Aula 18: Técnicas de Integração em Cálculo Básico

z CÁLCULO BASICO AULA 18 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Vamos relembrar um resultado importante da aula anterior RESULTADO IMPORTANTE As regras para resolver a integral são obtidas a partir da inversão das regras de derivação Com base nesse resultado escrevemos as primeiras 4 regras para encontrar a integral de funções elementares 1 xⁿ dx xⁿ¹n 1 k k ℝ 2 1x dx ln x k k ℝ 3 eˣ dx eˣ k k ℝ 4 aˣ dx aˣln a k k ℝ TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Agora vamos ver como inverter a regra do produto para a derivação A regra do produto foi escrita como fx gx fx gx fx gx Aplicando a integral em ambos os lados fx gx dx fx gx fx gx dx A integral do lado esquerdo fx gx dx pode ser resolvida facilmente pois a integral é operação inversa da derivada portanto fx gx dx fx gx E a integral do lado direito pode ser separada em duas pela soma fx gx dx fx gx dx TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Assim podemos escrever fx gx fx gx dx fx gx dx Podemos reescrever esta igualdade como fx gx dx fx gx fx gx dx e esta igualdade é conhecida como fórmula de integração por partes OBSERVAÇÃO 1 A fórmula acima foi obtida a partir de isolando o termo fx gx dx Porém se isolarmos fx gx dx chegaremos em uma expressão análoga que apresentamos abaixo fx gx dx fx gx fx gx dx Podemos utilizar qualquer uma das duas formulações pois são semelhantes TÉCNICAS DE INTEGAÇÃO OBSERVAÇÃO 2 Analisando a fórmula de integração por partes percebemos que essa expressão não resolve a integral mas troca uma integral por outra Observe fx gx dx fx gx fx gx dx A integral do lado esquerdo em rosa foi substituída por um termo fora da integral em azul e por uma outra integral em verde A estratégia aqui é aplicar a fórmula de modo que a integral em verde seja mais fácil do que a integral original em rosa TÉCNICAS DE INTEGAÇÃO EXEMPLO 1 Calcule a integral x ex dx Analisando a integral vemos que a função a ser integrada é hx x ex e que tal função possui o produto de dois termos elementares fx x e gx ex Se tivéssemos que derivar seria necessária a regra do Produto portanto para integrar precisamos da integração por partes Vejamos fx gx dx fx gx fx gx dx Assim se aplicarmos a fórmula acima então fx x gx ex fx x22 gx ex x ex dx x22 ex x22 ex dx Agora substituindo na fórmula de integração por partes temos TÉCNICAS DE INTEGAÇÃO EXEMPLO 1 continuando Ou ainda podemos escrever x ex dx x22 ex 12 x2 ex dx Considerando a observação 2 vemos que aplicação da fórmula de integração por partes sugere a troca da integral original x ex pela integral x2 ex dx Porém a integral em verde é tão complicada quanto a integral em rosa Isso não significa que a integração por partes não é adequada Ainda há a possibilidade de trocar a ordem das funções no produto Observe fx ex gx x fx ex gx 1 x ex dx x ex 1 ex dx TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 1 continuação Ou ainda podemos escrever x ex dx x ex ex dx Observe que agora trocamos a integral x ex dx pela integral ex dx que é muito mais simples pois é apenas a integral uma função elementar ou seja ex dx ex k k ℝ Assim podemos escrever que x ex dx x ex ex k Ou de modo simplificado x ex dx x 1 ex k k ℝ TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO OBSERVAÇÃO 2 Resolvemos a integral do exemplo 1 escolhendo de modo adequado a função fx e a função gx para utilizar na fórmula de integração por partes fx gx dx fx gx fx gx dx Trocar a ordem do produto como foi feito na resolução do exemplo 1 é análogo a utilizar a expressão fx gx dx fx gx fx gx dx que foi apresentada na observação 1 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 2 Dada a função hx x ln x calcule hx dx Sabemos que hx é um produto de dois termos Assim precisamos aplicar a técnica de integração por partes Mas quem serão as funções fx e gx Não há regras para responder a essa pergunta Se tomarmos como base o exemplo anterior poderíamos cair na armadilha de fazer fx ln x e gx x Mas aqui o caminho é o oposto ou seja fx x gx ln x fx x22 gx ln x 1x Assim aplicando a fórmula fx gx dx fx gx fx gx dx Temos x ln x dx x22 ln x x22 1x dx x ln x dx x22 ln x 12 x dx EXEMPLO 2 continuação x lnx dx x² 2 lnx 1 2 x² 2 k k ℝ Ou finalmente podemos escrever x lnx dx x² 2 lnx x² 4 k k ℝ EXEMPLO 3 Calcule lnx dx Aqui temos que tomar cuidado pois é muito comum confundir derivada com integral Sabemos que lnx 1 x e portanto lnx dx não é uma integral elementar A ideia aqui é utilizar a fórmula de integração por partes Mas onde está o produto Podemos reescrever lnx dx 1 lnx dx EXEMPLO 3 continuação Assim podemos escrever fx 1 gx lnx fx x gx 1 x 1 lnx dx x lnx x 1 x dx lnx dx x lnx 1 dx lnx dx x lnx x k k ℝ Ou finalmente lnx dx x lnx 1 k k ℝ EXEMPLO 4 Calcule 1 x lnx dx Observamos que há um produto Portanto devemos utilizar a regra de integração por partes Assim podemos definir fx 1 x gx lnx fx lnx gx 1 x 1 x lnx dx lnx lnx lnx 1 x dx Observe que após aplicar a integração por partes voltamos à mesma integral 1 x lnx dx lnx² 1 x lnx dx TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO FIM