𝑌³ 3 𝑍𝑌 5 5 𝑍𝑌 7 7 Fonte 3 𝒍 km 𝑍𝑌 𝑍𝑌² 2 𝑍𝑌³ 3 50 06447034 0002078212 0000044610 100 012894084 0008312870 0000357289 150 019341126 0018703958 0001205852 200 025788136 0033251398 0002858305 250 0322335171 0051955312 0005558263 300 038682205 0074815650 0009646781 350 045129390 0101832413 0015318731 400 051576274 0133005600 0022866440 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO A classificação da LT de acordo com a extensão Linhas curtas l 80 km cujo comprimento e características sejam tais que somente os primeiros termos de cada série tenham valor significativo Linhas médias 80 km l 240 km Quando o segundo termo não for significante perante o primeiro termo mas se o terceiro for a linha poderá ser classificada como linha média Linhas longas l 240 km São aquelas em cujo cálculo os processos das linhas curtas e médias são considerados insuficientemente precisos para os fins desejados Fonte 2 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS CURTAS Linhas curtas l 80 km cujo comprimento e características sejam tais que somente os primeiros termos de cada série tenham valor significativo Se substituirmos cosh 𝑍𝑌 e senh 𝑍𝑌 nas equações 7 e 8 pelo primeiro termo de cada série teremos cosh 𝑍𝑌 1 𝑍𝑌² 2 𝑍𝑌 4 4 𝑍𝑌 6 6 senh 𝑍𝑌 𝑍𝑌 𝑍𝑌³ 3 𝑍𝑌 5 5 𝑍𝑌 7 7 9 10 𝑉𝑆 𝑉𝑅 𝐼𝑅𝑍 𝐼𝑆 𝐼𝑅 𝑉𝑅𝑌 𝑉𝑆 𝑉𝑅 cosh 𝑍𝑌 𝐼𝑅 𝑍 𝑌 senh 𝑍𝑌 𝐼𝑆 𝐼𝑅 cosh 𝑍𝑌 𝑉𝑅 Τ 𝑍 𝑌 senh 𝑍𝑌 7 8 𝐼𝑆 𝐼𝑅 Muito pequeno Fonte 2 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS CURTAS A admitância em derivação é tão pequena que pode ser inteiramente desprezada sem perdas significativas de precisão sendo suficiente considerar apenas a resistência em série R e a indutância série L para todo o comprimento da linha Dessa forma a corrente e a tensão em qualquer ponto da linha podem ser calculadas através da solução do circuito série onde 𝐼𝑆 𝐼𝑅 𝑉𝑆 𝑉𝑅 𝐼𝑅𝑍 𝑉𝑅 𝑉𝑆 𝐼𝑆𝑍 Onde 𝑉𝑆 Tensão de transmissão 𝑉𝑅 Tensão de recepção 𝐼𝑆 Corrente de transmissão 𝐼𝑅 Corrente de recepção Z Impedância R Resistência e L Indutância Fonte 1 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS CURTAS Representação Matricial 𝑉𝑆 𝐼𝑆 1 𝑍 0 1 𝑉𝑅 𝐼𝑅 Onde 𝑉𝑆 Tensão de transmissão 𝑉𝑅 Tensão de recepção 𝐼𝑆 Corrente de transmissão 𝐼𝑅 Corrente de recepção Z Impedância R Resistência e L Indutância Fonte 1 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão 𝐼𝑆 𝐼𝑅 𝑉𝑆 𝑉𝑅 𝐼𝑅𝑍 LINHAS CURTAS Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão 𝑉𝑆 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝐼𝑆 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝐼𝑅 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝çã𝑜 𝑉𝑅 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝çã𝑜 𝑂𝑛𝑑𝑒 𝑅 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑗𝑋𝐿 𝑅𝑒𝑎𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑙 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑉𝑆 𝐼𝑆 1 𝑍 0 1 𝑉𝑅 𝐼𝑅 𝑍 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 Representação Matricial de 𝑉𝑆 e 𝐼𝑆 LINHAS MÉDIAS Linhas médias 80 km l 240 km Quando o segundo termo não for significante perante o primeiro termo mas se o terceiro for a linha poderá ser classificada como linha média Se substituirmos cosh 𝑍𝑌 e senh 𝑍𝑌 nas equações 7 e 8 pelos dois primeiros termos de cada série teremos cosh 𝑍𝑌 1 𝑍𝑌² 2 𝑍𝑌 