Cálculo Básico: Regra do Produto - Aula 7

z CÁLCULO BASICO AULA 7 REGRA DO PRODUTO Considere a função hx fx gx Para calcular hx podemos utilizar a definição de derivada e assim escrever hx lim h0 hx h hx h lim h0 fx h gx h fx gx h hx lim h0 fx h gx h fx gx h fx gx h fx gx h hx lim h0 fx h fx gx h fx gx h gx h Assim aplicando o limite temos hx fx gx fx gx Exemplo 1 Calcule a derivada da função hx x² ex Vamos aplicar aqui a regra do produto Assim Se fx x² e gx ex então fx 2x e gx ex hx fx gx hx fx gx fx gx Assim podemos escrever a derivada como hx 2x ex x² ex hx 2x x² ex Podemos fazer diretamente sem separar os termos em fx e gx hx x² ex x² ex x² ex fx 2x ex x² ex portanto fx 2x x² ex Vamos continuar o estudo de derivadas apresentando uma regra para funções que são formadas pelo produto de dois ou mais termos Antes porém vamos apresentar um caso muito simples que demonstra que fx gx fx gx Exemplo Considere a função hx x² x³ fx x² fx 2x gx x³ gx 3x² Observe que hx x² x³ x⁵ de modo que hx 5x⁴ Se fizéssemos fx gx 2x 3x² 6x³ Exemplo 4 Calcule a derivada da função fx x³ 3x² ln x Vamos derivar usando a regra do produto diretamente na expressão de fx fx x³ 3x² ln x x³ 3x² ln x fx 3x² 6x ln x x³ 3x² 1x Podemos aplicar uma simplificação no 2º termo e chegar à fx 3x² 6x ln x x² 3x x 1x Ou finalmente fx 3x² 6x ln x x² 3x Exemplo 3 Calcule a derivada da função fx x³ 5x x² 2 Vamos derivar usando a regra do produto diretamente na expressão de fx fx x³ 5x x² 2 x³ 5x x² 2 fx 3x² 5 x² 2 x³ 5x 2x Podemos aplicar a prop distributiva e chegar à fx 3x⁴ 6x² 5x² 10 2x⁴ 10x² Ou finalmente fx 5x⁴ 9x² 10 Exemplo 2 Calcule a derivada da função fx eˣ ln x Vamos fazer diretamente assim fx eˣ ln x fx eˣ ln x eˣ ln x Ou ainda fx eˣ ln x eˣ 1x Ou finalmente fx eˣ ln x 1x Exemplo 7 Calcule a derivada da função fx ³x ⁵x Em primeiro lugar devemos reescrever as raízes como potências assim fx ¹₃ x¹₅ fx ¹₃ x x¹₅ ¹₃ x¹₅ ¹₅ x Agora aplicamos as regras fx ¹₃ x²₃ x¹₅ ¹₃ x³ ¹₅ x⁴₅ Reescrevendo temos fx ¹₃x² ⁵x ³x ¹₅ ¹₅x⁴ Finalmente podemos escrever fx ⁵x₃x² ³x₅ ⅕x⁴ Exemplo 6 Calcule a derivada da função fx x² 3x 2x Aqui podemos aplicar a regra do produto diretamente fx x² 3x 2x x² 3x 2x Agora aplicamos as regras para as funções elementares fx 2x 3x ln 3 2x x² 3x 2x ln 2 Podemos colocar em evidência o termo 2x fx 2x 3x ln 3 x² 3x ln 2 2x fx 2x 3x ln 3 x² ln 2 3x ln 2 2x Exemplo 5 Calcule a derivada da função fx 5x⁶ ln x² Em primeiro lugar precisamos aplicar a propriedade do logaritmo na expressão ln x² transformando em 2 ln x Assim a expressão para a função fx tornase fx 10x⁶ ln x Agora podemos derivar usando a regra do produto diretamente na expressão de fx fx 10x⁶ ln x 10x⁶ ln x fx 60x⁵ ln x 10x⁶ 1x 60x⁵ ln x 10x⁵ Podemos aplicar uma simplificação e chegar finalmente a fx 10x⁵ 6 ln x 1 Exemplo 10 Calcule a derivada da função fx x² 3 x⁴ 2 x³ 1 Em primeiro lugar devemos observar que a expressão de fx possui 3 termos Assim aqui também devemos aplicar a regra duas vezes Observe fx x² 3 x⁴ 2 x³ 1 1 termo 2 termo fx x² 3 x⁴ 2 x³ 1 x² 3 x⁴ 2 x³ 1 fx x² 3 x⁴ 2 x³ 1 x² 3 x⁴ 2 3x² fx x² 3 x⁴ 2 x² 3 x⁴ 2 x³ 1 x² 3 x⁴ 2 3x² fx 2x x⁴ 2 x² 3 4x³ x³ 1 x² 3 x⁴ 2 3x² Ou finalmente fx 2x x⁴ 2 x³ 1 4x³ x² 3 x³ 1 x² 3 x⁴ 2 3x² Notação para a derivada Até agora utilizamos a notação fx para a derivada de uma função fx Porém existe outra uma notação que foi utilizada pelo filósofo e matemático a Gottfried W Leibniz e por isso é conhecida como a notação de Leibniz fracdfdx fx Uma vantagem da notação de Leibniz é descrever em relação a qual variável estamos derivando Isso é particularmente útil quando estamos aplicando a matemática em outras áreas do conhecimento onde a variável nem sempre é representada pelo x z REGRA DO PRODUTO Exemplo aplicado à Administração Definese Custo Marginal à derivada da função custo total em relação à quantidade assim considere que Observe que se depender unicamente da quantidade podemos escrever também o custo marginal como porém com a notação de Leibniz é mais precisa pois não resta dúvidas que estamos derivando em relação à variável FIM