Distribuição Normal e suas Aplicações em Estatística

Fontes STEVENSON W J Estatística Aplicada a Administração Harbra 2001 MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Profa Flainer Rosa de Lima Todos os direitos reservados Reprodução ou divulgação total ou parcial deste documento é expressamente proibida sem o meu consentimento formal por escrito autora deste material Modelo contínuo Distribuição normal Exemplos de aplicação Carta de Controle de CEP Controle Estatístico de Produção área de qualidade da empresa diminuir gastos Lâmpadas produzidas queimadas Notas de vestibular Vida média de aparelhos Contas a pagar ou a receber Salário médio Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de probabilidade se a sua função densidade de probabilidade for dada por 2 2 1 2 1 fx x e x para Gráfico de fx Características Curva normal ou Gaussiana o ponto máximo de fx é o ponto X µ os pontos de inflexão da função são X µ e X µ a curva é simétrica em relação à µ EX µ e VARX 2 Toda a área equivale a 100 logo metade vale 50 Obs Demonstrase que 1 2 1 2 2 1 dx e x 0003 99994 9973 9544 6826 Importância da Distribuição Normal Distribuição mais importante Estatística Distribuição Normal Cálculo de probabilidade Devido à dificuldade utilizase a transformação em variável normalizada e consultase uma tabela relativodedificuldade grau 2 1 2 2 1 dx e b X a P b a X Seja X Nµ2 X tem distribuição normal com média µ e variância 2 Definimos Z X Representação Gráfica Conclusão Z indica quantos desvios padrões a variável X está afastada da média µ 20 σ 2 µ 0 σ 1 VARIÂNCIA Medir Variação DESVIO PADRÃO medida de variabilidade em relação à média também conhecido como Margem de Erro Temos duas formas aproximadas de cálculo DADOS SEM FREQUÊNCIAS DADOS COM FREQUÊNCIAS Exemplos 1 XN200400 A média salarial de um gerente de empresas é de R 20000 o dia trabalhado com uma margem de erro de R 2000 Calcule a probabilidade de ao procurar um emprego encontrar um que pague a R 20000 ou mais PX200 Resp 05 b Entre R 170 a R 220 ou seja P170X220 Resp 0774538 c Mais que R 230 ou seja PX230 Resp 0066807 d Menos que R 184 ou seja PX184 Resp 0211855 e Menos que R 21735 ou seja PX21735 Resp 0807850 f Entre R 189 a R 193 ou seja P189X193 Resp 0072009 g Um valor MÍNIMO a ser recebido se a probabilidade disto ocorrer seja de 5 ou seja PXXa005 Resp R 2328 h Um valor MÁXIMO a ser recebido se a probabilidade deste fato for de 27 ou seja PX Xa 027 Resp R 1878 i Um valor MÁXIMO a ser recebido se a probabilidade deste fato for de 62 ou seja PX Xa 062 Resp R 20620 Resolução do Exemplo 1 e a R 20000 ou mais PX200 Como se quer acima da média esta área vale 50 significa que o 200 não está afastado da média que é o próprio 200 Z X 50 Resolução do Exemplo 1 μ 200 e σ 20 b Entre R 170 a R 220 ou seja P170X220 Z X μ σ Z₁ 170 200 20 15 buscar na tabela que se transforma em z₁ 0433193 área Z₂ 220 200 20 10 buscar na tabela que se transforma em z₂ 0341345 área P170X220 P15Z10 0433193 0341345 0774538 Temse 7745 de chance de encontrar um emprego que pague entre R170 a R220 Resolução do Exemplo 1 μ 200 e σ 20 c Mais que R 230 ou seja PX230 Z₁ 230 200 20 15 buscar na tabela que se transforma em z 0433193 PX230 PZ15 05 0433193 0066807 d Menos que R 184 ou seja PX184 Z₁ 184 200 20 08 buscar na tabela que se transforma em z 0288145 PX184 PZ08 05 0288145 0211855 Resolução do Exemplo 1 μ 200 e σ 20 e Menos que R 21735 ou seja PX21735 Z₁ 21735 200 20 08675 087 buscar na tabela que se transforma em z 0307850 PX21735 PZ087 05 0307850 0807850 Resolução do Exemplo 1 EXCEL FUNÇÃO DISTNORMXmédiadesvio padrãocumulativo Cumulativo VERDADEIRO Gera a PROBABILIDADE ou também conhecido como PVALOR