Aula 10: A Regra da Cadeia em Cálculo Básico

z CÁLCULO BASICO AULA 10 A REGRA DA CADEIA z A REGRA DA CADEIA Seja e onde e considere a função a composta de com Nestas condições podemos escrever a derivada da função composta como Derivada da função externa 𝑔 porém aplicada na função interna 𝑓 Derivada da função interna 𝑓 Observação 2 Vimos na aula anterior que quando fazemos a composição de duas funções polinomiais na maioria das vezes é mais fácil fazer a simplificação das operações envolvidas e escrever a função composta como uma função polinomial Exemplo 2 fx x² gx x³ assim a composta hx gfx será hx x²³ Aqui é mais fácil efetuarmos a simplificação aplicando a propriedade de potências e escrever hx x⁶ E agora utilizamos a regra de derivação para potências escrevemos hx 6x⁶¹ hx 6x⁵ Observação 3 Em alguns casos tornase vantajoso utilizarmos a Regra da Cadeia mesmo na composição de funções polinomiais pois o processo de simplificação pode ser muito trabalhoso Exemplo 3 fx x² 3 gx x¹⁰⁰ assim a composta hx gfx será hx x² 3¹⁰⁰ Aqui não é mais fácil efetuarmos o desenvolvimento e simplificação Assim precisamos aplicar a Regra da Cadeia fx x² 3 fx 2x gx 100x⁹⁹ gfx 100x² 3⁹⁹ Assim gx 100x² 3⁹⁹2x ou finalmente gx 200xx² 3⁹⁹ Exemplo 4 Dada a função hx 1x23x2 encontre a derivada hx Observando a função vemos que existe uma operação de divisão e que o divisor no denominador é a função fx x2 3x 2 que será a função interna A função externa é aquela que contém a divisão então podemos escrever gx 1x Observe que hx gfx gx2 3x 2 1x2 3x 2 fx 2x 3 gx 1x gx x1 gx 1 x2 gx 1x2 Assim gfx gx2 3x 2 1x2 3x 22 portanto pela Regra da Cadeia hx gfx fx hx 1x2 3x 22 2x 3 hx 2x 3x2 3x 22 Exemplo 5 Dada a função hx ex x3 encontre a derivada hx Observando a função vemos que existe uma operação de raiz quadrada aplicada na função fx ex x3 que será a função interna A função externa é a raiz então podemos escrever gx x Observe que hx gfx gex x3 ex x3 fx ex x3 fx ex 3x2 gx x gx x12 gx 12 x12 gx 12x Assim gfx gex x3 12ex x3 portanto pela Regra da Cadeia hx gfx fx hx 12ex x3 ex 3x2 hx ex 3x22ex x3 Exemplo 6 Calcule a derivada de fx lnx2 gx lnx hx x2 e assim vale que fx ghx gx 1x ghx 1x2 hx 2x e assim pela Regra da Cadeia temos fx ghx hx fx 1x2 2x ou finalmente fx 2x Aqui também podemos utilizar a notação do para facilitar o processo de derivação Assim fx lnx2 1x2 x2 1x2 2x ou finalmente fx 2x Exemplo 8 Calcule a derivada da função hx 5x² 3 Observe que hx gfx com gx x e fx 5x² 3 fx 5x² 3 fx 10x gx x gx 12x gfx 125x² 3 Assim pela Regra da Cadeia hx gfx fx hx 125x² 3 10x hx 5x5x² 3 Aqui também podemos utilizar a notação do para facilitar o processo de derivação Assim 5x² 3 125x² 3 5x² 3 125x² 3 10x ou hx 5x5x² 3 Exemplo 9 Calcule a derivada da função hx ³6x² 7x 2 Observe que hx gfx com gx ³x e fx 6x² 7x 2 fx 6x² 7x 2 fx 12x 7 gx ³x x¹³ gx 13x²³ 136x² 7x 2² gfx 136x² 7x 2² Assim pela Regra da Cadeia hx gfx fx hx 136x² 7x 2² 12x 7 Aqui também podemos utilizar a notação do para facilitar o processo de derivação Assim ³6x² 7x 2 136x² 7x 2²³ 12x 7 ou finalmente hx 13³6x² 7x 2² Exemplos 10 Calcule a derivada da função hx 32x23x1 Exemplos 11 Calcule a derivada da função hx leftfrac3x 22x 1right5 FIM