4 4 𝑍𝑌 6 6 senh 𝑍𝑌 𝑍𝑌 𝑍𝑌³ 3 𝑍𝑌 5 5 𝑍𝑌 7 7 𝑉𝑆 𝑉𝑅 cosh 𝑍𝑌 𝐼𝑅 𝑍 𝑌 senh 𝑍𝑌 𝐼𝑆 𝐼𝑅 cosh 𝑍𝑌 𝑉𝑅 Τ 𝑍 𝑌 senh 𝑍𝑌 7 8 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌² 2 𝐼𝑅 𝑍 𝑌 𝑍𝑌 𝑍𝑌³ 3 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝐼𝑅𝑍 1 𝑍𝑌 6 𝐼𝑆 𝐼𝑅 1 𝑍𝑌² 2 𝑉𝑅 Τ 𝑍 𝑌 𝑍𝑌 𝑍𝑌³ 3 𝐼𝑆 𝐼𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝑉𝑅𝑌 1 𝑍𝑌 6 11 12 Fonte 2 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS MÉDIAS Neste caso considerase o efeito capacitivo das linhas incluindo a susceptância capacitiva em derivação ou shunt parte imaginária da admitância shunt e desprezase ainda a condutância em derivação Se a admitância total em derivação da linha for dividida em duas partes iguais colocadas junto às barras transmissora e receptora o circuito ilustrado na figura acima recebe o nome de Modelo Pi Nominal Onde 𝑉𝑆 Tensão de transmissão 𝑉𝑅 Tensão de recepção 𝐼𝑆 Corrente de transmissão 𝐼𝑅 Corrente de recepção 𝐼1 Corrente na impedância Z Impedância Y Admitância 𝐼1 Fonte 1 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS MÉDIAS Pela lei de Kirchhoff de tensão temos 𝑉𝑆 𝐼1𝑍 𝑉𝑅 0 𝑉𝑆 𝑉𝑅 𝐼1𝑍 1 Pela lei de Kirchhoff das correntes temos 𝐼1 𝐼𝑅 𝑌 2 𝑉𝑅 2 𝐼𝑆 𝐼1 𝑌 2 𝑉𝑆 3 Substituindo 2 em 1 temos 𝑉𝑆 𝑉𝑅 𝑍 𝐼𝑅 𝑌 2 𝑉𝑅 4 Substituindo 2 e 4 em 1 temos 𝐼𝑆 𝐼𝑅 𝑌 2 𝑉𝑅 𝑌 2 𝑉𝑅 𝑍 𝐼𝑅 𝑌 2 𝑉𝑅 5 𝐼1 Fonte 1 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS MÉDIAS Reorganizando as equações 4 e 5 do modelo pi nominal temos que 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝐼𝑅𝑍 6 𝐼𝑆 𝐼𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝑉𝑅𝑌 1 𝑍𝑌 4 7 𝐼1 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝐼𝑅𝑍 1 𝑍𝑌 6 𝐼𝑆 𝐼𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝑉𝑅𝑌 1 𝑍𝑌 6 Lembrando que pela equação geral de uma LT média obtivemos as equações Fontes 1 e 2 11 12 Muito pequeno Podemos reescrever 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝐼𝑅𝑍 13 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS MÉDIAS Representação Matricial 𝐼1 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝐼𝑅𝑍 𝑉𝑆 𝐼𝑆 1 𝑍𝑌 2 𝑍 𝑌 1 𝑍𝑌 4 1 𝑍𝑌 2 𝑉𝑅 𝐼𝑅 𝐼𝑆 𝑉𝑅𝑌 1 𝑍𝑌 4 𝐼𝑅 1 𝑍𝑌 2 LINHAS MÉDIAS Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão 𝑉𝑆 𝐼𝑆 1 𝑍𝑌 2 𝑍 𝑌 1 𝑍𝑌 4 1 𝑍𝑌 2 𝑉𝑅 𝐼𝑅 Representação Matricial de 𝑉𝑆 e 𝐼𝑆 𝑉𝑆 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝐼𝑆 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝐼𝑅 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝çã𝑜 𝑉𝑅 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝çã𝑜 𝑂𝑛𝑑𝑒 𝑙 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑍 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑌 𝐴𝑑𝑚𝑖𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑎 LINHAS LONGAS Linhas longas l 240 km São aquelas em cujo cálculo os processos das linhas curtas e médias são considerados insuficientemente precisos para os fins desejados O modelo pi nominal não representa precisamente uma LT porque não considera que os parâmetros da linha são distribuídos À medida que o comprimento da linha cresce as discrepâncias entre o circuito pi nominal e a rede real No entanto é possível obter o circuito equivalente de uma linha de transmissão longa e representala com precisão por uma rede de parâmetros concentrados desde que estejamos