CA1111 - Atividade Avaliativa Individual - Engenharia FEI

Atividade 3 de CA1111 Instrucoes A atividade e individual Identifiquese com o seu nome e seu numero FEI RA no inıcio da folha de respostas Prazo de entrega em sala no dia 28052022 A atividade pode ser feita a lapis exceto o nome e numero FEI Se vocˆe nao puder comparecer a aula pode enviar a resolucao da atividde por um colega Resolucoes desorganizadasilegıveisrasuradasrabiscadas nao serao consideradas Respostas sem as devidas justificativas e todas as passagens necessarias nao serao consideradas A discussao de duvidas entre colegas pode ser uma boa experiˆencia de aprendizado mas cada aluno deve redigir sua propria resolucao I Pra comecar na folha de respostas faca uma tabela com seu numero de matrıcula composto de 9 dıgitos e observe os trˆes ultimos dıgitos a b e c Veja o exemplo abaixo para o numero de matrıcula fictıcio 731981301 a b c 7 3 1 9 8 1 3 0 1 Para o numero de matrıcula acima obtemos inicialmente a 3 b 0 e c 1 ou abc 301 Em seguida calcule M o maior valor o maximo entre a b e c M max a b c Por exemplo M max 1 3 2 3 M max 1 4 4 4 M max 1 0 2 2 M max 0 5 0 5 II Se houver algum dıgito nulo entre a b e c troque todos os dıgitos nulos por M calculado anteriormente Os valores finais de a b e c sao os obtidos apos a troca dos dıgitos nulos por M Se nao houver nenhum dıgito nulo entre a b e c nenhuma troca deve ser efetuada Escreva na sua folha de respostas antes de comecar a resolucao do exercıcio os valores finis de a b e c e o valor de M Na tabela abaixo estao exemplos de numeros de matrıcula fictıcios seus abc finais e M Numero M abc finais Numero M abc finais Numero M abc finais 731981340 4 344 731981301 3 331 731981051 5 551 731981203 3 233 731981020 2 222 731981005 5 555 731981225 5 225 III Antes de comecar a resolver qualquer exercıcio reescreva o enunciado na folha de respostas tro cando a b e c por seus respectivos valores finais obtidos em II Nao converta as fracoes em decimais a nao ser que a divisao seja um numero inteiro Mas simplifique por exemplo 26 pode ser simplificada obtendo 13 Exercıcio Seja fx ax3 bx2 4b2 c2 12a x Substitua os valores finais de a b e c e reescreva a funcao f antes de comecar a resolver o exercıcio Simplifique as fracoes mas nao as converta em decimais a nao ser que divisao seja um numero inteiro Determine justificando a f x e seus sinais b os intervalos de crescimentodecrescimento de f e os pontos de maximomınimo de f c as retas tangentes ao grafico de f que sao paralelas ao eixo x d as retas tangentes ao grafico de f que sao paralelas a reta r 4ay c2x 4ab 0 Antes de comecar a resolver o exercıcio reescreva a equacao de r substituindo os valores de a b e c Questão 1 Aqui temos a 5 b 4 e c 4 Então a f x é f x 5x3 4x2 4860x a Determinaremos f x e seus sinais Então f x ddx 5x3 4x2 4860x 15x2 8x 4860 Logo f x 15x2 8x 4860 Com isso vemos que a derivada da f é uma função do segundo grau com coeficiente quadrático positivo logo sua concavidade é para cima então a região negativa de f x está entre suas raízes e logo deve ser positiva em toda região fora desse intervalo Então determinar os sinais de f x se resume a determinarmos as raízes de f e seus intervalos Determinaremos as raízes isto é os valores em que a função para os valores de x que f x 0 então 15x2 8x 4860 0 as raízes são x12 8 sqrt64 415486030 8 sqrt1630 8 430 logo x1 1230 e x2 430 Assim temos que f x 0 se x 1230 ou x 430 f x 0 se x in 430 1230 f x 0 se x 430 ou x 1230 b Determinaremos agora os intervalos de crescimento e decrescimento da f x bem como seus pontos de máximo ou mínimo Primeiramente os intervalos de crescimento e decrescimento De fato sabemos que a f x é crescente na região em que f x 0 além de que essa é decrescente se f x 0 Logo podemos nos valer dos resultados obtidos no item a Com efeito temos então que f x 0 se x 1230 ou x 430 em notação de intervalo isso corresponde aos intervalos 1230 infinity e o intervalo infinity 430 são os intervalos de crescimento da f x Por outro lado o intervalo em que f x decresce é x in 430 1230 Agora nos ateremos aos pontos de máximo e mínimo da função Do cálculo anterior determinarmos os valores de x que faziam f x 0 estes são correspondem aos pontos críticos da f x ou seja x 430 e x 1230 são os pontos críticos os quais são candidatos a pontos de máximo e mínimo no entanto sua classificação é feita a partir do teste da derivada segunda então para isso calcularemos a derivada segunda da função d2 f x dx2 ddx df x dx ddx 15x2 8x 4860 30x 8 Agora calcularemos o valor da derivada segunda em cada ponto crítico Veja que temos d2 f x dx2 x1230 30 1230 8 12 8 4 0 d2 f x dx2 x430 30 430 8 4 8 4 0 com isso temos que d2 f x dx2 x1230 0 e logo do teste da derivada segunda o ponto x 1230 é um ponto de mínimo por outro lado d2 f x dx2 x430 4 e logo do teste da derivada segunda o ponto x 430 é um ponto de máximo Em particular podemos determinar os valores de máximo e mínimo substituindo os valores na f x Com efeito f430 5 4303 4 4302 4860 430 32675 f1230 5 12303 4 12302 4860 1230 0 que são os pontos de máximo e mínimo locais respectivamente c As retas paralelas ao eixo x0 são obtidas nos pontos em que f x0 0 os quais foram obtidos no item a Então basta levarmos esses pontos na expressão geral da equação da reta y fx0 f x0xx0 mas f x0 0 logo a expressão se reduz a y fx0 y fx0 Os valores fx0 foram calculados no item b e logo obtemos as duas equações são Para x0 12 30 temos y 0 Para x0 4 30 temos y 32 675 que são as equações das retas tangentes procuradas d A equação da reta se torna r 20y 16x 80 0 ou seja y 4x 16 20 Veja duas retas são paralelas se seus coeficientes angulares são os mesmos ou seja essas possuem a mesma inclinação Todavia o coeficiente angular de ambas as retas tangentes a curva é f x0 m 0 e o da reta desse item é m 4 portanto ambas as retas não são paralelas a reta r dada 3