Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos - Robert L. Norton

Cinemática e Dinâmica dos ROBERT L NORTON Mecanismos Com unidades do Sistema Internacional Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil N887c Norton Robert L Cinemática e dinâmica dos mecanismos recurso eletrônico Robert L Norton tradução Alessandra P de Medeiros Dados eletrônicos Porto Alegre AMGH 2011 Publicado também como livro impresso em 2010 ISBN 9788580550122 1 Engenharia mecânica 2 Mecanismos Projeto I Título CDU 621 Tradução Alessandro P de Medeiros Alisson Martins de Moura Danielle Zanzarini Fernando Marques Castro Gustavo Mattos Miranda Henrique de Almeida Nunes João Ivo Mançano Leonardo Gabriel de C Pereira Luiza Soares de Mello coordenação Rafael Ferrari Villanueva Rafael Ribeiro Teixeira Rodrigo Luis Fonseca de Almeida Revisão técnica Professor e Mestre Carlos Oscar Correa de Almeida Filho Professor Assistente da Escola de Engenharia Mackenzie e Professor Associado da Escola de Engenharia Mauá Professor e Engenheiro Marco Antônio Stipkovic Professor Convidado da Escola de Engenharia Mauá Supervisão Professor Doutor Sérgio Luis Rabelo de Almeida Professor Adjunto da Escola de Engenharia Mackenzie e Professor Associado da Escola de Engenharia Mauá Catalogação na publicação Ana Paula M Magnus CRB 102052 474 9 Capítulo9 tRansmissões PoR enGRenaGens Cíclico ou epicíclico orbe em orbe John milton pArAíso perdido 90 intRodUção A referência mais antiga conhecida sobre a transmissão por engrenagens remete a um en saio de Hero de Alexandria século 100 aC Transmissões por engrenagens são amplamente aplicadas em máquinas e mecanismos desde abridores de latas até navios portaaviões Quan do é necessária a mudança da velocidade ou do torque de um dispositivo rotativo uma trans missão por engrenagens ou outra similar como a por correias ou correntes provavelmente será utilizada Este capítulo irá abordar a teoria do funcionamento de dentes das engrenagens e o projeto destes dispositivos de controle de movimentos Os cálculos envolvidos neste processo são considerados triviais quando comparados com os de cames e mecanismos de barras O for mato de dentes das engrenagens se tornou bastante normatizado devido a questões cinemáticas que iremos explorar Engrenagens de diversos tamanhos e tipos são produzidas por muitas empresas Transmis sões prontas de diversas relações de redução também são encontradas para venda O projeto ci nemático de transmissões por engrenagens inclui a escolha de relações de redução apropriadas e diâmetros de engrenagens Um projeto de redutor por engrenagens completo deve levar em consideração o cálculo de esforços e também de fadiga aos quais os dentes das engrenagens estarão sujeitos Este texto não irá abordar aspectos de análise de fadiga do projeto de engre nagens existem muitos outros que têm como foco este tema Alguns deles estão listados na bibliografia ao final deste capítulo Nele é abordada a cinemática da teoria de dentes de engre nagens tipos de engrenagens e projeto cinemático do conjunto de engrenagens e transmissões por engrenagens simples compostas reversas e epicicloidais Transmissões por correntes e correias também serão discutidas Exemplos do uso destes dispositivos também serão apre sentados 9 tRansmissões PoR enGRenaGens 475 fiGURa 9 2 Transmissão por correia em V com dois canais Cortesia de T B Woods Sons Co Chambersburg PA fiGURa 9 1 Rodas de atrito 91 Rodas de atRito Uma das maneiras mais simples para transferir rotações entre eixos são pares de rodas de atrito Eles podem ser cilindros de contato externo como na Figura 9 1a ou de contato interno como na Figura 9 1b Desde que o atrito entre as faces dos cilindros seja suficientemente grande o mecanismo terá um bom funcionamento Não haverá deslizamento entre as faces dos cilindros desde que a força de atrito máxima entre elas não seja excedida pelo torque transferido Uma variação desse mecanismo é o que permite que seu carro ou sua bicicleta se movi mentem pelas estradas Seu pneu é um cilindro rolante e a estrada o outro de raio muito gran de O atrito evita que haja deslizamento entre eles a não ser que seu coeficiente seja reduzido pela presença de gelo ou outra substância escorregadia De fato alguns dos automóveis mais antigos possuíam sistemas de transmissão por rodas de atrito como alguns extratores de neve e cortadores de grama atuais que fazem uso de uma roda revestida de borracha em contato com um disco de ferro para transmitir