Hipóteses e Testes de Hipóteses em Estatística

Hipótese Alegação ou afirmação sobre o valor de um único parâmetro característica de uma distribuição de probabilidade sobre os valores de vários parâmetros ou sobre a forma de uma distribuição de probabilidade DEVORE p 271 2014 Fontes 1 STEVENSON W J Estatística Aplicada à Administração Ed Harbra 1981 2 DEVORE J L Probabilidade e Estatística para engenharia e Ciências Ed Cengage Learning 2014 3 MAGALHÃES M N LIMA A C P de Noções de Probabilidade e Estatística 3ª ed IME USP 2001 4 TAVARESM Estatística Aplicada a Administração httpceadufpibrconteudomaterialonlinedisciplinasestatisticadownloadEstatisticacompletorevisadopdf 5 THURMAN P W Estatística Ed Saraiva 2012 Profa Flainer Rosa de Lima Testes de Hipóteses Aceitar ou Rejeitar decisões baseandose em um conjunto de evidências Exemplos Culpa ou inocência de um indivíduo num julgamento Eficiência ou não de uma vacina Pontualidade ou não na chegada dos funcionários Conteúdo líquido de garrafas segue ou não a orientação do rótulo como refrigerantes água sucos cervejas Falhas de comunicação em uma central de telefonia etc Ao surgir uma dúvida em relação a uma afirmação devese sugerir uma hipótese Ho alternativa de acordo com a decisão que deseja tomar A partir dai veja o que pode acontecer com as hipóteses de acordo com a decisão Testes de Hipóteses Decisão Ho é verdadeira Ho é falsa Aceitar Ho Decisão correta Erro do tipo II Rejeitar Ho Erro do tipo I Decisão correta Nível de Significância O nível de significância de um teste é a probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada quando verdadeira STEVENSON 2001225 Devemos escolher o nível de significância ou seja a incerteza α que em geral varia de 1 a 5 Vamos utilizar a distribuição Normal quando n 30 e se o desvio padrão da população é conhecido Vamos utilizar a distribuição tStudent quando n 30 e Se o desvio padrão da população é desconhecido n x Z x x n s x t x x Testes de Hipóteses Formular as Hipóteses Dado um objeto principal este será a hipótese nula H0 H0 µ média principal ou H0 p proporção principal A contradição que anula a hipótese H0 ou seja a hipótese a ser verificada ou alternativa será H1 H1 µ ou H1 µ ou H1 µ Tanto H0 como H1 podem ser verdadeiras mas não as duas ao mesmo tempo Teste Unilateral H1 µ ou p ou H1 µ ou p O teste da cauda a esquerda H1 µ ou p É útil para verificar se determinado padrão mínimo foi atingido Exemplos conteúdo mínimo de gordura no leite Peso líquido de pacotes de determinado produto Resistência de correias à tensão Vida de um produto tal como especificada no certificado de garantia Teste Unilateral H1 µ ou p ou H1 µ ou p O teste da cauda a direita H1 µ ou p É útil para testar se determinado padrão máximo não foi excedido Exemplos Teor máximo de gordura permitido em determinado tipo de leite radiação emitida por usinas nucleares número de unidades defeituosas numa remessa de certa mercadoria quantidade de poluição atmosférica ocasionada por uma fábrica Teste Bilateral H1 µ ou p O Teste Bilateral H1 µ ou p normalmente é utilizado sempre que a divergência crítica é em ambas as direções Exemplos Tal como ocorreria na fabricação de roupas onde as camisas muito grandes ou muito pequenas não correspondem a determinado padrão Outro exemplo é o caso em que peças devem ajustarse uma a outra como parafuso e porca Uma variação excessiva ocasionará seja um ajuste muito frouxo de modo que a s peças não permanecerão unidas ou um ajuste excessivo impedindo a conjugação das peças STEVENSON 2001228 Exercício Exercício 2 capítulo 10 STEVENSON 2001238 Indique as hipóteses nula H0 e alternativa H1 para cada uma