Dinâmica dos Corpos Rígidos: Movimentos e Equações Fundamentais

Um corpo rígido constituise em um sólido admitido indeformável for mado por um conjunto de partículas dispostas de tal forma que as distâncias relativas entre elas sejam fixas e suas formas ou dimensões não se alterem à aplicação de uma força Esses corpos rígidos possuem três tipos básicos de movimentos de translação de rotação e plano geral que é a combinação entre translação e rotação Na dinâmica plana dos corpos rígidos especificamente duas equações serão utilizadas A Equação 1 relaciona a resultante das forças externas e a aceleração do centro de massa G do sistema de partículas sendo ΣF ma 1 A Equação 2 relaciona o momento resultante das forças externas e a taxa de variação da quantidade de movimento angular do sistema de partículas em relação a G sendo ΣMG HG 2 Essa equação pode ser simplificada pela escolha adequada do ponto de referência O Uma delas é utilizando o centro de massa como O Então x e y são zero Com essa escolha as equações escalares do movimento plano Equações 3 e 4 são ΣFx max 3 ΣFy may 4 ΣMG Ια 5 Essas equações mostram que a aceleração do centro de massa G do corpo rígido e sua aceleração angular α podem ser facilmente obtidas quando a resultante das forças externas que atuam no corpo e seu momento resultante em relação a G tiverem sido determinados conforme demonstrado na Figura 1 a seguir Dinâmica plana de corpos rígidos 2 Figura 1 Um corpo rígido sendo submetido a forças Fonte Nelson McLean e Potter 2013 p 129 Um conjunto de eixos de coordenadas é considerado nas equações vetoriais Isso significa que se os eixos x e y são escolhidos positivos para a direita e para cima a rotação no sentido antihorário deve ser escolhida positiva para ser coerente com a regra da mão direita ilustrada na Figura 2 a seguir Para entender melhor a regra da mão direita veja o capítulo 12 do livro Física uma abordagem estratégica v 1 KNIGHT 2009 Os corpos rígidos considerados em nosso estudo são somente planos e simétricos em relação ao plano de referência ou seja eles têm um eixo principal de inércia que passa pelo centro de massa perpendicular ao plano de referência 3 Dinâmica plana de corpos rígidos Figura 2 Regra da mão direita Fonte Hibbeler 2005 p 246 0 r P 0 d0 d0 A propriedade que confere a um corpo a capacidade de resistir a qualquer alteração do seu movimento denominase inércia Todos os corpos físicos são inertes mas a inércia é diferente de corpo para corpo A medida quantitativa de inércia de um corpo denominase massa Essas duas propriedades servem como base da dinâmica plana dos corpos rígidos Centro de massa Em um sistema de corpos rígidos podemos definir um centro de massa pois mesmo quando um objeto está em movimento existe um ponto nele chamado centro de massa Ou seja o centro de massa é o ponto no qual podemos imaginar que toda a massa de um corpo esteja concentrada Dinâmica plana de corpos rígidos 4 A posição do centro de massa combinado de dois ou mais corpos é en contrada pela soma de seus vetores posição ponderados por suas massas individuais O momento do centro de massa é a soma dos vetores do momento linear das partes de um sistema Sua derivada em relação ao tempo é igual à força resultante externa total que atua no sistema uma formulação estendida da segunda lei de Newton O movimento de massa de um sistema de partículas pode ser descrito pelo vetor r que satisfaz a relação da Equação 6 6 onde m representa a massa total e dessa forma obtemos as três equações escalares seguintes Equações 7 7 Na Figura 3 a seguir temos os exemplos de vários objetos girando em torno de um eixo que passam através do centro de massa 5 Dinâmica plana de corpos rígidos Figura 3 Orientação do eixo de rotação passando através do centro de massa e definição das dimensões para os objetos Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 319 Momento de inércia Definimos o momento de inércia como a integral do segundo momento em relação ao eixo de todos os elementos de massa dm que compõem o corpo rígido Figura 4 HIBBELLER 2005 conforme Equação 8 8 Dinâmica plana de corpos rígidos 6 Figura 4 Momento de inércia do corpo em relação ao eixo Fonte Adaptada de Fouad A SaadShutterstockcom D i s co de mas sa M No estudo da dinâmica do movimento plano geralmente se escolhe o eixo que passa pelo centro de massa G do