potência do motor para as rodas Uma variação da transmissão por rodas de atrito é a transmissão por correias planas ou em V como mostrado na Figura 9 2 Este mecanismo também transmite potência por atrito e é capaz de transferir níveis de potência razoavelmente altos de acordo com seus perfis Correias possuem uma ampla variedade de usos desde pequenas máquinas de costura a al ternadores de carros e até mesmo geradores e bombas de alta potência Quando sincronismo absoluto não for necessário e os níveis de potência transmitidos não forem muito altos uma transmissão por correias será a melhor opção Elas são relativamente silenciosas não necessi tam de lubrificação e possuem um custo muito menor quando comparadas com transmissões por correntes e engrenagens A transmissão CVT do inglês constant velocity transmission utilizada em muitos automóveis também é uma transmissão por correia em V e polia na qual as polias ajustam seu espaçamento e deste modo modificam seus diâmetros Ao passo que uma polia aumenta seu espaçamento a outra terá de reduzir o seu para que os raios relativos da correia em V sejam alterados O comprimento da correia permanece o mesmo obviamente Ambas as transmissões por rodas de atrito ou correia ou corrente possuem mecanismos equivalentes como os mostrados na Figura 9 3 Esses mecanismos são somente outra variação dos mecanismos de quatro barras disfarçados a Cilindros de contato externo b Cilindros de contato interno 9 476 CinemátiCa e dinâmiCa dos meCanismos CaPÍtULo 9 fiGURa 9 3 Transmissões por engrenagens e por correia possuem mecanismos de quatro barras equivalentes para qualquer posição no tempo fiGURa 9 4 Par de engrenagens externo pinhão coroa As principais desvantagens da transmissão por rodas de atrito ou correias são a capaci dade relativamente baixa de transmitir um torque e a possibilidade de deslizamento Alguns dispositivos requerem total sincronia entre suas entradas e saídas por questões de tempo Um exemplo comum é o mecanismo de comando de válvulas no motor de um automóvel Os ca mes das válvulas devem permanecer sincronizados com o movimento dos pistões ou então o motor não funcionará Uma transmissão por correia ou rodas de atrito não garantiria o sincro nismo dos movimentos dos cames ou dos pistões Neste caso é necessária uma garantia de que não haverá deslizamento Isto normalmente significa adicionar dentes às rodas de atrito Elas então se tornam en grenagens como as mostradas na Figura 9 4 e unidas são chamadas de pares de engrenagens Quando duas engrenagens são unidas para formar um par de engrenagens como o da figura por convenção adota se o nome de pinhão para a menor das duas e coroa para a maior 92 Lei fUndamentaL de enGRenamento Conceitualmente dentes de qualquer formato irão prevenir o deslizamento Antigos moi nhos movidos a água e vento faziam uso de engrenagens de madeira cujos dentes eram simples estacas de madeira inseridas nas bordas dos cilindros Mesmo ignorando que tais construções antigas engrenagens eram rústicas não havia maneira de suavizar a velocidade de transmissão pois a geometria dos dentes dessas engrenagens violava a lei fundamental de engrenamento que se obedecida estabelece que a relação da velocidade angular entre as engrenagens de um par de engrenagens permanece constante durante o funcionamento Uma definição mais com pleta desta lei é abordada na p 458 A relação da velocidade angular mV à qual se refere esta lei é a mesma que encontramos para o mecanismo de quatro barras na Seção 64 e Equação 610 É igual a razão entre os raios das engrenagens de entrada e saída m mV rentrada rsaída dentrada dsaída T rsaída rentrada dsaída dentrada saída ω entrada ω entrada ω saída ω 91a 19 b a Transmissão por engrenagens b Transmissão por correia 2 4 Ponto primitivo 3 2 3 4 Correia Polia Engrenagem Polia Engrenagem Pinhão Coroa engrenagem maior 9 tRansmissões PoR enGRenaGens 477 fiGURa 9 5 Desenvolvimento da evolvente de um círculo A razão de torque mT foi apresentada na Equação 612f para ser o inverso da relação da velocidade mV portanto um par de engrenagens é essencialmente um dispositivo para trans formar torque em velocidade ou viceversa Como não há forças aplicadas como em um elo mas sim torques nas engrenagens a vantagem mecânica mA de um par de engrenagens é igual a sua razão de torque mT Sua aplicação mais comum é a de reduzir a velocidade e o aumento de torque para o acionamento de altas cargas como na transmissão de um automóvel Outras aplicações