Derivadas de Funções Elementares - Aula 6

z CÁLCULO BASICO AULA 6 DERIVADAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES Vamos continuar o estudo de derivadas apresentando as derivadas de funções elementares mas antes vamos chamar a atenção para os casos A e B apresentados na aula anterior e reescritos abaixo Cuidado A fx gx fx gx B fxgx fxgx Exemplo 9 Calcule a derivada da função hx x² 2 x³ x Observando a função vemos que há o produto de duas funções porém temos que lembrar da observação A apresentada nas propriedades ou seja fx gx fx gx Portanto precisamos procurar um outro caminho A saída aqui é reescrever hx como potência de x efetuando a propriedade distributiva Assim hx x² x³ x² x 2 x³ 2 x hx x⁵ x³ 2x³ 2x Assim a derivada será hx x⁵ x³ 2x x⁵ x³ 2x 5x⁴ 3x² 2 Exemplo 10 Calcule a derivada da função fx x³ x x⁵ Observando a função vemos que há a divisão de duas funções porém temos que lembrar da observação B apresentada nas propriedades ou seja fxgx fxgx Portanto precisamos procurar um outro caminho A saída aqui é reescrever fx como potência de x Assim fx x³ x x⁵ x³ x⁵ x x⁵ x³5 1x² 1x⁵ fx x² x⁹2 Assim a derivada será fx x² x⁹2 2x³ 92x⁷2 2x³ 92x112 Exemplo 11 Calcule a derivada da função fx fracx131x3 Exemplo 12 Calcule a derivada da função fx frac3sqrtx5sqrtx2sqrtx Vamos apresentar as derivadas de outras duas funções elementares já estudadas anteriormente fx ax e fx logax Caso particular Vamos analisar o caso fx ex ou seja quando a base é o número irracional e onde e 27182 Já vimos que ax ax ln a Assim a sua derivada será fx ex ln e mas sabemos que ln e 1 Portanto fx ex Do mesmo modo para encontrar a derivada de fx loga x precisamos resolver o limite fx limh0 fx h fx h limh0 logax h logax h fx limh0 logax h logax h limh0 loga x h x h fx limh0 loga x h x 1h 1 x ln a Assim escrevese loga x 1 x ln a Caso particular Vamos analisar o caso fx ln x ou seja quando a base é o número irracional e onde e 27182 Já vimos que loga x 1 x ln a Assim a sua derivada será fx 1 x ln e mas sabemos que ln e 1 Portanto fx 1 x Resumindo fx ax então fx ax ln a fx ex então fx ex fx loga x então fx 1x ln a fx ln x então fx 1x Exemplo 13 Calcule a derivada da função fx 2x log3 x Em primeiro lugar devemos aplicar as propriedades de derivadas e separar as expressões envolvidas fx 2x log3 x 2x log3 x Agora aplicamos as regras log3 x 1x ln 3 2x 2x ln 2 Finalmente podemos escrever fx 2x ln 2 1x ln 3 Exemplo 14 Calcule a derivada da função fx 5 ex 7 ln x Em primeiro lugar devemos aplicar as propriedades de derivadas e separar as expressões envolvidas fx 5 ex 7 ln x 5 ex 7 ln x Agora aplicamos as regras ln x 1x ex ex Finalmente podemos escrever fx 5ex 7x DERIVADAS Exemplo 15 Calcule a derivada da função fx 4 3x 3x7 2 ln x 5x Em primeiro lugar devemos aplicar as propriedades de derivadas e separar as expressões envolvidas fx 4 3x 3x7 2 ln x 5x 4 3x 3x7 2 ln x 5x fx 4 3x 3x7 2 ln x 5x Agora aplicamos as regras ln x 1x 3x 3x ln3 Finalmente podemos escrever fx 4 ln 3 3x 21x6 2x 52x FIM