A Situação Problema oferece inicialmente a probabilidade de um fato e quer descobrir o valor que a gerou PX Xa 50 Xa é valor MÁXIMO Z é NEGATIVO porque Xa µ PX Xa 50 Xa é valor MÁXIMO Z é POSITIVO porque Xa µ A Situação Problema oferece inicialmente a probabilidade de um fato e quer descobrir o valor que a gerou PX Xa 50 Xa é valor MÍNIMO Z é NEGATIVO porque Xa µ PX Xa 50 Xa é valor MÍNIMO Z é POSITIVO porque Xa µ PXXa 50 PXXa 50 PXXa 50 PXXa 50 Resolução do Exemplo 1 Olhando dentro da TABELA 449497 450529 045 0449497 0000503 é o mais próximo de 045 Então Z164 0450529 045 0000529 Z164 Z165 Resolução do Exemplo 1 Olhando dentro da TABELA 229069 232371 023 0229069 0000931 É o mais próximo de 023 Então Z061 0232371 023 0002371 Z061 Z062 Resolução do Exemplo 1 i Um valor MÁXIMO a ser recebido se a probabilidade deste fato for de 62 ou seja PX Xa 062 z 062 05 012 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 012 então Z 031 positivo porque Xa é maior do que a média Olhando dentro da TABELA 117911 121719 012 0117911 0002089 É o mais próximo de 023 Então Z061 0121719 012 0001719 Z030 Z031 EXCEL encontrar Xa FUNÇÃO INVNORMNprobabilidademédiadesvio padrão Gera o valor inicial conforme a PROBABILIDADE dada Exemplos 2 O saldo médio em poupança dos brasileiros é de R 10000 com variância de R 2500 Calcule a probabilidade de ao escolher aleatoriamente um cliente encontrar um que tenha a Entre R 100 a R 106 ou seja P100X106 Resp 0384930 b Entre R 89 a R 107 ou seja P89X107 Resp 090534 c Mais que R 108 ou seja PX108 Resp 0054799 d Menos que R 108 ou seja PX108 Resp 0945201 e Entre R 112 a R 116 ou seja P112X116 Resp 0007510 f Uma reserva mínima sabendo que a probabilidade disto ocorrer é de 5 ou seja PXXa005 Resp R 10820 g Uma reserva máxima sabendo que a probabilidade disto ocorrer é de 27 ou seja PX Xa 027 Resp R 9695 h Uma reserva máxima sabendo que a probabilidade disto ocorrer é de 62 ou seja PX Xa 062 Resp R 10155 Z X Resolução do Exemplo 2 μ 100 e σ² 25 então σ 5 a Entre R 100 a R 106 ou seja P100X106 Z X μ σ Z₁ 100 100 5 0 Z₂ 1061 5 12 buscar na tabela que se transforma em z2 0384930 área P100X106 P0Z12 0 0384930 0384930 Temse 3849 de ter como saldo médio entre R 100 a R 106 Resolução do Exemplo 2 μ 100 e σ² 25 então σ 5 b Entre R 89 a R 107 ou seja P89X107 Z X μ σ Z₁ 8910 5 22 buscar na tabela que se transforma em z1 0486097 área Z₂ 107100 5 14 buscar na tabela que se transforma em z2 0419243 área P89X107 P22Z14 0486097 0419243 0905340 Temse 9053 de ter como saldo médio entre R 89 a R 107 Resolução do Exemplo 2 μ 100 e σ² 25 então σ 5 c Mais que R 108 ou seja PX 108 Z 108100 5 16 buscar na tabela que se transforma em z 0445201 área PX 108 PZ 16 05 0445201 0054799 Temse 548 de ter como saldo médio maior que R 108 µ 100 e σ² 25 então σ 5 d Mais que R 108 ou seja PX 108 Z 1081005 16 buscar na tabela que se transforma em z 0445201 área PX 108 PZ 16 05 0445201 0995201 Temse 9952 de ter como saldo médio menor que R 108 µ 100 e σ² 25 então σ 5 e Entre R 112 a R 116 ou seja P112X116 Z₁ 1121005 24 buscar na tabela que se transforma em z1 0491802 área Z₂ 1161005 32 buscar na tabela que se transforma em z2 0499313 área P112X116 P24Z32 0499313 0491802 0007511 Temse 075 de ter como saldo médio entre R 112 a R 116 Exemplos 3 Sendo X N5016 ou seja uma loja atende em média 50 clientes por dia com uma margem de erro de 4 clientes Dessa forma determine a quantidade de clientes Xa tal que a probabilidade de atendelos seja a Mínima 005 Resp Xa5656 57 b Máxima 099 Resp Xa5932 59 c Mínima 099 Resp Xa4068 41 A quantidade MÍNIMA de clientes a serem atendidos sabendo que a probabilidade disto ocorrer seja de 5 ou seja PXXa 005 z 05 005 045 