Aula 24: Integrais Definidas

z CÁLCULO BASICO AULA 24 INTEGRAIS DEFINIDAS INTEGRAIS DEFINIDAS INTEGRAIS DEFINIDAS EXEMPLO 1 Calcule a integral 1 1 x³ x² dx Se fx geq 0 no intervalo a b então intab fx dx geq 0 Seja fx integrável em a b e c in a b então intab fx dx intac fx dx intcb fx dx INTEGRAIS DEFINIDAS INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Seja fx 0 integrável em ab então b a fxdx representa a área sob o gráfico da função fx ou seja Área b a fxdx INTEGRAIS DEFINIDAS OBSERVAÇÃO 1 Se fx 0 em ab então área sobre o gráfico da função fx é dado por Área b a fxdx INTEGRAIS DEFINIDAS OBSERVAÇÃO 2 Se c ab tal que fx 0 no intervalo ac e fx 0 no intervalo cb então a área sob o gráfico de fx no intervalo ab é dada por Área b c fxdx c a fxdx INTEGRAIS DEFINIDAS OBSERVAÇÃO 3 Se c a b tal que fx 0 no intervalo a c e fx 0 no intervalo c b então a área sob o gráfico de fx no intervalo a b é dada por Área c a fxdx b c fxdx INTEGRAIS DEFINIDAS EXEMPLO 5 Calcule a área sob o gráfico da função fx x³ x² 3x no intervalo 2 1 Em primeiro lugar precisamos perceber que a função muda de sinal no intervalo 2 1 Assim precisamos encontrar o ponto c 2 1 na qual ocorre a mudança de sinal ou seja precisamos encontrar a raiz da função fx x³ x² 3x INTEGRAIS DEFINIDAS EXEMPLO 5 continuidade x³ x² 3x 0 x x² x 3 0 x 0 Portanto c 0 é a raiz no intervalo 2 1 Área 0 2 x³ x² 3x dx 1 0 x³ x² 3x dx Área x⁴4 x³3 3x²2⁰ 2 x⁴4 x³3 3x²2¹ 0 Área 2⁴4 2³3 32²2 144 133 3122 Área 6712 EXEMPLO 6 Calcule a área determinada no gráfico abaixo fx x2 8x 7 EXEMPLO 6 continuação Em primeiro lugar precisamos identificar o intervalo de integração Analisando o gráfico vemos que a 0 Porém resta encontrar as raízes c e b x2 8x 7 0 Delta 82 4 cdot 1 cdot 7 Delta 64 28 Delta 36 Portanto Área int01 fx dx int17 fx dx Área int01 x2 8x 7 dx int17 x2 8x 7 dx Área leftfracx33 frac8x22 7xright01 leftfracx33 frac8x22 7xright17 EXEMPLO 6 continuação Área leftfracx33 4x2 7xright01 leftfracx33 4x2 7xright17 Área leftfrac133 4 cdot 12 7 cdot 1right leftfrac033 4 cdot 02 7 cdot 0right leftleftfrac733 4 cdot 72 7 cdot 7right leftfrac133 4 cdot 12 7 cdot 1rightright Área frac13 4 7 leftfrac3433 196 49right leftfrac13 4 7right Área frac13 3 frac3433 147 frac13 3 Área frac3413 153 Portanto Area frac1183 FIM