requerem um aumento da velocidade para a qual uma redução no torque deve ser aceitável Em ambos os casos normalmente é desejável manter uma razão constante entre as engrenagens conforme elas rotacionam Qualquer variação dessa razão irá resultar em oscilação da velocidade de saída e também do torque mesmo que a entrada seja constante no tempo Os raios na Equação 91 são aqueles das rodas de atrito às quais adicionamos os dentes O sinal positivo ou negativo se refere a montagens com cilindros internos ou externos como definidos na Figura 9 1 Uma montagem com cilindros externos inverte a direção de rotação entre os cilindros e requer sinal negativo Na montagem na qual temos um dos cilindros inter nos ou uma transmissão por correia ou corrente a direção da rotação de saída será a mesma da de entrada o que faz com que o sinal da Equação 91 seja positivo As superfícies das rodas de atrito se tornarão então as circunferências primitivas e seus diâmetros os diâmetros primitivos das engrenagens Os pontos de contato entre os cilindros encontram se nas linhas de centro como mostrado na Figura 9 3a e este ponto é chamado de ponto primitivo ou do inglês pitch point Para que a lei fundamental de engrenamento seja verdadeira o contorno dos dentes das engrenagens nos dentes nos quais eles serão acoplados devem ser conjugados uns dos outros Existem inúmeras possibilidades de possíveis pares conjugados que poderiam ser utilizados mas poucos formatos possuem aplicações práticas em engrenagens O cicloide ainda é uti lizado como formato de dentes de engrenagens de relógios mas muitas outras engrenagens possuem dentes com forma evolvente a forma de dente evolvente A curva evolvente pode ser gerada desenrolando se uma corda do cilindro chamado gera dor como mostrado na Figura 9 5 Podese afirmar sobre a curva evolvente que A corda é sempre tangente ao cilindro O centro de curvatura é sempre o ponto de tangência entre o cilindro e a corda Uma tangente à evolvente é sempre normal à corda seu comprimento é o raio de curva tura da evolvente neste instante A Figura 9 6 mostra duas evolventes em cilindros distintos em contato ou encaixa das Elas representam os dentes das engrenagens Os cilindros dos quais as evolventes se originam são chamados de circunferências de base das respectivas engrenagens Note que as circunferências de base são menores do que as primitivas que possuem o raio dos cilindros originais rp e rg Os dentes das engrenagens devem possuir projeções acima e abaixo da superfície do cilindro de contato circunferência primitiva e a evolvente existe apenas externamente à circunferência de base A região do dente da engrenagem que está sobre a circunferência primitiva é chamada de adendo complemento do dente mostrado como ap e ag para pinhão e engrenagem respectivamente que são os mesmos para dentes de engrenagempadrão A geometria da interface entre os dentes é similar à da junta came seguidor como foi mos trada na Figura 8 44 Há uma tangente comum a ambas as curvas no ponto de contato e uma Corda tangente à circunferência de base e normal à evolvente Curva evolvente Circunferência de base ou gerador 9 478 CinemátiCa e dinâmiCa dos meCanismos CaPÍtULo 9 fiGURa 96 Geometria de contato e ângulo de pressão de um dente evolvente normal comum perpendicular à tangente comum Note que a normal comum é na verdade a corda de ambas as evolventes que são colineares Portanto a normal comum que também é o eixo de transmissão sempre passa pelo ponto primitivo ou ponto de pitch indiferente mente de onde os dentes engrenados estejam em contato A Figura 9 7 mostra um par de dentes evolventes em duas posições em início de con tato e prestes a deixar o contato As normais comuns de ambos os pontos de contato ainda passam pelo mesmo ponto primitivo Esta é uma propriedade da curva evolvente que faz com que a lei fundamental do engrenamento seja obedecida A razão entre os raios da en grenagem motora e da engrenagem movida permanece a mesma conforme os dentes entram e saem de contato A partir desta observação de comportamento da evolvente podemos redefinir a lei funda mental de engrenamento de um modo cinemático mais formal a normal comum dos perfis dos dentes em todos os pontos de contato quando unidos deve sempre passar por um ponto fixo nas linhas de centro chamado ponto primitivo A relação de velocidades do par de engre nagens será então uma constante definida pela razão dos respectivos raios das engrenagens em relação ao ponto primitivo Os pontos