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 045 então Z 164 positivo porque Xa é maior do que a média 164 Xa54 Xa 5656 57 pacientes b A quantidade MÁXIMA de clientes a serem atendidos sabendo que a probabilidade disto ocorrer seja de 99 ou seja PX Xa 099 z 099 05 049 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 049 então Z 233 positivo porque Xa é maior do que a média 233 Xa5 4 Xa5932 60 pacientes 489830 Z 232 490097 Z 233 049 0489830 0000170 0490097 049 0000097 então usar Z 233 c A quantidade MÍNIMA de clientes a serem atendidos sabendo que a probabilidade disto ocorrer seja de 99 ou seja PX Xa 099 z 099 05 049 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 049 então Z 233 NEGATIVO porque Xa é menor do que a média 233 Xa50 4 Xa4068 41 pacientes Lista 1 Exercício 1 Em um supermercado constatouse que a média de gastos dos consumidores durante um determinado tempo é de R 10000 com uma margem de erro de R 1000 XN100100 Qual a probabilidade de acordo com a Normal de encontrar um consumidor que gaste a Mais que 80 R 9772 b Mais que 120 R 228 c Menos que 120 R 9772 d Mais que 85 R 9332 e Entre 89 e 99 R 3245 f Mais que 100 R 50 g Entre 85 e 115 R 8664 h Determine o valor MÍNIMO de compra se a probabilidade é de 5 ou seja PXXa005 R 11640 i Determine o valor MÁXIMO de compra se a probabilidade é de 99 ou seja PXXa099 R 12330 j Determine o valor MÁXIMO de compra se a probabilidade é de 934 ou seja PXXa00934 R 8680 Resolução do Exercício 1 e a Mais que 80 PX80 2 buscar na tabela que se transforma em z1 0477250 PX80 PZ2 05 0477250 0977250 X Z 50 c Mais que R 120 ou seja PX120 Z1 1201 10 2 buscar na tabela que se transforma em z 0477250 PX120 PZ2 05 0477250 00228 d Menos que R 120 ou seja PX120 Z1 120100 10 2 buscar na tabela que se transforma em z 0477250 PX120 PZ2 05 0477250 0977250 Exercício 2 Um fabricante de baterias sabe por experiência passada que as baterias de sua fabricação têm vida média de 600 dias e desvio padrão de 100 dias sendo que a duração tem aproximadamente distribuição normal Oferece uma garantia de 312 dias isto é troca as baterias que apresentarem falhas nesse período Fabrica 10000 baterias mensalmente Quantas deverá trocar pelo uso da garantia mensalmente XN600 1002 µ 600 dias σ 100 dias P X 312 PX 312 PZ 288 05 0498012 0001988100 020 de trocar 1 bateria no prazo de garantia 10000 0001988 20 baterias Exercício 3 Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150000 km e desvio padrão de 5000 km a Qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso dos fabricados por essa firma tenha um motor que dure menos de 170000 km R 0999968 b Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja de 02 R 135600 km XN150000 50002 µ 150000 σ 5000 a P X 170000 PX 170000 PZ 4 05 0499968 0999968 Exercício 3 b Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja de 02 R 135600 km XN150000 50002 µ 150000 σ 5000 P X Xa 02 z 50 02 498 0498 Tabela Z 288 negativo porque Xa é menor do que a média Xa 135600 km garantia do motor z 497948 Z 287 498012 Z 288 0498 0497948 0000052 0498012 0498 0000012 então usar Z 288 EXERCÍCIO 4 Xi 13 11 14 8 12 19 8 12 16 12 125 Xi2 169 121 196 64 144 361 64 144 256 144 1663 MÉDIA DESVIO PADRÃO 31702 EXCEL MÉDIA MÉDIA DESVIO PADRÃO DESVPADP EXERCÍCIO 6 Uma máquina automática enche latas baseada no peso bruto das mesmas O peso bruto tem distribuição normal com média de 850 g e desvio padrão de 20 g Qual a probabilidade de que uma lata pese amenos de 830g R1587 bmenos que 827g ou mais que 893g RPX8271251 PX893158 PX827 ou X89312511581409 c mais de 870g R1587 dentre 840 e 920g R6912 eO peso de uma lata se a probabilidade for PXXa 074 R 83720 EXERCÍCIO 6 e O peso de