corpo que é perpendicular ao plano de movimento Para a rotação de um objeto por meio de um eixo em torno do seu centro de massa o momento de inércia é proporcional ao produto da massa do objeto e ao quadrado da maior distância perpendicular de qualquer parte do objeto ao eixo de rotação A constante de proporcionalidade tem um valor entre zero e um e depende da geometria do objeto No caso de a rotação ser em torno de um eixo paralelo a outro eixo passando pelo centro de massa do objeto o momento de inércia é igual ao momento de inércia do centro de massa mais o produto da massa do objeto pelo quadrado da distância entre os dois eixos E por fim para objetos rotativos as energias cinética de rotação e de translação estão relacionadas como demonstrado nas Figuras 5 e 6 7 Dinâmica plana de corpos rígidos Os momentos de inércia de massa das três formas mais comuns são apre sentados na Figura 5 Essas geometrias são as formas mais utilizadas em problemas relacionados à dinâmica dos corpos rígidos Figura 5 Momentos de inércia de massa Fonte Nelson McLean e Potter 2013 p 132 Nas Figuras 6 e 7 são mostrados vários objetos girando em torno de um eixo que passam através do centro de massa o momento de inércia para cada objeto bem como a constante C da equação Dinâmica plana de corpos rígidos 8 Figura 6 Momento de inércia de alguns sólidos Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 316317 Figura 7 Momento de inércia e valor da constante C Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 320 Para se aprofundar nos conhecimentos sobre centro de massa e momento de inércia seus conceitos suas equações e aplicações leia o livro Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica BEER et al 2019 9 Dinâmica plana de corpos rígidos Translação e rotação em torno de um eixo fixo Um corpo rígido sujeito a forças e momentos externos possui um movimento de rotação eou translação conforme demonstrado na Figura 8 a seguir Figura 8 Movimentos de um corpo rígido Fonte Hibbeler 2005 p 322 G M1 M2 G a F1 F2 F3 F4 A translação de um corpo rígido é definida como o movimento em que todas as partículas do corpo têm a mesma aceleração NELSON MCLEAN POTTER 2013 A Figura 9 demonstra um caso típico em que a conexão horizontal de uma locomotiva sofre uma translação curvilínea Dinâmica plana de corpos rígidos 10 Figura 9 Movimento de translação curvilínea do sistema de movimentação de um trem Fonte jgorzynikShutterstockcom A rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo é definida como o movimento em que todas as partículas ao longo do eixo fixo estão em repouso e todas as outras partículas do corpo movemse em trajetórias circulares com centros ao longo do eixo de rotação NELSON MCLEAN POTTER 2013 A Figura 10 a seguir demonstra uma máquina CNC de forma que para produzir essa peça complexa necessitouse de inúmeros movimentos de rotação tanto da ferramenta como da mesa da máquina Figura 10 Movimento de rotação em uma máquina industrial CNC Fonte Andrey ArmyagovShuttestockcom 11 Dinâmica plana de corpos rígidos Figura 11 Movimento de rotação Fonte Beer et al 2019 p 1110 Se um corpo tem um plano de simetria e gira em torno de um eixo fixo perpendicular a esse plano então as equações escalares de movimento do corpo sob a ação de um sistema de forças desequilibradas são denominadas de rotação não centroidal e representadas conforme Equações 11 11 Se a rotação é em torno de um eixo fixo através de G isto é se G e O são coincidentes então F 0 e momentos são tomados em relação ao centro de massa Nesse caso são denominadas de rotação centroidal e tornamse as Equações 12 13 Dinâmica plana de corpos rígidos 12 Uma roldana fixa é um exemplo de corpo rígido com eixo de rotação fixo Se a roldana for homogênea o centro de massa também está no eixo de rotação A Figura 12 a seguir demonstra uma roldana de massa m e raio R em que o fio acompanha a sua rotação sem deslizar As forças e os momentos externos são o peso mg as tensões na corda nos dois lados da roldana F1 e F2 a força de contato no eixo da roldana Fe e o binário M que é produzido pelo atrito no eixo da roldana no sentido oposto à sua rotação Figura 12 Forças e binários externos sobre uma roldana Fonte Emre TerimShutterstockcom Dinâmica plana de corpos rígidos 14 Movimento plano geral de corpos rígidos No estudo da dinâmica do movimento plano de