Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL TEOREMA DE BAYES Fonte MORETTIN LG Estatística BásicaVolume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Considere uma partição A₁ A₂ Aₙ₁ Aₙ do espaço Amostral Ω e B um evento qualquer Assim Podemos escrever B como B A₁ B A₂ B A₃ B Aₙ₁ B Aₙ B Como A₁ A₂ Aₙ₁ Aₙ é uma partição temos que Aᵢ Aⱼ Ø i j 1n Portanto A₁ B A₂ B Aₙ B são eventos mutuamente exclusivos assim PB PA₁ B PA₂ B PAₙ B Aplicando o teorema do produto temos PAᵢ B PAᵢ PBAᵢ i 12n Chegamos à PB PA₁ PBA₁ PA₂ PBA₂ PAₙ PBAₙ Ou finalmente PB ₙᵢ₁ PAᵢ PBAᵢ Teorema da Probabilidade Total Sejam A₁ A₂ Aₙ eventos que formam uma partição do espaço amostral Seja B um evento deste espaço então PB ₙᵢ₁ PAᵢ PBAᵢ Exemplo 1 Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas Escolhese ao acaso uma urna e dela retirase também ao acaso uma bola Qual a probabilidade que seja branca Urnas Branca Amarela Total I 3 2 5 PI 12 PBI 35 PB PI PBI PII PBII II 4 2 6 PII 12 PBII 46 PB 12 35 12 46 PB 1930 Probabilidade da bola selecionada ser branca é de 1930 Teorema de Bayes Sejam A₁ A₂ Aₙ eventos que formam uma partição de um espaço amostral Seja B um evento deste espaço amostral Sejam conhecidas PAᵢ e PBAᵢ i 1 n PAⱼB PAⱼ B PB PB Aⱼ PB PAⱼ PBAⱼ PB Então PAⱼ B PAⱼPBAⱼ ⁿᵢ₁ PAᵢPBAᵢ j 1 n Exemplo 2 Urnas Branca Amarela Total Probabilidade Total I 3 2 5 II 4 2 6 Total 7 4 11 𝑃 𝐼 1 2 𝑒 𝑃𝐵𝐼 3 5 𝑃𝐵 𝑃𝐼 𝑃𝐵𝐼 𝑃𝐼𝐼 𝑃𝐵𝐼𝐼 𝑃 𝐼𝐼 1 2 𝑒 𝑃𝐵𝐼𝐼 4 6 A probabilidade da bola branca ter vindo da 2ª urna é de 𝑃𝐼𝐼𝐵 1 2 4 6 1 2 3 5 1 2 4 6 1 3 19 30 1 3 30 19 10 19 Probabilidade 𝑃𝐵 1 2 3 5 1 2 4 6 19 30 Probabilidade da bola selecionada ser branca é de 1930 Exemplo 3 Caixa Cartas Par P Probabilidade Probabilidade Total A 1 a 9 2 4 6 8 B 1 a 5 2 e 4 9 4 2 1 e P P A A P 5 2 2 1 e P P B B P 𝑃𝑃 𝑃𝐴 𝑃𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝑃𝐵 A probabilidade da carta par ter vindo da 1ª caixa é de 𝑃𝑃 1 2 4 9 1 2 2 5 19 45 Probabilidade Exemplo 4 3 4 1 5 1 20 Classe Carro Marca X A B C 𝑃𝐴 3 4 𝑃𝐵 1 5 𝑃 𝐶 1 20 𝑃 𝑋 𝐴 1 10 𝑃𝑋𝐵 3 5 𝑃 𝑋 𝐶 3 10 𝑃𝐵𝑋 𝑃𝐵 𝑃𝑋𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝑋𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝑋𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝑋𝐶 𝑃𝐵𝑋 1 5 3 5 3 4 1 10 1 5 3 5 1 20 3 10 3 25 21 100 3 25 100 21 4 7 Probabilidade Exemplo 5 Indústria PX Gases A PA042 PGA003 B PB038 PGB002 C PC020 PGC001 𝑃𝐶𝐺 𝑃𝐶 𝑃𝐺𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐺𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐺𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐺𝐶 𝑃𝐶𝐺 020001 042003 038002 020001 00901 Probabilidade Exemplo 6 Stevenson 2001 p90 Fantasia usa não usa Teste PU 07 PNão U 03 Positivo PPU06 PPNãoU02 Negativo PNU04 PNNãoU08 Probabilidade Exemplo 7 H M A salada PA 02 B carne PB 08 A salada PA 07 B carne PB 03 Probabilidade Resolução do Exemplo 7 a PA PHPAH PMPAM PA 07502 02507 0325 b PMA PMPAM PHPAH PMPAM PMA 02507 07502 02507 05385 c PHB PHPBH PHPBH PMPBM PHB 07508 07508 02503 08889 Exemplo 8 MOEDAS Cara Coroa Probabilidade A PA Pc A B PB Pc B1 0 C PC Pc C 𝑃𝐴 𝑃𝑐𝐴 1 3 1 2 𝑃𝐵 𝑃𝑐𝐵 1 3 1 3 1 𝑃𝐶 𝑃𝑐𝐶 1 3 1 5 3 1 3 1 Probabilidade Exemplo 9 Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas A B e C A produção de A é 2 vezes a de B e a de C é 2 vezes a de B O produto X é armazenado em um depósito central As proporções de produção defeituosa são 5 de A 3 de B e 4 de C Retirase uma unidade de X do depósito e verificase que é defeituosa Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada por B Resolução do Exercício 9 FÁBRICA Probabil Defeituosa A PA 𝑃 𝐷 𝐴 005 B PB 𝑃 𝐷 𝐵 003 C PC 𝑃 𝐷 𝐶 004 014286 2 5 1 5 2 5 Probabilidade P A 2p P B p P C 2p 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 1 2p 𝑝 2𝑝 1 5𝑝 1 𝑝 1 5 P A 2 5 P B 1 5 P C 2 5 Exemplo 10 Montagem Produção Defeituosos I PI060 PDI002 II PII030 PDII001 III PIII010 PDIII003 P D III P III P D II P II P D I I P III P D P III D P III 01667 010 0 03 0 30 0 01 60 0 02 0 010 0 03 III D P Probabilidade FIM