Cálculo Básico: Aplicações da Integral - Aula 24

z CÁLCULO BÁSICO AULA 24 APLICAÇÕES DA INTEGRAL PARTE I APLICAÇÕES DA INTEGRAL O problema da primitiva era dada a função fx encontrar uma função Fx tal que Fx fx Vimos que a primitiva não era única e para representar todas a família de funções escrevemos fx dx Fx c c ℝ Definição Uma equação diferencial é uma equação que envolve a derivada de uma função desconhecida Nestes condições podemos dizer que 1 Fx fx é uma equação diferencial Definição Uma solução dessa equação diferencial é qualquer função Fx que satisfaça a equação 1 Já a solução geral da equação diferencial é a família de todas as soluções ou seja Fx c c ℝ Uma solução particular é uma solução da equação diferencial que passa por um ponto Px₀ y₀ especificado APLICAÇÕES DA INTEGRAL EXEMPLO 1 Resolva a equação diferencial Fx 2x 1 Apresente a solução geral e a solução particular que passa pelo ponto P11 Sabemos que se Fx 2x 1 então Fx 2x 1 dx Fx x² x k k ℝ é a solução geral Agora a para encontrar a solução particular precisamos encontrar k de tal modo a função Fx passe pelo ponto P11 ou seja F1 1 Assim F1 1 1² 1 k 1 k 1 k 1 Portanto Fx x² x 1 é uma solução particular APLICAÇÕES DA INTEGRAL Definição Uma condição inicial é uma condição do tipo y₀ Fx₀ imposta à solução da equação diferencial Observação 1 Apresentar uma condição inicial é o análogo a impor que a solução Fx passe pelo ponto Px₀ y₀ Observação 2 Um problema que envolve uma equação diferencial com uma condição inicial é chamado de Problema de Valor Inicial EXEMPLO 2 Resolva o problema de valor inicial Fx 3x² 4x 8 F1 9 Se Fx 3x² 4x 8 Fx 3x² 4x 8 dx Fx 3x³3 4x²2 8x k Fx x³ 2x² 8x k Agora usando a condição F1 9 podemos encontrar k 9 1³ 2 1² 8 1 k k 2 Portanto a solução particular é Fx x³ 2x² 8x 2 APLICAÇÕES DA INTEGRAL EXEMPLO 3 A circulação atual da revista Digest é de 3000 exemplares por semana O editor chefe da revista projeta uma taxa de crescimento dada por 4 5 t² 3 exemplares por semana por t semanas pelos próximos 3 anos Com base em sua projeção qual será a circulação da revista daqui a 125 semanas Sol Vamos indicar por Nt a quantidade de exemplares por semana Assim a taxa de crescimento será expressa por Nt 4 5 t² 3 A informação de que a circulação atual é de 3000 exemplares é caracterizada como uma condição inicial ou seja N0 3000 Linha do Tempo 0 1 2 3 4 5 125 Hoje Semanas APLICAÇÕES DA INTEGRAL Para encontrar Nt vamos integrar a taxa de crescimento Nt Assim Nt 4 5 t² 3 dt Nt 4t 5 t 5 3 k Ou ainda Nt 4 t 3 t 5 3 k Agora utilizando a condição inicial N0 3000 temos N0 4 0 3 0 3 k 3000 k 3000 Portanto a expressão que descreve a quantidade de exemplares será Nt 4 t 3 t 5 3 3000 Assim a quantidade de exemplares daqui a 125 semanas será N125 4 125 3 125 5 3 3000 12875 Portanto a quantidade de exemplares daqui a 125 semanas será 12875 APLICAÇÕES DA INTEGRAL EXEMPLO 4 A fábrica de relógios de pulso TechWatch sabe que a função Custo Marginal diário associado à produção dos relógios é dada por Cx 0000009x² 0009x 8 onde x é o número de unidades produzidas Sabese ainda que o custo fixo associado a essa linha de produção é de 12000 reaisdia Determine o custo total para a empresa produzir as primeiras 500 relógios Sol A taxa de variação é expressa por Ct 0000009x² 0009x 8 A informação de que o custo fixo é de 120 reais é caracterizada como uma condição inicial ou seja C0 12000 APLICAÇÕES DA INTEGRAL Para encontrar Cx vamos integrar o custo marginal ou taxa de variação Cx Assim Cx 0000009x² 0009x 8 dx Cx 0000009x³3 0009x²2 8x k Ou ainda Cx 0000003x³ 00045x² 8x k Agora utilizando a condição inicial C0 120 temos C0 0000003 0³ 00045 0² 8 0 k 120 k 120 Portanto a expressão que descreve o custo total será Cx 0000003x³ 00045x² 8x 120 Assim o custo total das primeiras 500 unidades será N500 0000003 500³ 00045 500² 8 500 120 3370 Portanto o custo total das primeiras 