de início e término de contato entre os dentes definem o engrenamento do pinhão e da engrenagem A distância da linha de ação entre esses pontos ao longo do engre namento é chamada de comprimento de ação Z definida pela intersecção dos respectivos círculos de adendo com a linha de ação como mostrado na Figura 9 7 Z r a r r a r C p p p g g g 2 2 2 2 9 2 cos cos senφ φ φ Raio primitivo da engrenagem movida rg Raio primitivo do pinhão rp Velocidade do ponto primitivo Circunferências primitivas Eixo de transmissão ou linha de ação normal comum é tangente às duas circunferências de base Ponto primitivo ou ponto de pitch Adendo do pinhão ap Circunferência de base da engrenagem Tangente comum Ângulo de pressão rotacionado na direção da engrenagem movida engrenagem ω Engrenagem movida SAH ωpinhão Engrenagem motora SH Circunferência de base do pinhão φ Adendo da engrenagem ag φ φ OG OP 9 tRansmissões PoR enGRenaGens 479 A distância da circunferência primitiva durante o engrenamento é o arco de ação e os ângulos formados por estes pontos e as linhas de centro são o ângulo de aproximação e o ângulo de afastamento que são mostrados somente na engrenagem movida da Figura 9 7 para simplificar o desenho porém ângulos similares podem ser encontrados na engrenagem motora pinhão O arco de ação em ambas as circunferências primitivas das engrenagens deve ser do mesmo comprimento para que não ocorra deslizamento entre as rodas de atrito teóricas ângulo de pressão O ângulo de pressão em um par de engrenagens é similar àquele do came e seguidor e é definido como o ângulo entre o eixo de transmissão ou linha de ação normal comum e a direção da velocidade no ponto primitivo como mostrados nas Figuras 9 6 e 9 7 Ângulos de pressão de pares de engrenagens são normalizados em alguns valores por fabricantes de engre nagens Eles são definidos em relação à distância nominal entre centros quando as engrenagens são produzidas Os valorespadrão são 145 20 e 25 porém o mais utilizado é o ângulo de 20 sendo o ângulo de 145 considerado obsoleto Qualquer ângulo de pressão pode ser pro duzido mas seu maior custo em relação às engrenagens disponíveis em estoque com ângulos de pressão padronizados torna seu uso pouco indicado Ferramentas teriam de ser fabricadas apenas para sua produção Engrenagens que funcionarão aos pares devem ser fabricadas com o mesmo ângulo de pressão nominal alterando a distância entre centros Quando dentes evolventes ou qualquer outro dente foram cortados em um cilindro res peitando determinada circunferência de base para criar uma única engrenagem nós ainda não tínhamos definida a circunferência primitiva Essa circunferência passa a existir somente fiGURa 9 7 Ponto primitivo circunferências primitivas ângulo de pressão comprimento de ação arco de ação ângulos de aproximação e afastamento durante o engrenamento da engrenagem e do pinhão Arco de ação Início de contato Ponto primitivo Circunferências primitivas Eixo de transmissão normal comum Deixando o contato Comprimento de ação Z Distância entre centro C Ângulo de pressão rotacionado na direção da engrenagem movida φ Adendo de círculos engrenagem ω Engrenagem movida SAH pinhão ω Engrenagem motora SH Ângulo de afastamento Ângulo de aproximação 9 480 CinemátiCa e dinâmiCa dos meCanismos CaPÍtULo 9 quando unimos esta engrenagem a outra para criar um par de engrenagens ou um conjunto de engrenagens Haverá uma faixa de valores para distâncias entre centros na qual poderemos obter o engrenamento das engrenagens Existirá também uma distância entre centros DC ideal que nos fornecerá os diâmetros primitivos nominais para os quais as engrenagens foram projetadas Entretanto limitações no processo de produção irão reduzir a probabilidade de alcançarmos exatamente a distância entre centros ideal em todos os casos Provavelmente haverá algum erro na distância entre centros mesmo sendo muito baixo O que ocorrerá com a aplicabilidade da lei fundamental de engrenamento se houver erro na localização dos centros das engrenagens Se o formato do dente da engrenagem não for o evolvente então um erro na distância entre centros irá violar a lei fundamental e haverá variação ou flutuação na velocidade de saída A velocidade angular de saída não será constante para uma velocidade constante de entrada Todavia com a forma evolvente do dente da engrenagem erros na distância entre centros não afetam a relação de velocidades Esta é a principal vanta gem da forma evolvente em relação a outras possíveis