uma lata se a probabilidade for PXXa 074 z 74 50 24 Ou z 074 050 024 Z 064 negativo porque Xa média 064 20 850 Xa Xa 83720g 50 238914 Z 064 242154 Z 065 024 0238914 0001086 0241254 024 0001254 Dados Agrupados histograma e curva normal pelo Excel httpswwwyoutubecomwatchv2YItnzdFHjU Geogebra httpswwwyoutubecomwatchvSsu3hjV94CY Distribuições de funções de variáveis aleatórias normais Teorema do Limite Central Aproximação da distribuição binomial pela normal Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias Normais Sejam n variáveis aleatórias independentes cada uma com distribuição normal e sejam EXi µi e VARXi2 i i12n isto é Xi Nµi2 i Consideremos a variável X n i i X 1 X também é normalmente distribuída e Nas condições acima se µ1µ2 µnµ e 2 1 2 2 2 n temos que 1 2 1 n i i n i i N X XNnµ n2 Teorema do Limite Central Considere n variáveis aleatórias X1 X2 Xn independentes com EXiµi e VARXi2 i i12n Seja X Em condições gerais a variável tem distribuição aproximadamente N01 Se EXiµ e VARXi 2 i1 n e para n bastante grande n temse que tem distribuição normal no limite Z N01 n i i X 1 n i i n i i X Z 1 2 1 2 n n X Z Exemplos 1 Um elevador tem seu funcionamento bloqueado se sua carga for superior a 450 kg Sabendo que o peso de um adulto é uma variável com distribuição normal sendo a média igual a 70 kg e o desvio padrão igual a 15 kg calcule a probabilidade de ocorrer o bloqueio numa tentativa de transportar 6 adultos Resp 0206108 RESOLUÇÃO 367423 1350 1350 420 4201350 6 6 70 6 15 1 7015 2 2 2 N X adultos peso de N X adulto peso de N X 0 206108 0 293892 50 0 82 450 P Z kg X P Ou seja a probabilidade do elevador ser bloqueado ao carregar acima de 450kg é de 2061 Exemplos 2 O peso de um saco de café é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média de 65 kg e desviopadrão de 4kg Um caminhão é carregado com 120 sacos Perguntase qual a probabilidade de a carga do caminhão pesar a entre 7893kg e 7910kg Resp 0010966 b mais de 7722kg Resp 0962462 RESOLUÇÃO 438178 1920 1920 7800 78001920 cos 120 12065120 4 1 65 4 2 2 2 N X de café sa peso de N X saco de café peso de N X Exemplo 2 a entre 7893kg e 7910kg Resp 0010966 RESOLUÇÃO 010966 0 0 482997 493963 0 2 51 212 7910 7893 8178 43 7800 Z P x P Exemplo 2 b mais de 7722kg Resp 0962462 RESOLUÇÃO 962462 0 0 462462 50 1 78 7722 438178 7800 P Z x P O peso médio de um automóvel é de 2000kg com desvio padrão de 500kg Uma cegonha carrega 10 carros Qual a probabilidade da carga da cegonha pesar entre 18000kg a 23000kg XN2000 500² peso de 1 automóvel XN102000 10500² peso de 10 automóveis μ 20000 σ² 250000000 σ 2500000 15811388 Z₁ 1800020000 1581138 Z₁ 12649 126 tabela z₁ 0396165 Z₂ 2300020000 1581138 Z₂ 18974 190 tabela z₂ 0471284 P18000 X 23000 P126 Z 190 0396165 0471284 08674 Exemplo 4 Os pesos do conteúdo de uma caixa de cereais são normalmente distribuídos com um peso médio de 20 onças e um desvio padrão de 007 onça Caixas nos 5 de pesos mais baixos não atendem às condições mínimas de peso e devem ser embaladas novamente a Qual é o peso mínimo exigido para uma caixa de cereais R 1988 onças b Qual a probabilidade de uma pickup que carrega 230 caixas pesar mais que 4603 onças R 023 Exemplo 4 a Qual é o peso mínimo exigido para uma caixa de cereais Como 5 não atendem às condições mínimas para ser embalada e a pergunta é o peso mínimo exigido para ser embalada então tem se 95 das caixas a serem embaladas logo PX Xa 095 z 095 050 045 Z 164 negativo porque Xa µ Xa 1988 onças 50 45 b Qual a probabilidade da carga de uma pickup que carrega 230 caixas pesar mais que 4603 onças XN20 0072² peso de 1 caixa XN23020 2300072² peso de 230 caixas μ 4600 σ² 1127 σ 1127 10616 Z₁ 46034600 10616 283 