Aula 10: Funções Compostas em Cálculo Básico

z CÁLCULO BASICO AULA 10 FUNÇÕES COMPOSTAS z FUNÇÕES COMPOSTAS Considere o diagrama de EulerVenn abaixo Ele representa o comportamento de duas funções e Observe que e e e e A B C z FUNÇÕES COMPOSTAS Pergunta Existe alguma função tal que Resposta sim a função composta de e A B C A B C z FUNÇÕES COMPOSTAS Veja com satisfaz que com satisfaz que A B C z FUNÇÕES COMPOSTAS Observe que a primeira função a ser aplicada foi a e depois a Em termos do exemplo podemos escrever que e ou 𝑓1 A B C 2 Composição de funções z FUNÇÕES COMPOSTAS Assim podemos escrever é a função que associa os valores do conjunto nos valores do conjunto Matematicamente podemos escrever Observe que para com vale A B C Composição de funções z FUNÇÕES COMPOSTAS Definição Seja e definese função composta de com à função Graficamente representamos através do diagrama de EulerVenn ℎ 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔𝑜𝑓𝑥 Notação z FUNÇÕES COMPOSTAS Observação 1 Na composição de funções será útil identificar qual é a função externa e a função interna Isso nem sempre é possível pois depende dos tipos de leis de formação das funções e No exemplo anterior vimos que com a função composta Analisando apenas a função não é possível extrair as funções e Isso acontece pois tanto quanto são polinomiais e assim a composta também será polinomial z FUNÇÕES COMPOSTAS Observação 2 Na composição de funções temos que e gerando a função composta uma condição necessária é que z FUNÇÕES COMPOSTAS Observação 3 Na composição de funções temos que e Suponha que seja possível aplicar a composições e ou seja e existem Então em geral Voltando ao Exemplo Já vimos que Agora Ou seja FUNÇÕES COMPOSTAS Exemplo 1 Considere as funções fx x² e gx x³ Encontre h₁x gofx e h₂x fogx Sol h₁x gfx gx² x²³ x⁶ h₁x x⁶ h₂x fgx fx³ x³² x⁶ h₂x x⁶ Observação É possível que gofx fogx Sim vimos isto neste exemplo Mas isso é uma exceção e não a regra FUNÇÕES COMPOSTAS Exemplo 2 Considere as funções fx eˣ e gx x³ Encontre h₁x gofx e h₂x fogx Sol h₁x gfx geˣ eˣ³ e³ˣ h₁x e³ˣ h₂x fgx fx³ eˣ³ h₂x eˣ³ Observe aqui que gofx fogx Essa é a regra FUNÇÕES COMPOSTAS Exemplo 3 Considere as funções fx 3x 5 e gx x Encontre h₁x gofx e h₂x fogx Sol h₁x gfx g3x 5 3x 5 h₁x 3x 5 h₂x fgx fx 3x 5 h₂x 3x 5 Exercício 4 Dada a função hx frac1x23x2 encontre as funções f e g tais que hx gfx Sol hx gfx frac1x23x2 Observando a função vemos que existe uma operação de divisão e que o divisor no denominador é a função fx x2 3x 2 que será a função interna A função externa é aquela que contém a divisão então podemos escrever gx frac1x Observe que hx gfx gx2 3x 2 frac1x2 3x 2 Exercício 5 Dada a função hx sqrtex x3 encontre as funções f e g tais que hx gfx Sol hx gfx sqrtex x3 Observando a função vemos que existe uma operação de raiz quadrada aplicada na função fx ex x3 que será a função interna A função externa é a raiz então podemos escrever gx sqrtx Observe que hx gfx gex x3 sqrtex x3 FIM