interessados apenas nas medidas dos valores nas extremidades da linha Admitamos que um circuito pi semelhante ao da figura seja o circuito equivalente de uma linha longa Considerando Z as impedâncias e Y as admitâncias totais da linha desse circuito denominado pi equivalente para distinguilos do circuito pi nominal 𝐼1 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS LONGAS Substituindo Z e Y2 por Z e Y2 na equação temos 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝐼𝑅𝑍 Igualando a equação 1 temos A equação de Y2 mostra o fator de conversão usado para converter a admitância dos ramos em derivação do pi nominal na dos ramos do pi equivalente 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝐼𝑅𝑍 1 𝑉𝑆 𝑉𝑅 cosh 𝛾𝑙 𝐼𝑅𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 cosh 𝛾𝑙 1 𝑍𝑌 2 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝑍 Lembrando que cosh 𝜃1 senh 𝜃 tanh Τ 𝜃 2 cosh 𝛾𝑙1 senh 𝛾𝑙 𝑍𝑌 2 𝑍 𝑍𝑐 tanh 𝛾𝑙 2 𝑍𝑐 𝑌 2 𝑌 2 1 𝑍𝑐 tanh 𝛾𝑙 2 𝑌 2 1 𝑍 𝑌 tanh 𝛾𝑙 2 𝑍𝑐 𝑍 𝑌 e que 𝛾𝑙 𝑍𝑌 𝑍𝑌 𝑌 2 𝑍𝑌 1 𝑍 𝑌 tanh 𝛾𝑙 2 𝑍𝑌 𝑌 2 𝑌 tanh 𝛾𝑙 2 𝑌 2 𝑌 𝑍𝑌 tanh 𝛾𝑙 2 𝑌 2 𝑌 𝛾𝑙 tanh 𝛾𝑙 2 20 21 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão 𝑌 2 𝑌 2 tanh 𝛾𝑙 2 𝛾𝑙 2 ou LINHAS LONGAS Comparando as equações temos O termo é o fator pelo qual deve ser multiplicada a impedância em série do modelo pi nominal para convertelo no modelo pi equivalente 1 𝑉𝑆 𝑉𝑅 cosh 𝛾𝑙 𝐼𝑅𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝐼𝑅𝑍 cosh 𝛾𝑙 1 𝑍𝑌 2 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝑍 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝑍 Lembrando que 𝑍𝑐 𝑍 𝑌 e que 𝛾𝑙 𝑍𝑌 𝑍 𝑌 senh 𝛾𝑙 𝑍 𝑍𝑌 𝑍 𝑌 senh 𝛾𝑙 𝑍 𝑍𝑌 𝑍 senh 𝛾𝑙 Z 𝑍𝑌 Z 𝑍 senh 𝛾𝑙 𝑍𝑌 Z 𝑍 senh 𝛾𝑙 𝛾𝑙 21 23 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS LONGAS Logo para o modelo pi equivalente temos Y2 Y2 Z Z 𝑍 senh 𝛾𝑙 𝛾𝑙 𝑉𝑆 𝑉𝑅 1 𝑍𝑌 2 𝐼𝑅𝑍 𝑌 2 𝑌 2 tanh 𝛾𝑙 2 𝛾𝑙 2 23 22 1 2 𝑉𝑆 𝑉𝑅 cosh 𝛾𝑙 𝐼𝑅𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝐼𝑆 𝐼𝑅 cosh 𝛾𝑙 𝑉𝑅 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 21 Lembrando que Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS LONGAS Representação Matricial Y2 Y2 Z 1 2 𝑉𝑆 𝑉𝑅 cosh 𝛾𝑙 𝐼𝑅𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝐼𝑆 𝑉𝑅 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 𝐼𝑅 cosh 𝛾𝑙 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão 𝑉𝑆 𝐼𝑆 cosh 𝛾𝑙 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 1 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 cosh 𝛾𝑙 𝑉𝑅 𝐼𝑅 LINHAS LONGAS 𝒍 km Parâmetros Concentrados Parâmetros Distribuídos Z Y Z Y 100 524179º 317x10490º 522779º 317x1048998º 250 13103279º 793x10490º 12881792 80x104899º 500 26206479º 158x10390º 24461798º 164x103896º Portanto quanto maior o comprimento da linha de transmissão maior a diferença de precisão entre os parâmetros concentrados e distribuídos Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão LINHAS LONGAS Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão 𝑉𝑆 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝐼𝑆 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝐼𝑅 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝çã𝑜 𝑉𝑅 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝çã𝑜 𝑂𝑛𝑑𝑒 𝑍 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑙 