Aplicações de Derivadas: Gráficos e Análise de Funções

z CÁLCULO BASICO AULA 15 APLICAÇÕES DE DERIVADAS GRÁFICOS Vamos agora utilizar o conhecimento adquirido até aqui sobre derivadas para fazer gráficos de funções Para isso vamos aplicar as interpretações geométricas e fazer uso do coeficiente angular EXEMPLO 1 Dada a função fx 2x³ 3x² 36x 10 apresente os intervalos de crescimento e decrescimento e faça um esboço do gráfico da fx fx 6x² 6x 36 Vamos fazer o gráfico da derivada que fornece informações valiosas sobre o crescimento e decrescimento Assim vamos fazer uma tabela com valores de fx 6x² 6x 36 0 Δ 6² 4 6 36 Δ 36 864 900 x 6 900 2 6 x₁ 6 30 12 3 x₂ 6 30 12 2 Gráfico de fx e a análise do sinal da derivada z GRÁFICOS Precisamos da análise do sinal da derivada assim Mapa da derivada Intervalo de crescimentodecrescimento 𝑆𝑒 𝑥 2 𝑜𝑢 𝑥 3 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑒 2 𝑥 3 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 Observe que o objetivo do mapa da derivada é encontrar os pontos importantes para a construção do gráfico de 𝑓 𝑥 Neste caso os pontos são 2 e 3 RESUMO E ANÁLISE DAS INFORMAÇÕES O MAPA DA DERIVADA fx 2x³ 3x² 36x 10 x fx 0 10 2 54 3 71 Esboço do gráfico Definição Seja fx uma função qualquer derivável em todos os pontos de seu domínio Definese ponto crítico de fx ao ponto x₀ tal que fx₀ 0 Pontos Máximos e Mínimos de uma função 1 Definese o ponto de máximo xMAX local ao ponto tal que fx fxMAX para x A Dom f Se fx fxMAX para x Dom f dizemos que xMAX é ponto de máximo global 2 Definese o ponto de mínimo xMIN local ao ponto tal que fxMIN fx para x B Dom f Se fxMIN fx para x Dom f dizemos que xMIN é ponto de mínimo global Consequência Se x₀ é um ponto de máximo ou ponto de mínimo então fx₀ 0 Observação Cuidado não vale a afirmação oposta Se fx₀ 0 x₀ ponto de máximo ou de mínimo Veja o contraexemplo Seja fx 3 cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo x e portanto não tem ponto de máximo nem de mínimo Mas mesmo assim vale que fx 3 fx 0 x Dom f Resultado Importante Através do mapa da derivada é possível identificar os pontos de máximo e de mínimo locais Vejamos Mapa da derivada x₀ é um ponto de máximo local x₀ é um ponto de mínimo local EXERCÍCIO 2 Dada a função fx 2x³ 27x² 84x 15 apresente os pontos de máximos e mínimos e faça um esboço do gráfico da fx Sol Para fazer um esboço do gráfico precisamos saber escolher os pontos adequados para a tabela Vamos começar encontrando os pontos críticos Derivando fx temse fx 6x² 54x 84 Pontos críticos fx₀ 0 6x² 54x 84 0 Δ 54² 4 6 84 Δ 2916 2016 900 x 54 900 2 6 x₁ 54 30 12 7 x₂ 54 30 12 2 Assim vamos fazer uma tabela com valores de fx x fx 0 84 2 0 7 0 O MAPA DA DERIVADA Precisamos da análise do sinal da derivada assim Analisando o ponto crítico x₁ 2 vemos que é um ponto de máximo local e o ponto x₂ 7 é um ponto mínimo local fx 2x³ 27x² 84x 15 x fx 0 15 2 61 7 64 Esboço do gráfico EXEMPLO 3 Dada a função fx 2x³ 9x² 60x 1 Faça um esboço do gráfico apresentando os pontos de máximo e mínimo locais Esses pontos podem ser considerados globais Sol Pontos Críticos fx 0 Derivando temse fx 6x² 18x 60 6x² 18x 60 0 Δ 18² 4 6 60 Δ 384 1140 1764 x 18 1764 2 6 x₁ 18 42 12 5 x₂ 18 42 12 2 Assim os pontos críticos são x₁ 2 e x₂ 5 Assim vamos fazer uma tabela com valores de fx O MAPA DA DERIVADA Precisamos da análise do sinal da derivada assim Mapa da derivada Analisando o ponto crítico x₁ 2 vemos que é um ponto de máximo local e o ponto x₂ 5 é um ponto mínimo local fx 2x³ 9x² 60x 1 x fx 0 1 2 69 5 274 Esboço do gráfico fx 2x³ 9x² 60x 1 O ponto de mínimo local é x₀ 5 cujo valor mínimo é f5 274 Porém esse ponto não pode ser global pois a função assume valores menores que 274 Por exemplo f6 395 O ponto de máximo local é x₀ 2 cujo valor máximo é f2 69 Porém esse ponto não pode ser global pois a função assume valores maiores que 69 Por exemplo f9 190 GRÁFICOS LOCAL MAS NÃO GLOBAL A LOCAL MAS NÃO GLOBAL B D LOCAL MAS NÃO GLOBAL 395 FIM