500 unidades será de 3370 reais APLICAÇÕES DA INTEGRAL EXEMPLO 5 O controle de qualidade de uma fábrica de jogos de xadrez executa uma inspeção final antes de embalar os tabuleiros e as peças A taxa de crescimento de inspeção desses jogos inspecionados por hora por um funcionário do turno da manhã 800h 1200h t horas após o início do turno é dada por Nt 3t² 12t 45 com 0 t 4 Nessas condições pedese a Encontre a expressão que descreve o número de jogos inspecionados ao final de t horas b Quantos jogos são inspecionados pelo funcionário no turno da manhã Sol A taxa de variação é expressa por Nt 3t² 12t 45 Aqui precisamos perceber que no início do turno ou seja às 0800h não foram inspecionados nenhum jogo assim a condição inicial será N0 0 APLICAÇÕES DA INTEGRAL a Para encontrar Nt vamos integrar a taxa de variação Nt Linha do Tempo Assim Nt 3t² 12t 45 dt Nt 3t³3 12t²2 45t k Nt t³ 6t² 45t k Agora utilizando a condição inicial N0 0 temos N0 0³ 6 0² 45 0 k 0 k 0 Portanto a expressão que descreve a quantidade de jogos inspecionados será Nt t³ 6t² 45t b Observe na linha do tempo que o final do turno da manhã 12h corresponde à t 4 Portanto precisamos calcular N4 Assim N4 4³ 6 4² 45 4 212 Logo o quantidade de jogos inspecionados no período da manhã é 212 unidades APLICAÇÕES DA INTEGRAL EXEMPLO 6 Fontes do governo estimam que as despesas nacionais com saúde deverão crescer a uma taxa de Rt 00058 t 0159 com 0 t 13 em trilhões de reaisano entre os anos 2020 a 2033 Sabese que a despesa de 2020 foi fechada em 16 trilhão de reais Nestas condições pedese a Encontre a expressão que permite calcular os gastos com saúde entre 2021 e 2033 b Qual deverá ser os gastos com saúde em 2025 c Qual deverá ser os gastos com saúde em 2030 APLICAÇÕES DA INTEGRAL Sol Vamos indicar por Rt os gastos com saúde Assim a taxa de crescimento será expressa por Rt 00058 t 0159 válida no intervalo 0 t 13 A informação de que a despesa de 2020 foi fechada em 16 trilhão de reais é caracterizada como uma condição inicial ou seja R0 16 a Para encontrar Rt vamos integrar a taxa de crescimento Rt Assim Rt 00058t 0159 dt Rt 00058 t²2 0159t k Rt 00029 t² 0159 t k APLICAÇÕES DA INTEGRAL Agora utilizando a condição inicial R0 16 temos N0 00029 0² 0159 0 k 16 k 16 Portanto a expressão que descreve os gastos com saúde será Rt 00029 t² 0159 t 16 b Para saber o gastos com saúde em 2025 precisamos descobrir o valor de t correspondente ao ano 2025 Observando na linha do tempo vemos que t 5 Assim R5 00029 5² 0159 5 16 24675 Portanto os gastos com saúde em 2025 é estimado em 24675 trilhões de reais APLICAÇÕES DA INTEGRAL EXEMPLO 7 O número de Hospitais e Clínicas que oferecem o serviço de HomeCare no Brasil tem decrescido nos últimos 15 anos a uma taxa de 0186 e002t 0 t 14 Essa informação referese aos anos 2005 à 2019 Sabese que em 2005 havia 93 mil serviços de HomeCare ativos Nestas condições pedese a Encontre a expressão que permite calcular o número de HomeCare entre 2005 e 2019 b Qual era o número de HomeCare ativos em 2013 APLICAÇÕES DA INTEGRAL Sol Vamos indicar por Nt o número de HomeCare ativos Assim a taxa de decrescimento será expressa por Nt 0186 e002t válida no intervalo 0 t 14 A informação de que o número de HomeCare ativos em 2005 era de 93 mil unidades é caracterizada como uma condição inicial ou seja N0 93 a Para encontrar Nt vamos integrar a taxa de decrescimento Nt Assim Nt 0186 e002t dt Nt 0186 002 e002t k Nt 93 e002t k APLICAÇÕES DA INTEGRAL Agora utilizando a condição inicial N0 93 temos N0 93 e0020 k 93 k 0 Portanto a expressão que descreve o número de HomeCare ativos será Nt 93 e002t 0 t 14 b Para saber o número de HomeCare ativos em 2013 precisamos descobrir o valor de t correspondente a esse ano Observando na linha do tempo vemos que t 8 Assim N8 93 e0028 792493 Portanto o número de HomeCare ativos em 2013 era de aproximadamente 79 mil unidades FIM