corpos rígidos juntamente com a análise de centro de massa e momento de inércia e suas cargas consideradas simétricas em relação ao plano de referência fixo a trajetória de cada ponto do corpo é uma curva plana paralela ao plano de referência demonstrado na Figura 13 Dessa forma simplificamos as equações pois temos a origem do referencial inercial xyz coincidindo com o ponto P de forma que esses eixos se tornam fixos Figura 13 Curva plana paralela ao plano de referência Fonte Hibbeler 2005 p 346 O sistema de forças externas em geral não se reduz a um único vetor ma ligado a G Portanto no caso geral do movimento plano de um corpo rígido a resultante das forças externas que atuam sobre o corpo não passa pelo centro de massa dele BEER et al 2019 A Figura 14 a seguir demonstra uma linha de montagem de automóveis utilizando robôs de soldagem que desenvolvem diversos movimentos planos gerais combinando rotação e translação de forma rápida e extremamente precisa 15 Dinâmica plana de corpos rígidos Figura 14 Movimento plano geral dos robôs de soldagem Fonte JensonShutterstockcom Para entendermos melhor a dinâmica do movimento plano geral de corpos rígidos inicialmente verificaremos que na Figura 15 as forças externas que atuam sobre o corpo rígido também são equivalentes a um vetor ma ligado ao centro de massa G e a uma inércia rotacional Ια Figura 15 Sistema de forças externas que atuam sobre um corpo rígido em rotação Fonte Beer et al 2019 p 1112 Dinâmica plana de corpos rígidos 16 No caso de um corpo rígido em translação esse tem um vetor ligado ao centro de massa G mas sem inércia rotacional Ια conforme Figura 16 a seguir Figura 16 Sistema de forças externas que atuam sobre um corpo rígido em translação Fonte Beer et al 2019 p 1113 Entretanto um corpo rígido em rotação em torno do centro de massa G tem inércia rotacional mas sem ma conforme Figura 17 Figura 17 Sistema de forças externas que atuam sobre um corpo rígido Fonte Beer et al 2019 p 1113 17 Dinâmica plana de corpos rígidos Se compararmos a Figura 15 com as Figuras 16 e 17 verificamos que o centro de massa G de um corpo rígido em um movimento plano movese como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nesse ponto e todas as forças externas atuassem sobre ele Do ponto de vista da cinética o movimento plano mais geral de um corpo rígido simétrico em relação ao plano de referência pode ser substituído pela soma de uma translação e uma rotação em torno do centro de massa O estudo da física mecânica referente à dinâmica do movimento plano geral de corpos rígidos consiste nos efeitos das forças e binários externos assim como na variação dos seus graus de liberdade conforme demonstrado na Figura 18 a seguir Figura 18 Movimentos de um corpo rígido Fonte Fouad A SaadShutterstockcom O corpo rígido da Figura 15 está girando em torno do seu eixo com ve locidade angular ws Nesse caso tem velocidade angular na direção do seu eixo e desde a ponta para a parte superior Como o eixo do objeto não está em posição vertical o seu peso e a reação normal na ponta produzem binário no sentido em que o ângulo aumenta Dinâmica plana de corpos rígidos 18 Esse binário implica uma aceleração angular α tangente à circunferência da Figura 15 e com o sentido indicado para o ângulo que faz com que o vetor velocidade angular no eixo do corpo rígido gire com velocidade angular no sentido indicado na circunferência A partir dos estudos desses movimentos temos as seguintes Equações 13 do movimento plano geral 13 Para se aprofundar nos conhecimentos sobre o movimento plano geral seus conceitos suas equações e aplicações leia o livro Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica BEER et al 2019 BAUER W WESTFALL G D DIAS H Física para universitários mecânica Porto Alehre AMGH 2012 BEER F P et al Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 11 ed Porto Alegre AMGH 2019 HIBBELER R C Dinâmica mecânica para engenharia 10 ed São Paulo Pearson 2005 19 Dinâmica plana de corpos rígidos KNIGHT R D Física uma abordagem estratégica 2 ed Porto Alegre Bookman 2009 Mecânica Newtoniana Gravitação Oscilações e Ondas v 1 NELSON E W MCLEAN W G POTTER M C Engenharia mecânica dinâmica 5 ed Porto Alegre Bookman 2013 Coleção Schaum Leitura recomendada NORTON R L Cinemática e dinâmica dos mecanismos Porto Alegre AMGH 2010 Dinâmica plana de corpos rígidos 20