tabela z₁ 0497673 PX 4603 PZ 283 05 0497673 00023 Proporção de Objetos Dados vários objetos para definir uma média única e uma variância única se faz Dada a proporção de objetos X aX1 bX2 cX3 mXn então Média µ a µX1 b µx2 c µX3 m µXn Variância σ2 a2σ2X1 b2σ2X2 c2σ2X3 m2σ2Xn Desvio Padrão 2 Propriedades de Módulo 2 2 2 x x Exemplo a x a a x 9 5 7 2 7 2 2 7 2 2 7 x x x x Exemplo b a x b a a b x a a b x Propriedades de Módulo 2 2 2 ou x x x Exemplo a x a ou x a x 5 9 7 2 7 2 2 7 2 7 2 7 ou x x ou x x x ou x x Exemplo a b a ou x b x a b x Sejam X₁ N180 40 e X₂N160 50 independentes Seja X4X₁3X₂ também com distribuição normal Calcular a PX200 42 Resp 0517353 μₓ aμX₁ bμX₂ μₓ 4180 3160 240 σ²ₓ a²σ²X₁ b²σ²X₂ σ²ₓ 4²40 3²50 1090 σₓ 1090 330151 PX200 42 P42 X 200 42 P42 200 X 42 200 P158 X 242 Z₁ 158240 330151 248 tabela z₁ 0493431 Z₂ 242240 330151 006 tabela z₂ 0023922 P z₁ z₂ 0517353 5 Sejam X1 N150 30 e X2N200 20 independentes Seja X3X1X2 também com distribuição normal Calcular a P X230 12 Resp 02891 Exercício 7 Numa indústria a montagem de certo item é feita em duas etapas Os tempos necessários para cada etapa são independentes e têm as seguintes distribuições X1 N 125 seg 100 seg X1 tempo da primeira etapa X2 N 75 seg 16 seg X2 tempo da segunda etapa a Qual a proporção que demonstra a montagem completa da peça b Qual a média e desvio padrão da montagem completa da peça R µ 200 1077 Qual a probabilidade de que sejam necessários para montar a peça c P X 200 21 R 0948824 d Mais de 220 segundos R 0031443 e Menos de 170 segundos R 0002635 Resolução do exercício 7 X1 N 125 seg 100 seg X1 tempo da primeira etapa X2 N 75 seg 16 seg X2 tempo da segunda etapa Proporção X X1 X2 µ 1125 175 200 P z1 z2 0948824 Sejam X1N150 30 X2N12040 e X3N20020 variáveis independentes relacionando os dados de exames laboratoriais Considere a variável X 4X1 2X2 X3 também normal Calcule a probabilidade de a PX500 70 R 06517 b Xa tal que PXXa010565 R 52789 Sejam X1N150 30 X2N12040 e X3N20020 variáveis independentes relacionando os dados de exames laboratoriais Considere a variável X 4X1 2X2 X3 também normal Calcule a probabilidade de b Xa tal que PXXa010565 R 52789 Exercício 9 Suponha que a análise da urina para determinada verificação de pedras nos rins é feita em 3 etapas independentes entre si Os tempos de análise de cada etapa são normalmente distribuídos como segue Etapa Média Desvio 1ª 3h 30 minutos 2ª 4h 20 minutos 3ª 6h 50 minutos O tempo total de análise também é normalmente distribuído a Qual a proporção que demonstra a análise completa da urina b Qual a média e desvio padrão da análise completa da urina Qual a probabilidade de que a análise da urina seja feita c em mais de 660 minutos d d entre 896 minutos e 915 minutos Resolução do Exercício 9 Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Distribuição Binomial n número de provas ou tentativas k número de ocorrências sucessos em n provas ou tentativas p probabilidade de o evento OCORRER sucesso em qualquer prova quando estiver em porcentagem p deverá ser expresso em decimais ou em fração q probabilidade do evento NÃO OCORRER fracasso em qualquer prova q 1 p indicação a variável X tem distribuição binomial com parâmetros n e p ou seja X Bnp EX np e VARX npq Distribuição Normal Seja X Nµ2 X tem distribuição normal com média µ e variância 2 Definese X Z Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Binomial n 30 elementos Aproximação da Binomial pela Normal n 30 Ou ainda quando Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Exemplo de Aplicação do Teorema do Limite Central Seja X Bnp Podemos escrever sendo as variáveis X1 X2 Xn independentes cada uma com distribuição de Bernoulli