Primitivas: Introdução à Integral - Aula 17

z CÁLCULO BASICO AULA 17 PRIMITIVAS INTRODUÇÃO À INTEGRAL Até aqui a questão envolvida nas técnicas de derivação era dada uma função fx encontrar a função fx Agora queremos propor uma inversão desse raciocínio ou seja dada a função fx é possível encontrar a função fx Antes de responder a essa pergunta vamos apresentar um exemplo EXEMPLO 1 Dadas as funções fx x² 5 e gx x² 7 encontre as funções derivadas fx e gx Solução Em princípio devemos perceber que fx gx Agora podemos derivar cada uma das funções fx x² 5 fx 2x gx x² 7 gx 2x Observe que fx gx Então podemos concluir que fx gx fx gx Voltamos à nossa pergunta dada a função fx é possível encontrar a função fx Observando a conclusão do exemplo anterior poderíamos nos precipitar e responder que não é possível encontrar fx Porém vamos analisar mais um exemplo EXEMPLO 2 Dadas as funções fx ln x e gx ln x k onde k ℝ encontre as funções derivadas fx e gx Solução Em princípio devemos perceber que fx gx para k 0 Vamos derivar cada uma das funções fx ln x fx 1x gx ln x k gx 1x Observe que também vale fx gx Então podemos concluir que gx fx k fx gx para qualquer k ℝ DEFINIÇÃO Dada uma função fx definese a primitiva de fx à função Fx tal que Fx fx Observação A função primitiva não é única EXEMPLO 3 Dada a função fx x⁷ encontre uma primitiva Fx para fx Sabemos que fx x⁷ e queremos encontrar Fx tal que Fx x⁷ Para resolver essa equação precisamos do conhecimento adquirido com as derivadas Sabemos que x⁸ 8x⁷ Porém fx x⁷ e assim precisamos de um ajuste para as constantes envolvidas Vejamos Fx 18 x⁸ Fx 18 8 x⁷ Fx x⁷ fx Assim podemos escrever que Fx 18 x⁸ é uma primitiva de fx x⁷ Observe que Fx 18 x⁸ k também é uma primitiva de fx para qualquer valor de k Vamos ver mais um exemplo EXEMPLO 4 Dada a função fx 1x² encontre uma primitiva Fx para fx Sabemos que fx x² e queremos encontrar Fx tal que Fx x² Novamente o conhecimento adquirido com as derivadas nos diz que x¹ x² 1x² Aqui também precisamos de um ajuste para as constantes envolvidas Vejamos x¹ Assim podemos escrever que Fx 1x é uma primitiva de fx 1x² Observe que Fx 1x k também é uma primitiva de fx para qualquer valor de k RESULTADO IMPORTANTE Seja fx uma função qualquer e Fx uma de suas primitivas então Fx k também é uma primitiva de fx De fato se Fx é uma primitiva de fx então Fx fx e portanto Fx k Fx k Fx 0 fx EXEMPLO 5 Dada a função fx 2ˣ escreva todas as primitivas de fx Queremos encontrar Fx tal que Fx 2ˣ Sabemos que 2ˣ 2ˣ ln2 Precisamos de um ajuste para as constantes envolvidas Vejamos 2ˣln2 1ln2 2ˣ 1ln2 2ˣ ln2 2ˣ Assim podemos escrever que Fx 2ˣln2 é uma primitiva de fx 2ˣ Portanto Fx 2ˣln2 k k ℝ representa todas as primitivas de fx DEFINIÇÃO Dada a função fx definese Integral de fx na variável x à família Fx k de todas as primitivas de fx e nesse caso escrevese fx dx Fx k k ℝ EXEMPLO 6 Dada a função fx x⁴ calcule fx dx Sabemos que fx dx Fx k k ℝ assim precisamos encontrar a uma primitiva de fx Agora sabemos que x⁵ 5x⁴ e portanto fazendo o ajuste da constante temos x⁵5 15 x⁵ 15 x⁵ 15 5x⁴ x⁴ fx Assim escrevemos x⁴ dx 15 x⁵ k k ℝ EXEMPLO 7 Dada a função fx x⁷ calcule fx dx Aqui podemos utilizar diretamente a regra 1 assim x⁷ dx fracx7171 k k ℝ Assim escrevemos x⁷ dx frac18 x⁸ k k ℝ EXEMPLO 8 Calcule 3x dx Aqui podemos utilizar diretamente a regra 4 assim 3x dx frac3xln3 k k ℝ Ou escrevemos 3x dx frac1ln3 3x k k ℝ text not present in the given images Propriedade da Integral EXEMPLO 10 Calcule 3x5 4ex 2x3 dx EXEMPLO 11 Calcule x 1x dx EXEMPLO 12 Calcule x 4x x dx Em primeiro lugar precisamos separar o denominador Assim x 4x x dx x x dx 4x x dx Ou ainda x 4x x dx x121 dx x141 dx Ou finalmente x 4x x dx x212 x414 k x 4x x dx 2x 4x k k ℝ FIM