Aula 3: Noções de Limites em Cálculo Básico

zCÁLCULO BASICO AULA 3 NOÇÕES DE LIMITES z NOÇÕES DE LIMITE Considere uma função fx qualquer Observe que a reta tangente ao gráfico da função concorda com o comportamento da função em termos de crescimento ou decrescimento Função crescente Retas tangentes crescentes Função decrescente Retas tangentes decrescentes reta tangente aquela que intercepta uma curva em um único ponto Reta Secante aquela que corta o gráfico em dois pontos Observe que o mesmo não vale para reta secante Função é decrescente em x0 mas a reta secante que passa por x0 é crescente z NOÇÕES DE LIMITES Essa ideia simples de que a reta tangente ao gráfico da função concorda com o comportamento dela em termos de crescimento ou decrescimento foi utilizada por Newton para desenvolver as bases do Cálculo Diferencial Isaac Newton nasceu na Inglaterra em 4 de janeiro de 1643 Astrônomo filósofo natural físico e matemático Seus trabalhos sobre a formulação das três leis do movimento levou à lei da gravitação universal trabalho pelo qual ficou mais conhecido z NOÇÕES DE LIMITES Mas qual foi o raciocínio de Newton Desafio Ao procurar leis que explicavam o movimento Newton se deparava constantemente com leis matemáticas complexas Para validar seus modelos ele precisava entender o comportamento do gráfico dessas funções de modo a verificar compatibilidade com os resultados físicos observados Para saber se o comportamento de uma função era crescente ou decrescente seria necessário um esboço do gráfico o que de modo geral era trabalhoso e muitas vezes complicado z NOÇÕES DE LIMITES Ideia Se encontrarmos a reta tangente a uma função então poderemos olhar apenas para o coeficiente angular e saberemos se a função é crescente ou decrescente Observe que não precisamos da equação de reta tangente apenas do coeficiente angular pois sabemos que reta será crescente a função também será crescente reta será decrescente a função também será decrescente DEFINIÇÃO definese Taxa Média de Variação TMV de uma função entre dois pontos a e b como sendo TMV fracfbfaba A TMV é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de fx que passa pelos pontos Pafa e Qbfb Assim podemos escrever TMV coef angular reta secante as z NOÇÕES DE LIMITES Assim se fizermos se aproximar de ao longo da curva termos que ou seja a reta secante se aproxima da reta tangente Como fazer matematicamente o ponto Q tender ao ponto P A resposta para isso é Utilizando a Noção de Limite Na verdade queremos saber qual é o coeficiente angular da reta tangente at mas sabemos o coeficiente angular da reta secante O valor desse coeficiente é o as TMV Assim esperamos que at limb o a as ou at limb o a fracfb fab a Resumindo a medida que b tender ao a o ponto Q se aproximará do ponto P e assim a reta secante se aproximará da reta tangente Por esse motivo esperase que at lim ba fbfa ba Para calcularmos o limite at lim ba fbfa ba devemos fazer a distância entre b e a tender a zero Um modo mais prático de calcular esse limite é fazendo h ba se b a então h 0 assim at lim h0 fahfa h z NOÇÕES DE LIMITES A figura abaixo ilustra essa ideia Assim definese a derivada de uma função fx no ponto x0 como sendo o valor do limite f x0 lim h0 fx0hfx0 h Observação Importante Quando calculamos o limite acima e encontramos f x0 estamos diante do coeficiente angular da reta tangente à função fx no ponto x0 ou seja coef angular a f x0 NOÇÕES DE LIMITES FIM zCÁLCULO BASICO AULA 4 INTRODUÇÃO À DERIVADAS NOÇÕES DE LIMITES Vim os que a derivada de uma função fx no ponto x0 é definida por f x0 lim h0 fx0 h fx0 h Importante saber que f x0 é um número real que representa o coeficiente angular da reta tangente à função fx no ponto x0 ou seja coef angular a f x0 Vamos calcular a derivada de uma função utilizando a definição e ilustrar o uso dos limites Considere a função fx x² vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto x x₀ Assim fx₀ lim h0 fx₀ h fx₀ h Lembrando que fx₀ x₀² e fx₀ h x₀ h² podemos escrever fx₀ lim h0 x₀ h² x₀² h lim h0 x₀² 2x₀h h² x₀² h fx₀lim h0 2x₀h h² h lim h0 h2x₀ h lim h0 2 x₀ 2 x₀ Resumindo Se fx x² então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x x₀ é aₜ fx₀ 2x₀ Por exemplo se x₀ 