Sabemos que EX µ np e VARX 2 npq n i i X 1 X Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Para aplicar a Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal É necessário garantir que np 5 nq 5 INCLUSÃO Quando os valores estão inclusos no intervalo devese garantir esta inclusão ou seja acrescentar valores neste intervalo EXCLUSÃO Quando os valores estão exclusos no intervalo devese garantir esta exclusão ou seja eliminar valores neste intervalo Para melhorar a aproximação fazse uma CORREÇÃO DE CONTINUIDADE cc Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Correção de Continuidade cc Em 1733 Abraham De Moivre por meio do Teorema do Limite Central mostrou que para melhorar a aproximação do resultado da Binomial pelo resultado da Normal fazse uma correção de continuidade cc 1 2 Correção de Continuidade cc Inclusão de a Inclusão de b Correção de Continuidade cc 3 Exclusão de a Exclusão de b Correção de Continuidade cc 4 Inclusão de a Exclusão de b Exemplo 8 Um sistema é formado por 100 componentes cada um dos quais com confiabilidade de 095 Se esses componentes funcionam independentes uns dos outros e se o sistema completo funciona adequadamente quando pelo menos 80 componentes funcionam qual a confiabilidade do sistema Exemplo 8 Resolução por Binomial Exemplo 8 Resolução por Aproximação da Binomial pela Normal Vamos usar a aproximação uma vez que n30 e np 100 095 95 5 nq 100 005 5 Assim µ np 100095 95 2 npq 100 095 005 475 logo 218 np 5 e nq 5 Exemplo 8 Correção de Continuidade cc 100 5 79 5 100 80 X P X P cc Exemplo 8 Resolução por Aproximação da Binomial pela Normal µ np 100095 95 2 npq 100 095 005 475 logo 218 Conclusão confiabilidade do sistema 9941 100 5 79 5 100 80 X P X P cc Exemplo 9 Seja X Bnp onde n100 funcionários com algum diploma universitário e p05 a probabilidade de encontrar um aluno com diploma Calcule usando a aproximação da binomial pela normal a probabilidade de encontrar a Exatamente 52 funcionários com diploma ou seja PX52 Resolução PX 52 cc P51 X 53 P515 X 525 Resp 0073551 b De 25 a 57 funcionários com diploma ou seja P25 X 57 Resolução P25 X 57 cc P24 X 57 P245 X 575 Resp 09332 c P25X57 R 09032 Resolução P25 X 57 cc P26 X 58 P255 X 565 Exemplo 9 Vamos usar a aproximação uma vez que n30 e np 100 05 50 5 nq 100 05 50 5 Então µ np 10005 50 2 npq 100 05 05 25 5 Exemplo 9 a Exatamente 52 funcionários com diploma ou seja PX 52 Resp 0073551 P z2 z1 Exemplo 9 Exemplo 9 a Mais que 25 a menos que 57 funcionários com diploma ou seja P25 X 57 Exercício 12 Considere X uma variável binomial com cento e duas contas a receber e a probabilidade de recebimento igual a 60 Calcule a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente de noventa a noventa e sete contas R0 Exercício 13 Determine a média e o desvio padrão de uma distribuição normal sabendo que nesta distribuição os valores padronizados de X180 e X2100 são respectivamente Z116 2 Z224 Sendo que esses valores correspondem a quantidade de funcionários que faltaram em meses de trabalho Em seguida determine a probabilidade de encontrar de forma aleatória em um mês qualquer mais que 90 e menos que 97 faltas ou seja P90X97 Resolução Exercício 14 Em um setor de finanças temse 12 de problemas com cálculos de impostos Usando a aproximação da distribuição binomial pela normal determine a probabilidade de em uma amostra formada ao acaso por 500 impostos termos mais de 40 e menos de 51 com problemas em seus cálculos R 0091417 BINOMIAL n 500 40 k 51 com problemas p 12 com problemas q 88 np 50001260 5 nq 500088 440 5 NORMAL µ np 500012 60 σ2 npq 500012088 5280 σ 72664 P40 X 51ccP405 X 505 Z₁ 40 12 60 72664 268 tabela Z₂ 51 12 60 72664 131 tabela P z1 z2