Método da Substituição em Técnicas de Integração

z CÁLCULO BASICO AULA 23 O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Vimos na aula anterior a expressão que resolve a integral da função composta dada abaixo fgx gx dx fgx k O procedimento está centrado em reescrever os termos dentro da integral fgx gx como fgx o que permite o cancelamento da operações de integração e derivação produzindo o resultado fgx k Por essa razão dissemos que esse procedimento reflete o uso inverso da Regra da Cadeia Nesta aula vamos sistematizar essa técnica utilizando uma mudança de variáveis dentro da integral A essência deste processo será em substituir a função interna gx por uma variável u ux e por esse motivo esta técnica é conhecida como Método da Substituição TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Vamos apresentar a técnica da substituição u gx refazendo todos os exemplos vistos na aula anterior de modo a compreender a proposta de sistematização e comparar os passos de resolução EXEMPLO 1 Calcule 3x² ex³ dx O método da substituição requer a identificação da função interna gx dentro da integral Aqui também é conveniente reescrever a integral como ex³ 3x² dx Observe que a função gx x³ e assim vamos fazer a seguinte mudança de variáveis u x³ então como u ux temos que a sua derivada será dudx 3x² Aqui vamos fazer um procedimento incomum dudx du 3x² dx Agora considerando os dois termos destacados podemos reescrever a integral como ex³ 3x² dx eu du eu k Substituindo u x³ temos 3x² ex³ dx ex³ k k ℝ TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 2 Calcule a integral 2x 7 x² 7x 4 dx Vamos reescrever a integral como 1x² 7x 4 2x 7 dx Observe que a função interna é gx x² 7x 4 então u x² 7x 4 e portanto dudx 2x 7 Portanto du 2x 7 dx Assim podemos escrever 1x² 7x 4 2x 7 dx 1u du lnu k Substituindo u ux temos 2x 7 x² 7x 4 dx lnx² 7x 4 k k ℝ EXEMPLO 4 Calcule a integral x³1x⁴4x3 dx Observe que a função interna é gx x⁴ 4x 3 e portanto u x⁴ 4x 3 Assim escrevemos dudx 4x³ 4e portanto du 4x³ 4dx simplificando du 4x³ 1dx ou ainda 14 du x³ 1 dx Vamos reescrever a integral como 1x⁴4x3x³ 1 dx 1u14 du 14 u12 du 12 u12 k Finalmente x³ 1x⁴ 4x 3 dx 12 x⁴ 4x 3 k k ℝ EXEMPLO 5 Calcule a integral 42x3³dx Observe que a função interna é gx 2x 3 e assim u 2x 3 e portanto dudx 2 ou du 2 dx ou ainda 12 du dx Vamos reescrever a integral como 42x3³dx 4 12x332dx 4 u3212 du 4 u32du 22u12 k 41u k Substituindo u ux 2x 3 42x3³dx 412x3 k k ℝ EXEMPLO 6 Calcule a integral e3x e2x dx Vamos reescrever a integral como e3x dx e2x dx Cada uma das integrais corresponde a integral de uma função composta e assim Para e3x dx temos u 3x du dx 3 assim 1 3 du dx portanto e3 dx eu1 3 du 1 3 eud u 1 3 eu k 1 3 e3 k Para e2x dx temos u 2x du dx 2 assim 1 2 du dx portanto e2x dx eu1 2 du 1 2 eud u 1 2 eu k 1 2 e2x k Portanto e3x e2x dx 1 3 e3 1 2 e2x k k ℝ EXEMPLO 8 Calcule a integral 1 xln3 x dx Vamos reescrever a integral como 1ln x3 1 x dx 1 ln x32 1 x dx Observe que a função interna é gx ln x e assim u ln x então temos que du dx 1 x ou du 1 x dx Assim podemos escrever 1 xln3 x dx 1 ln x32 1 x dx 1 u2 du 1 3 u32 du 2 u12 k 2 1u k Portanto substituindo u ux chegamos à 1 xln3 x dx 2 1ln x k k ℝ EXEMPLO 7 Calcule a integral ln x5 x dx Vamos reescrever a integral como ln x5 1 x dx Observe que a função interna é gx ln x e assim u ln x e portanto du dx 1 x Portanto podemos escrever ln x5 1 x dx u5 du 1 6 u6 k Substituindo u ux chegamos à ln x5 x dx 1 6 ln x6 k k ℝ EXEMPLO 9 Calcule a integral 3x5 x3 dx Vamos reescrever a integral como 3x3 x2 1 dx x 3x2 1 dx 3x2 1 x dx Observe que a função interna é gx x2 1 e assim u x2 1 então temos que dudx 2x e portanto du 2x dx ou ainda 12 du x dx Assim podemos escrever 3x5 x3 dx 3x2 1 x dx 3u 12 dx 12 1u3 du 12 34 u3 k 38 3u4 k Portanto substituindo u ux chegamos à 3x5 x3 dx 38 3x2 14 k k ℝ EXEMPLO 10 Calcule a integral 3x 1 43x 1 dx Vamos reescrever a integral como 3x 13x 1 43x 1 dx 1 43x 1 dx 1 dx 4 13x 1 dx 1 dx 4 13x 1 dx Observe que a função interna é gx 3x 1 e assim u 3x 1 portanto dudx 3 ou dx 13 du Assim podemos escrever a integral 13x 1 dx 1u 13 du 1u du 13 lnu k Portanto 3x 53x 1 dx 1 dx 43 ln3x 1 k k ℝ EXEMPLO 11 Calcule a integral exex 5 dx Vamos reescrever a integral como exex 5 dx 1ex 5 ex dx Observe que a função interna é gx ex 5 e assim u ex 5 Portanto dudx ex ou du ex dx 1ex 5 ex dx 1u du lnu k Finalmente substituindo exex 5 dx lnex 5 k k ℝ TÉCNICAS DE INTEgração EXEMPLO 12 Calcule a integral exex dx Vamos reescrever a integral como exex dx ex ex dx ex ex dx Observe que a função interna é gx ex e assim u ex então temos que dudx ex e portanto du ex dx Assim podemos escrever exex dx ex dx eu du u k u ex Portanto substituindo u ex chegamos à exex dx ex k k ℝ FIM