Cálculo Básico: Aula 14 - O Diferencial e Acréscimos

z CÁLCULO BÁSICO AULA14 O DIFERENCIAL Acréscimos Seja y fx uma função Definese o acréscimo de x denotado por Δx como Δx x2 x1 onde x1 x2 Df A variação de x origina uma correspondente variação de y denotada por Δy dada por Δy fx2 fx1 Δy fx1 Δx fx1 observar graficamente o significado de Δx e Δy Já vimos que a Taxa Média de Variação TMV é o coeficiente angular da reta secante e definida por TMV ΔyΔx Agora vamos ver como usar a reta tangente para estimar o valor da função nas proximidades do ponto de tangência Diferencial de uma função é o acréscimo sofrido pela ordenada da reta tangente correspondente a um acréscimo Δx sofrido por x₁ Sejam y fx uma função derivável e Δx um acréscimo de x₁ Definese a a diferencial da variável independente x denotada por dx como Δx dx b a diferencial da variável dependente y denotada por dy como dy fx Δx Assim a fórmula para o diferencial para a função fx próximo a x₁ será dy fx₁ dx e Δy dy Δy dy Sabendose que dy fx₁Δx temse Δy fx₁Δx Pela Definição 1 Δy fx₁ Δx fx logo fx₁ Δx fx fx₁Δx ou ainda fx₁ Δx fx₁Δx fx A este processo chamase de linearização de f em torno de x₁ Na verdade a fórmula do diferencial é uma consequência da equação da reta tangente a um ponto x₁ Vejamos A equação da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x₁ é dada por y fx₁x b Observe no gráfico que dy é igual à TMV da reta entre x₁ e x₂ ou seja dy y₂ y₁ Substituindo o valor obtido na reta temos dy fx₁x₂ fx₁x₁ b dy fx₁x₂ b fx₁x₁ b dy fx₁x₂ x₁ Ou ainda dy fx₁dx Exemplo1Calcular a diferencial da função a y 1 x² Solução a Como dy fxdx e y fx 1 x² temse aplicando a regra da cadeia fx x1 x² Logo dy fxdx x1 x²dx Exemplo 2 Dada a função fx x² 7x10 a Faça o gráfico de fx b Apresente o diferencial em x₀ 4 c Supondo um acréscimo de dx 001 apresente a variação aproximada da função d Faça um esboço do gráfico para ilustrar a situação e Estime o valor de f401 Item a Tabela x fx Raízes x² 7x 10 0 x² bx c 0 Δ b² 4ac Δ 7² 4110 9 x₁2 b Δ2a x₂ 2 vértice xₘ b2a 721 72 ym 94 O DIFERENCIAL Assim com base na tabela podemos construir o gráfico Item b o diferencial em x₀ 4 fx ddxx² 7x 10 2x 7 f4 24 7 1 Assim o diferencial será df f4dx df 1dx df dx O DIFERENCIAL Item d Item e 𝑓 401 𝑓 4 𝑑𝑓 𝑓 401 𝑓 4 𝑑𝑓 𝑓 401 2 001 𝑓 401 199 O DIFERENCIAL 𝑓 4 𝑓 399 𝑑𝑓 𝑓 399 𝑓 4 𝑑𝑓 𝑓 399 2 001 201 Item f Exemplo 3 Compare os valores de Δy e dy se y x³ x² 2x 1 e x variar a de 2 para 205 e b de 2 para 201 Solução a Temse que Δx 005 assim por definição Δy fx Δx fx f2 005 f2 205³ 205² 2205 1 2³ 2² 22 1 Δy 0717625 Para o cálculo de dy quando x 2 e Δx 005 temse dy fxdx 3x² 2x 2dx 32² 22 2005 dy 07 Observe que o erro cometido ao usar diferenciais e Δy dy é de 0017625 b Temse que Δx 001 assim por definição Δy fx Δx fx f2 001 f2 201³ 201² 2201 1 2³ 2² 22 1 Δy 0140701 Para o cálculo de dy quando x 2 e Δx 001 temse dy fxdx 3x² 2x 2dx 32² 22 2001 dy 014 Exemplo4 Calcule um valor aproximado para sqrt655 usando diferenciais Solução Seja y fx a função definida por fx sqrtx Aplicando a linearização da função f representada pela equação 131 escrevese y dy sqrt3x Delta x e dy frac13 cdot 2frac23dx Temse x 64 e Delta x 15 pois 64 é o cubo perfeito mais próximo de 655 Portanto x Delta x 655 dx Delta x 15 y sqrt64 4 Logo dy frac1364frac23 cdot 15 frac153 cdot 16 003125 Finalmente sqrt655 sqrt64 15 approx y dy Observe que ao utilizar uma calculadora obtémse que sqrt655 approx 4031008894 Portanto o erro cometido ao utilizar diferenciais é de 00002410106 Observação Observe a função do Exemplo3 Comparando Delta y com dy percebese que a aproximação por diferenciais dy tornase melhor à medida que Delta x fica menor De fato para o item a o erro cometido ao empregar diferenciais é e Delta y dy 0717625 07 0017625 Enquanto que para o item b onde Delta x é menor o erro cometido ao empregar diferenciais é e Delta y dy 0140701 014 0000701 Em alguns casos é mais fácil calcular dy pois para funções mais complicadas pode ser impossível calcular exatamente o valor de Delta y Nesses casos a aproximação por diferenciais tornase muito útil FIM