das seguintes situações a Uma organização de teste de produtos duvida da afirmação de um fabricante de que suas pilhas tenham uma vida média de 25 horas sob operação contínua H0 µ 25h H1 µ 25h Exercício b Tubos galvanizados devem ter uma média de 2 polegadas para ser aceitáveis H0 µ 2 polegadas H1 µ 2 polegadas c Novas técnicas de instrução não serão implementadas a menos que se prove que a taxa média de aprendizagem melhorará em comparação com a técnica atualmente em uso H0 µ taxa média de aprendizagem H1 µ taxa média de aprendizagem melhorará em comparação com a técnica atualmente em uso Exercício d Um fabricante de conservas deseja evitar excesso no enchimento de potes de 12 litros de geleia H0 µ 12l H1 µ 12l e O fabricante do item d deseja evitar deficiência e excesso no enchimento dos potes H0 µ 12l H1 µ 12l Se o valor da probabilidade estiver na região crítica de rejeição rejeitar Ho caso contrário aceitar H0 Testes de Hipóteses Formular as Hipóteses Imagem TAVARES M p 107 Maneiras de aceitar ou rejeitar Hipótese H0 Zcrit e Zcalc Zcrit é o Z crítico referente ao nível de confiança Zcalc é o Z calculado de acordo com as hipóteses tcrit e tcalc tcrit é o t crítico referente ao nível de incerteza Valorcrit e Valorcalc Dado o Z ou t encontrar o X crítico eou X calculado utilizando as fórmulas acima ValorP ou pvalor probabilidade do evento ocorrer x x calc x Z x x calc s x t ValoresP Definição O valorP ou pvalor é uma probabilidade área da curva z ou t Esta probabilidade é calculada presumindose que a hipótese nula é verdadeira H0 Cuidado o valorP não é a probabilidade de que H0 seja verdadeira nem probabilidade de erro Para determinar o valorP devemos primeiramente decidir quais valores da estatística do teste são pelo menos contraditórios a H0 assim como o valor obtido em nossa amostra Inspecionase uma amostra de 142 peças de uma grande remessa encontrandose 8 defeituosas O fornecedor garante que não haverá mais de 6 de peças defeituosas em cada remessa O que devemos responder com auxílio dos testes de significância é se a afirmação do fornecedor é verdadeira de acordo com 2 de significância STEVENSON W J P 222223 1981 Verificar se a hipótese do fornecedor é verdadeira As hipóteses a serem formuladas são relacionadas a informação do fornecedor H0 p006 H1 p006 p é maior que 006 pois 008 é maior que 006 Testes de Hipóteses Exemplo 1 Testes de Hipóteses Exemplo 1 Solução Verificar se a hipótese do fornecedor é verdadeira H0 p006 H1 p006 n 142 p 006 q 094 α 2 100 2 98 98 50 48 Zcrit205 Assim como Zcalc100 é menor do que Zcrit205 então aceitar H0 Conclusão Isso parece sugerir que a discrepância pode ser devida apenas ao acaso Não é preciso dizer que não podemos afirmar em definitivo que a população tenha realmente uma percentagem de 6 de defeituosas mas em vista da distribuição amostral de tal população e da estatística amostral observada a afirmação H0 parece verdadeira 0 02 142 0 06 0 94 n q p p Rejeitar H0 Aceitar H0 0 1 205 2 05 0 48 crit tabela Z z 1 00 02 0 0 06 0 08 Zcalc 002 Outras formas de verificar a hipótese nula Valor Crítico Zcrit 205 Assim Xcalc Xcrit 008 01010 portanto Aceitar H0 Probabilidade ou Área valorP Zcalc 100 tabela z0341345 Assim a probabilidade ou o valorP 05 0341345 01587 Então ValorP Valorcrit 01587 002 portanto Aceitar H0 pois a área calculada é maior do que a área de incerteza CONCLUSÃO Testes de Hipóteses Exemplo 1 Solução 01010 02 0 0 06 2 05 X X 006 01010 002 Aceitar H0 Rejeitar H0 006 008 01587 006 008 01010 01587 002 03413 Projeto do Milênio das Nações Unidas Os países pertencentes ao G8 o grupo dos oito países de maior poder econômico possuem um produto