formas de dentes e a razão pela qual esta forma é quase universalmente utilizada para dentes de engrenagens A Figura 9 8 mostra o que ocorre quando a distância entre centros varia em um conjunto de engrenagens com dentes evol ventes Note que a normal comum ainda passa pelo ponto primitivo comum a todos os pontos de contato quando em engrenamento Porém o ângulo de pressão é alterado quando há erro na distância entre centros A Figura 9 8 ainda mostra o ângulo de pressão para duas distâncias entre centros diferen tes À medida que a distância entre centros aumenta o ângulo de pressão também aumentará e viceversa Esta é uma consequência da mudança ou erro na distância entre centros de um dente evolvente Note que a lei fundamental de engrenamento ainda é válida para uma distân cia entre centros alterada A normal comum ainda é tangente às duas circunferências de base e ainda passa pelo ponto primitivo Esse ponto foi alterado mas em proporção à alteração da distância entre centros e dos raios das engrenagens A relação das velocidades não é alterada apesar da mudança da distância entre centros Na verdade a relação das velocidades de engre nagens evolventes é fixada pela razão entre os diâmetros das circunferências de base que não podem ser alterados após o corte das engrenagens Jogo nos dentes Outro fator afetado pela mudança da distância entre os centros é o jogo nos dentes Com o aumento da DC a folga nos dentes também irá aumentar e viceversa O jogo nos dentes é de finido como o vão entre dentes em contato medido na circunferência primitiva Tolerâncias de fabricação evitam folgas iguais a zero pois nem todos os dentes possuem as mesmas dimen sões e todos devem engrenar Portanto deve haver uma pequena diferença entre a espessura dos dentes e o espaçamento entre eles ver Figura 9 9 Enquanto o conjunto de engrenagens funcionar com um torque não reversível a folga não deve ser um problema Porém quando o torque mudar de sentido o dente irá se movimentar do contato em um lado para o contato em outro lado O vão devido à folga será percorrido pelo dente e o impacto do dente gerará ruído Este é o mesmo fenômeno que ocorre no impacto cruzado nos cames unidos por forma Assim como o aumento da fadiga e o desgaste da engrenagem a folga pode causar erros de posicionamento indesejáveis em algumas aplicações Se a distância entre centros for definida exatamente para obedecer ao valor teórico definido para o conjunto de engrenagens a tolerân cia de jogo deve variar na faixa de 0003 a 0018 mm para engrenagens de precisão O aumento do jogo angular em função do erro na distância entre centros é aproximadamente θ φ π B C d 9 3 43 200 tan minutos de arco 9 tRansmissões PoR enGRenaGens 481 fiGURa 9 8 A alteração da distância entre centros de engrenagens evolventes modifica o ângulo de pressão e os diâmetros primitivos em que f ângulo de pressão ΔC erro na distância entre centros e d diâmetro primitivo da engrenagem no eixo em que a folga é medida Em servomecanismos acionados por motores por exemplo as superfícies de controle de aeronaves a folga pode causar sérios problemas pois o sistema de controle tentará cor rigir problemas de posicionamento em vão devido a folgas no acionamento mecânico Tais aplicações necessitam de engrenagens que não permitem folgas entre os dentes que são na verdade duas engrenagens unidas no mesmo eixo que podem ser levemente rotacionadas uma em relação à outra na montagem e fixadas de modo a eliminar a folga Em aplicações menos críticas como o dispositivo de propulsão de um barco a folga na rotação reversa não será notada O Sistema Internacional SI define padrões para projeto e fabricação de engrenagens 93 nomenCLatURa de dentes de enGRenaGens A Figura 9 9 mostra dois dentes de engrenagem com a nomenclaturapadrão definida Circunferência primitiva e circunferência de base foram definidas anteriormente A altura a Distância entre centros correta b Distância entre centros aumentada Novo e maior raio primitivo da engrenagem motora Novo e maior raio primitivo da engrenagem movida Novo ângulo de pressão φ 23 Circunferência de base não é alterada Novas circunferências primitivas Novo ponto primitivo Circunferência de base não é alterada Alteração da distância dos centros Velocidade no ponto primitivo Raio primitivo do pinhão Raio primitivo da engrenagem movida Ângulo de pressão φ 20 Mudança de posição do ponto de contato na circunferência primitiva Linha de ação normal comum é tangente às circunferências de base