Aula 20: Integração de Funções Compostas e Técnicas de Integração

z CÁLCULO BASICO AULA 20 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES COMPOSTAS TÉCNICAS DE INTEgração Agora vamos analisar a regra da Cadeia para a derivação de funções compostas fgx fgx gx Para inverter essa regra vamos aplicar a integral em ambos os lados da igualdade assim teremos fgx dx fgx gx dx A integral do lado esquerdo fgx dx pode ser resolvida facilmente pois a integral é operação inversa da derivada portanto fgx dx fgx E assim podemos escrever fgx fgx gx dx TÉCNICAS DE INTEgração Reescrevendo teremos uma expressão que envolve a integral da função composta Vejamos fgx gx dx fgx k OBSERVAÇÃO A integral só conseguirá ser resolvida se aparecer o produto de fgx gx pois assim o produto poderá ser substituído por fgx levando ao resultado apresentado EXEMPLO 1 Calcule 3x² ex³ dx Vamos reescrever a integral como ex³ 3x² dx Observe que se gx x³ e considerando fx ex então temos que fgx ex³ e gx 3x² Lembrando que ex dx ex k temos 3x² ex³ dx ex³ dx ex³ k k ℝ TÉCNICAS DE INTEgração EXEMPLO 2 Calcule a integral 2x 7 x² 7x 4 dx fgx gx Vamos reescrever a integral como 1 x² 7x 4 2x 7 dx Observe que se gx x² 7x 4 e considerando fx 1 x então temos que fgx 1 x² 7x 4 e gx 2x 7 Agora precisamos encontrar fx Mas se fx 1 x então fx lnx Portanto podemos escrever 2x 7 x² 7x 4 dx lnx² 7x 4 dx lnx² 7x 4 k k ℝ EXEMPLO 3 Calcule a integral x² x⁷ 4x 2 dx Vamos reescrever a integral como x² x⁷ 2 2x 1 dx 2 x² x⁷ 2x 1dx Observe que se gx x² x e considerando fx x⁷ então temos que fgx x² x⁷ e gx 2x 1 Agora precisamos encontrar fx Mas se fx x⁷ então fx 18 x⁸ Portanto podemos escrever fgx 2 x² x⁷ 2x 1dx 2 18 x² x⁸ dx 14 x² x⁸ k k ℝ EXEMPLO 4 Calcule a integral x³ 12x⁴ 4x 3 dx Vamos reescrever a integral como 22x⁴ 4x 3 4x³ 4 dx 12 12x⁴ 4x 3 4x³ 4dx Observe que se gx x⁴ 4x 3 e considerando fgx 12x⁴ 4x 3 e gx 4x³ 4 Agora precisamos encontrar fx Mas se fx 12x então fx x Portanto podemos escrever 12 12x⁴ 4x 3 4x³ 4dx 12 x⁴ 4x 3 dx 12 x⁴ 4x 3 k k ℝ EXEMPLO 4 Calcule a integral 42x 3³ dx Vamos reescrever a integral como 2 22x 3³2 dx 2 2x 3³2 2 dx Observe que se gx 2x 3 considerando fgx 2x 3³2 e gx 2 Agora precisamos encontrar fx Mas se fx 2x 3³2 então fx 2x 12 2x Portanto podemos escrever 2 2x 3³2 2 dx 2 22x 3 dx 4 12x 3 k k ℝ TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 7 Calcule a integral 1 x ln3 x dx Vamos reescrever a integral como 1 ln x3 1 x dx 1 ln x32 1 x dx Observe que se gx ln x e considerando fx x32 então temos que fgx ln x32 1 ln3 e gx 1 x Agora precisamos encontrar fx Mas se fx x32 então fx 2x12 2x Portanto fgx 2ln e assim podemos escrever 1 x ln3 x dx 2ln x dx 2 1 ln x k k ℝ TÉCNICAS DE INTEgração EXEMPLO 8 Calcule a integral 3 x5 x3 dx Vamos reescrever a integral como 3 x3x² 1 dx x 3x² 1 dx 1 2 2x 3x² 1 dx Observe que se gx x² 1 e considerando f x x então temos que f gx 3 x² 1 e g x 2x Agora precisamos encontrar fx Mas se f x 3 x 1 x³ então fx 3 4 3x4 Portanto fgx 3 4 3x² 1⁴ e assim podemos escrever 3 x5 x3 dx 1 2 2x 3x² 1 dx 1 2 3 4 3x² 1⁴ dx 3 8 3x² 1⁴ k k ℝ TÉCNICAS DE INTEgração EXEMPLO 9 Calcule a integral 3x5 3x1 dx Vamos reescrever a integral como 3x1 4 3x1 dx 3x1 3x1 4 3x1 dx 1 4 3x1 dx 1 dx 4 3 dx 3x1 3x1 dx Observe que se gx 3x 1 e considerando f x 1 x então temos que f gx 1 3x1 e g x 3 Agora precisamos encontrar fx Mas se f x 1 x então fx ln x Portanto fgx ln 3x 1 e assim podemos escrever 3x5 3x1 dx 1 dx 4 3 3 3x1 dx Portanto 3x5 3x1 dx x 4 3 ln 3x 1 k k ℝ TÉCNICAS DE INTEgração EXEMPLO 10 Calcule a integral ex ex5 dx Vamos reescrever a integral como ex ex5 dx 1 ex5 ex dx Observe que se gx ex 5 e considerando f x 1 x então temos que f gx 1 ex5 e g x ex Agora precisamos encontrar fx Mas se f x 1 ex então fx ln x Portanto fgx ln ex 5 e assim podemos escrever ex ex5 dx 1 ex5 ex dx ln ex 5 dx Portanto ex ex5 dx ln ex 5 k k ℝ TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 11 Calcule a integral exex dx Vamos reescrever a integral como exex dx ex ex dx ex ex dx Observe que se gx ex e considerando fx ex então temos que fgx eex e gx ex Sabemos se fx ex então fgx eex e assim podemos escrever exex dx ex ex dx eex dx Portanto exex dx ex k k ℝ FIM