interno bruto per capita PIB de US 1250 Agora as Nações Unidas declararam que o Projeto do Milênio melhorou de forma substancial a média per capita do PIB nesses países Na verdade uma amostra aleatória de 49 países fora do G8 revelou um PIB médio per capita de US 1400 com um desvio padrão de US 700 O Projeto do Milênio aumentou o PIB médio per capita dos países fora do G8 Considere o nível de 10 A partir de uma perspectiva estatística perguntamos se US 1400 como média é estatística e significativamente maior que US 1250 Testes de Hipóteses Exemplo 2 THURMAN P W p 100 e 101 2012 Testes de Hipóteses Exemplo 2 A Solução H0 Projeto do Milênio não aumentou o PIB médio per capita µ países não G8 US 1250 H1 Projeto do Milênio aumentou o PIB médio per capita µ países não G8 US 1250 n 49 países σ 700 α 10 1 α 90 90 50 40 CONCLUSÃO Nesse caso como 15 128 rejeitamos a hipótese nula H0 e acreditamos que o Projeto do Milênio de fato aumentou significativamente a média do PIB per capita 1 28 0 40 crit tabela Z z Aceitar H0 Rejeitar H0 µ 0 50 40 10 Z𝑐𝑎𝑙𝑐 Probabilidade ou Área valorP Zcalc 150 tabela z 0433193 Assim a probabilidade ou o valorP 05 0433193 0066807 Então pvalor α 668 10 CONCLUSÃO portanto Rejeitar H0 pois a área calculada é maior do que a área de incerteza Testes de Hipóteses Exemplo 2 Solução pvalor Aceitar H0 Rejeitar H0 0 128 50 40 668 Testes de Hipóteses Exemplo 2 A Solução Valor crítico H0 Projeto do Milênio não aumentou o PIB médio per capita µ países não G8 US 1250 H1 Projeto do Milênio aumentou o PIB médio per capita µ países não G8 US 1250 n 49 países σ 700 α 10 1 α 90 90 50 40 CONCLUSÃO Nesse caso como o valor de teste de US 1400 é maior que US 1378 rejeitamos a hipótese nula H0 e acreditamos que o Projeto do Milênio de fato aumentou significativamente a média do PIB per capita 1 28 0 40 crit tabela Z z Aceitar H0 Rejeitar H0 1378 28100 1250 1 49 700 1250 1 28 X X X µ 1250 50 40 10 Testes de Hipóteses Exemplo 2 A Solução H0 Projeto do Milênio não aumentou o PIB médio per capita µ países não G8 US 1250 H1 Projeto do Milênio aumentou o PIB médio per capita µ países não G8 US 1250 n 49 países σ 700 α 10 1 α 90 CONCLUSÃO Nesse caso como 15 164 aceitamos a hipótese nula H0 e acreditamos que o Projeto do Milênio pode não ter aumentado significativamente a média do PIB per capita 164 0 164 Z𝑐𝑎𝑙𝑐 1 64 0 45 2 0 90 Z tabela z Aceitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 5 5 45 45 Testes de Hipóteses Exemplo 2 B Solução Valor crítico H0 µ países não G8 US 1250 H1 µ países não G8 US 1250 n 49 países σ 700 α 10 1 α 90 CONCLUSÃO Nesse caso como o valor de teste de US 1400 não está em nenhuma das caudas não rejeitamos a hipótese nula H0 Assim parece que o Projeto Milênio não criou um PIB per capita médio estatística e significativamente diferente 1 64 0 45 2 0 90 Z tabela z 1414 49 700 1250 1 64 X X µ 1250 Aceitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 1086 49 700 1250 1 64 X X 5 5 45 45 a r np Testes de Hipoteses Exemplo 3 FEI Uma dinamica com candidatos a uma vaga no setor de producao propos a construcao de bancadas com O8m de altura Os administradores que estavam acompanhando o processo perceberam que os objetos tinham tamanhos diferentes Para tanto escolheram uma amostra de 8 bancadas e verificaram que a média do tamanho das mesmas é de 087m com desvio padrao de 0010m Testar ao nivel de 5 Vamos testar as hipoteses utilizando tStudent porque n 30 Hy pw085 H p085 teste bilateral 087085 a5 duas caldas 1a95 C 010 566 8 o0257 2365 Como 571 2365 entao Rejeitar HO Vamos testar as hipóteses utilizando X critico H0 µ 085 H1 µ 085 teste bilateral α 5 duas caldas 1 α 95 