2 então o coeficiente angular da reta tangente será aₜ 4 Ou seja a reta tangente no ponto 2 tem a equação dada por y 4x b Resumindo Se fx x² então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x x₀ é aₜ fx₀ 2x₀ Por exemplo se quisermos saber informações sobre a reta tangente em x₀ 2 então o cálculo da derivada mostra que o coeficiente angular será aₜ 4 Ou seja a reta tangente no ponto 2 tem a equação dada por y 4x b Ainda com relação à função fx x² se quisermos informações sobre o ponto x₀ 1 temos que o coeficiente angular será at 2 1 2 Assim a equação da reta será dada por y 2x b Para encontrar o valor de b é necessário utilizar o ponto de tangência P11 x 1 y 1 y 2x b 1 21 b 1 2 b b 1 y 2x 1 Considere a função fx x³ vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto genérico x x₀ Assim Lembrando que fx₀ x³₀ e fx₀ h x₀ h³ podemos escrever fx₀ limh0 fx₀ h fx₀ h fx₀ limh0 x₀ h³ x₀³ h limh0 x₀³ 3x²₀h 3x₀h² h³ x₀³ h limh0 h3x²₀ 3x₀h h² h limh0 3x²₀ 3x₀h h² 3 x²₀ Resumindo Se fx x³ então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x x₀ é at f x₀ 3x²₀ Por exemplo se x₀ 1 então o coeficiente angular da reta tangente será at 3 Ou seja a reta tangente no ponto 2 tem a equação dada por y 3x b Para encontrar b usamos o ponto de tangência P 11 chegando a b 2 Assim Equação da reta y 3x 2 Ainda com relação à função fx x³ se quisermos informações sobre o ponto x₀ 1 temos que o coeficiente angular será at 3 1² 3 Assim a equação da reta será dada por y 3x b Para encontrar o valor de b é necessário utilizar o ponto de tangência P11 x 1 y 1 y 3x b 1 3 1 b 1 3 b b 2 y 3x 2 Aqui vale um esclarecimento importante Quando calculamos a derivada fx₀ estamos interessados na inclinação da reta tangente no ponto x x₀ Claro que x₀ pode assumir qualquer valor dentro do domínio da função Mas é muito comum encontrarmos textos que citam fx de modo que a expressão da derivada se assemble a uma função na variável x Porém mesmo nesses casos não podemos esquecer que se trata de uma expressão para calcular o coeficiente angular da reta tangente Vejamos os dois exemplos nos quais calculamos a derivada No primeiro exemplo calculamos a derivada da função fx x² no ponto x x₀ e chegamos à fx₀ 2x₀ Porém poderíamos ter escrito que fx 2x Não há nenhum problema em escrever genericamente a derivada em função de x O que não podemos esquecer é que fx é a lei que permite calcular o coeficiente angular para qualquer reta tangente ao gráfico de fx x² Observação Importante Podemos pensar que fx 2x é uma função na variável x Na verdade fx é uma função do 1 grau que determina os valores dos coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico de fx NOÇÕES DE LIMITES No segundo exemplo calculamos a derivada da função fx x³ no ponto x x₀ e chegamos à fx₀ 3 x₀² Porém aqui também poderíamos ter escrito que fx 3 x² Apenas lembremos que fx é a lei que permite calcular o coeficiente angular para qualquer reta tangente ao gráfico de fx x³ Observação Importante Aqui fx 3 x² é uma função do 2º grau que determina os valores dos coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico de fx NOÇÕES DE LIMITES Agora vamos calcular pela definição a derivada de algumas funções elementares Derivada da função constante Se fx c ℝ temos fx limh0 fx h fxh limh0 c ch limh0 0 0 Conclusão Todas as retas tangentes ao gráfico de fx c têm coeficiente angular igual a zero NOÇÕES DE LIMITES Derivada da função fx x Se fx x então temos fx limh0 fx h fxh limh0 x h xh limh0 1 1 Conclusão Todas as retas tangentes ao gráfico de fx x têm coeficiente angular unitário Derivada da função do 1 grau Se fx ax b então temos fx lim h0 fx h fx h lim h0 a x h b a x b h lim h0 a x a h b a x b h a h h a conclusão Todas as retas tangentes ao gráfico de fx a x b têm o mesmo coeficiente angular de fx ou seja a Vejamos um resumo do que foi demonstrado até aqui fx c f x 0 fx x f x 1 fx ax b f x a fx x2 f x 2x fx x3 f x 3x2 Uma boa observação desses resultados nos leva a uma regra prática para o cálculo de derivadas Veja fx xn f x n xn1 NOÇÕES DE LIMITES NOÇÕES DE LIMITES NOÇÕES DE LIMITES NOÇÕES DE LIMITES NOÇÕES DE LIMITES NOÇÕES DE LIMITES NOÇÕES DE LIMITES NOÇÕES DE LIMITES NOÇÕES DE LIMITES NOÇÕES DE LIMITES FIM