Cálculo Básico: Regra do Quociente e Exemplos

z CÁLCULO BASICO AULA 8 REGRA DO QUOCIENTE REGRA DO QUOCIENTE Vamos continuar o estudo de derivadas apresentando uma regra para funções que são formadas pelo quociente de dois ou mais termos Antes porém vamos apresentar um caso muito simples que demonstra que left fracfxgx right eq fracfxgx Exemplo Considere a função hx fracx3x2 fx gx Observe que hx fracx3x2 x de modo que hx 1 Se fizéssemos fracfxgx frac3x22x frac32 x São diferentes REGRA DO QUOCIENTE Considere a função hx fracfxgx Para calcular hx podemos utilizar a definição de derivada e assim escrever hx limh o 0 frachxh hxh limh o 0 fracfxhgxh fracfxgx limh o 0 fracfxh gx fx gxhgxh gx REGRA DO QUOCIENTE Continuando hx limh o 0 fracfxh fx cdot gx fx cdot gxh gxgxh cdot gx Portanto hx fracfx cdot gx fx cdot gxgx2 Exemplo 1 Calcule a derivada da função hx fracx2ex Vamos aplicar aqui a regra do quociente Assim Se fx x2 e gx ex então fx 2x e gx ex hx fracfxgx Rightarrow hx fracfx cdot gx fx cdot gxgx2 Assim podemos escrever a derivada como hx frac2x cdot ex x2 cdot exex2 Rightarrow hx frac2x x2ex Podemos fazer diretamente sem separar os termos em fx e gx hx leftfracx2exright leftx2right cdot fracex x2 cdot exe2x Rightarrow hx frac2x x2ex Exemplo 2 Calcule a derivada da função fx fracexln x Vamos fazer diretamente assim f x fracexln x Rightarrow fx leftexright cdot ln x ex cdot ln 1 lnx2 Ou ainda fx fracex cdot ln x x1ln x2 fx ex cdot fracln x frac1xlnx2 Ou finalmente fx ex cdot fracx cdot ln x 1x cdot ln2 x Exemplo 3 Calcule a derivada da função fx fracx3 5xx2 2 Vamos derivar usando a regra do quociente diretamente na expressão de fx fx fracx3 5x cdot x2 2 x3 5x cdot x2 2x2 22 fx frac3x2 5 cdot x2 2 x3 5x cdot 2xx2 22 Podemos aplicar a prop distributiva e chegar à fx frac3x4 6x2 5x2 10 2x4 10x2x2 22 Ou finalmente fx fracx4 11x2 10x2 22 REGRAS DO QUOCIENTE Exemplo 4 Calcule a derivada da função fx fracx3 3x2sqrtx Vamos derivar usando a regra do produto diretamente na expressão de fx fx fracx3 3x2cdotsqrtx x3 3x2cdotsqrtxsqrtx2 fx frac3x2 6xcdotsqrtx x3 3x2cdotfrac12sqrtxx Podemos racionalizar a raiz no último termo de modo a simplificar fx frac3x 6cdot xcdotsqrtx x 3cdot x2cdotfracsqrtx2x2x2 fx frac3x 6cdot 2sqrtx2 x 3cdotfracsqrtx2 fracsqrtx2cdot5x 9 REGRAS DO QUOCIENTE Exemplo 5 Calcule a derivada da função fx frac3log2 x5ex Podemos derivar usando a regra do quociente diretamente na expressão de fx fx frac3log2 xcdot 5ex 3log2 x cdot 5cdot ex5ex2 fx fracfrac3xln2cdot5ex 3log2xcdot5cdot ex5ex2 Podemos colocar em evidência e simplificar fx fracfrac3xln2 3log2xcdot5cdot ex5ex2 fx frac3cdot1 xlnx5ln2cdot x cdot ex REGRAS DO QUOCIENTE Exemplo 6 Calcule a derivada da função fx fracx2 3x2x Aqui podemos aplicar a regra do quociente diretamente fx fracx3 3xcdot 2x x3 3xcdot2x2x2 fx frac3x2 3xln3cdot 2x 2xln2x3 3x2x2 Podemos colocar em evidência o termo 2x e simplificar chegando a fx fracln3cdot3x3 3x2 ln2 3x x32x Regra do quociente Exemplo 7 Calcule a derivada da função fx x²3x⁴2x³1 Em primeiro lugar devemos observar que a expressão de fx possui 3 termos com produto e quociente fx x²3x⁴2x³1x²3x⁴2x³1x³1² aplicando a regra do produto x² 3x⁴ 2 x² 3x⁴ 2 x² 3x⁴ 2 x² 3x⁴ 2 2xx⁴ 2 x² 34x³ 6x⁵ 12x³4x Substituindo na expressão de fx fx 6x⁵ 12x³4xx³ 13x²x² 3x⁴ 2x³ 1² Regra do quociente Continuando fx 6x⁵ 12x³ 4xx³ 13x²x² 3x⁴ 2x³ 1² Efetuando a propriedade distributiva fx 6x⁸ 12x⁶4x⁴ 6x⁵ 12x³4x3x⁴ 9x²x⁴2x³ 1² fx 6x⁸ 12x⁶ 4x⁴ 6x⁵ 12x³4x3x⁸9x⁶ 18x²x³ 1² Finalmente podemos escreve fx 3x⁸ 3x⁶ 6x⁵ 2x⁴ 12x³ 18x²4xx³ 1² Regra do quociente Exercício Calcule a derivadas das funções 1 fx x²2x 3eˣ 2 fx 3ˣx³x³5x 4 3 fx x⁴2x13x² 4 fx 3x²5x3x³eˣ FIM