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑌 2 𝑌 2 tanh 𝛾𝑙 2 𝛾𝑙 2 Z 𝑍 senh 𝛾𝑙 𝛾𝑙 𝑌 𝐴𝑑𝑚𝑖𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑎 Representação Matricial de 𝑉𝑆 e 𝐼𝑆 𝑉𝑆 𝐼𝑆 cosh 𝛾𝑙 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 1 𝑍𝑐 senh 𝛾𝑙 cosh 𝛾𝑙 𝑉𝑅 𝐼𝑅 Parâmetros Z Y e 𝑍𝑐 𝑍𝑐 𝑧 𝑦 𝑍𝑐 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 REGULAÇÃO DE TENSÃO E RENDIMENTO REGULAÇÃO DE TENSÃO E RENDIMENTO Regulação de tensão 𝑅𝑇 𝑉𝑅𝑉𝑍 𝑉𝑅𝑃𝐶 𝑉𝑅𝑃𝐶 100 Rendimento ɳ 100 𝑃𝑅 𝑃𝑆 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão EXERCÍCIO 1 58 Stevenson Uma linha de transmissão trifásica de 60 Hz tem 175 milhas de extensão Ela tem uma impedância em série total de 35 𝑗140ꭥ e uma admitância em derivação de 930 x 106 90𝑆 Ela fornece 40 MW em 220 kV com fator de potência 90 atrasado Determine a tensão na barra transmissora usando a Aproximação como linha curta b Aproximação como linha média c Aproximação como linha longa d Calcule a regulação de tensão para cada caso Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão cosh 𝛾𝑙 09354 𝑗00160 senh 𝛾𝑙 00419 𝑗03565 𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠 175 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 2816352 𝑘𝑚 EXERCÍCIO 1 58 Stevenson Uma linha de transmissão trifásica de 60 Hz tem 175 milhas de extensão Ela tem uma impedância em série total de 35 𝑗140ꭥ e uma admitância em derivação de 930 x 106 90𝑆 Ela fornece 40 MW em 220 kV com fator de potência 90 atrasado Determine a tensão na barra transmissora usando Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1101 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão cosh 𝛾𝑙 09354 𝑗00160 senh 𝛾𝑙 00419 𝑗03565 DADOS 𝑉𝑆 𝐼𝑆 1 𝑍 0 1 𝑉𝑅 𝐼𝑅 SOLUÇÃO 𝑓 60 𝐻𝑧 𝑙 2816352 𝑘𝑚 𝑍 35 𝑗140ꭥ 𝑌 930 10690𝑆 𝑍 𝑅 𝑗𝑋 ꭥ 𝑌 𝐺 𝑗𝐵 𝑆 𝑉𝑅𝐿𝐿 220 𝑘𝑉 𝑃𝑅 40 𝑀𝑊 𝐹𝑃 09 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑉𝑅𝐹𝑁 220 103 3 𝑉 𝑉𝑆 𝐼𝑆 𝐼𝑅 𝑍 1443087 7596ꭥ 𝑃𝑅 3 𝑉𝑅𝐿𝐿 𝐼𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐼𝑅 𝑃𝑅 3 𝑉𝑅𝐿𝐿 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴 𝑐𝑜𝑠109 2584 𝑉𝑆𝑐𝑢𝑟𝑡𝑎 𝑉𝑅 𝐼𝑅𝑍 𝐼𝑅 40 106 3 220 103 09 2584 𝐴 𝐼𝑅 1166364 2584 𝐴 𝑉𝑆𝑐𝑢𝑟𝑡𝑎 220 1030 3 1166364 25841443087 7596 𝑉𝑆𝑐𝑢𝑟𝑡𝑎 12701705920 1683164735012 𝑉𝑆𝑐𝑢𝑟𝑡𝑎 1270170592 107921459 𝑗129164212 𝑉𝑆𝑐𝑢𝑟𝑡𝑎 1378092051 𝑗129164212 𝑉𝑆𝑐𝑢𝑟𝑡𝑎 1384131892535 𝑉 12701705920 𝑉 1166364 2584𝐴 𝑉 𝑉𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑉 1270170592 2𝑠𝑒𝑛377𝑡 V 𝐼 𝐼𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜃 𝐴 𝐼 1166364 2𝑠𝑒𝑛377𝑡 2584 𝐴 BIBLIOGRAFIAS 1 MONTICELLI A J GARCIA A Introdução a Sistemas de Energia Elétrica Editora UNICAMP 1ª Edição Campinas 2003 2 STEVENSON W D Elementos de Análise de Sistemas de Potência 2ª ed Editora MacGrawHill do Brasil São Paulo1986 3 FUCHS RUBENS DARIO Transmissão de Energia Elétrica linhas aéreas teoria das linhas em regime permanente 2ª Edição Editora Livros Técnicos e Científicos Rio de janeiro 1979 4 ZANETTA Jr LUIZ CERA Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 1ª Edição Editora Livraria da Física São Paulo 2005 Profª Ana Caroline Torres de Carvalho GELT1019 Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 7 Modelagem de Linhas de Transmissão NA PRÓXIMA AULA MODELAGEM DE LINHAS DE TRANSMISSÃO II UNISUAM