t00257 2365 Como 571 2365 então rejeitase Ho Xcrit 08584 Xcrit 08416 Como 087 08584 então rejeitase Ho Testes de Hipóteses Exemplo 3 Testes de Hipóteses Exemplo 4 A Um fabricante afirma que seus pneus radiais suportam em média uma quilometragem com mais de 40000 km STEVENSON W J p235236 1981 A Para testar essa afirmação um comprador selecionou uma amostra de 49 pneus Os testes nessa amostra forneceram uma média de 38000 km e desviopadrão de 3500 km Se o comprador testar essa afirmação ao nível de significância de 5 qual será sua conclusão Vamos testar as hipóteses H0 µ 40000 H1 µ 40000 α 5 duas caldas 1 α 95 CONCLUSÃO Como 400 excede o valor crítico inferior Z 196 o fabricante rejeitará H0 e concluirá que a vida média é inferior a 40000 Km ou seja aceitará H1 196 0 475 2 0 95 Z z tabela 00 4 49 3500 40000 38000 Z Z 4 na tabela é z 0499968 pvalor 05 0499968 0000032 00032 25 então Rejeita H0 Ou 00032 2 00064 5 então Rejeita H0 Testes de Hipóteses Exemplo 4 A pvalor 00 4 49 3500 40000 38000 Z Zcrit 196 então Como 38000 é menor que 39020 e está na área de rejeição logo Rejeita H0 Testes de Hipóteses Exemplo 4 A Valores Críticos e Valores Reais Testes de Hipóteses Exemplo 4 B B Suponhamos uma amostra de 36 observações com média 41200 Km e desvio padrão amostral 3000 Km Vamos testar as hipóteses H0 µ 40000 1 H1 µ 40000 2 H1 µ 40000 3 H1 µ 40000 Para 1 e 2 unilateral α 5 1 α 95 95 50 45 Z 164 Para 3 Bilateral α 5 soma das duas caldas 40 2 36 3000 40000 41200 calc Z 196 0 475 2 0 95 crit tabela Z z CONCLUSÕES H0 µ 40000 1 H1 µ 40000 Como 240 164 o fabricante aceitará H0 e concluirá que a vida média é igual ou superior a 40000 Km 2 H1 µ 40000 Como 240 164 o fabricante rejeitará H0 3 H1 µ 40000 Como 240 196 o fabricante rejeitará H0 Testes de Hipóteses Exemplo 4 B Aceitar H0 Rejeitar H0 Aceitar H0 Rejeitar H0 Aceitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 164 164 196 196 240 240 240 re no Testes de Hipoteses Exercicio 1 Unites de jornal sugere que 40 dos eleitores com idade de 18 a 21 anos deixaram de votar na ultima eleicdo geral Suponhamos que numa amostra de oito eleitores daquele grupo de idade dois deixaram de votar Ao nivel de 001 teste Resolugao p 025 Vamos testar as hipoteses H p04 1H p04 025 04 2H p04 tealc 08660 10406 3H p04 8 Para 1 Bilateral a 1 tabela soma das duascaldas tcrit ta tooos7 3499 2 tabela Para 2 e 3 unilateral a 1 1a99 9 tert tagi to017 CONCLUSÕES H0 µ 40000 1 H1 p 04 Como 3499 087 3499 o artigo aceitará H0 e concluirá que possivelmente 40 deixou de votar 2 H1 p 04 Como 087 2998 o artigo aceitará H0 3 H1 p 04 Como 087 2998 o artigo aceitará H0 Testes de Hipóteses Exercício 1 Aceitar H0 Rejeitar H0 Aceitar H0 Rejeitar H0 Aceitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 2998 2998 3499 3499 087 087 087 re no Testes de Hipoteses Exercicio 1 Um artigo de jornal sugere que 40 dos eleitores com idade de 18 a 21 anos deixaram de votar na ultima eleicdo geral Suponhamos que numa amostra de oito eleitores daquele grupo de idade dois deixaram de votar Ao nivel de 001 teste Resolucao p 025 Vamos testar as hipoteses H p04 1H p04 025 04 2H p04 Lealc 08660 10406 3H p04 8 Para 1 Bilateral a 5 099 tabela soma das duas caldas 4 7 0495 Zerit 258 Para 2 e 3 unilateral a 1 1 a 99 99 50 49 Zcrit 233 CONCLUSÕES H0 p 04 1 H1 p 04 Como 258 087 258 o artigo aceitará H0 e concluirá que possivelmente 40 deixou de votar 2 H1 p 04 Como 087 233 o artigo aceitará H0 3 H1 p 04 Como 087 233 o artigo aceitará H0 Testes de Hipóteses Exercício 1 com Zcrit Aceitar H0 Rejeitar H0 Aceitar H0 Rejeitar H0 Aceitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 233 233 258 258 087 087 087