Lista 2 - Inferência - Estatística 2 2023-2

LISTA II DE EXERCICIOS DE INFERENCIA Baseado no livro: Nogées de Probabilidades e Estatistica (3° Ed) - EAUSP — Marcos M. Magalhaes e Antdénio Carlos P. de Lima. INTERVALOS DE CONFIANCA Questao 1. Suponha que os comprimentos (em metros) de jacarés adultos de uma certa raga sigam o modelo Normal com média ®@@ desconhecida e variancia de 0,01 metros quadrados. Uma amostra de 10 animais foi sorteada e forneceu média de 1,69 m. Desejamos obter uma estimativa do parametro @®@ com 95% de confianga. Questao 2. A vida média de baterias automotivas de uma certa marca, em meses, esta sendo estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, € possivel admitir que a vida dessas_ baterias segue a distribuicao Normal com desvio-padrao de 4,5 meses. De qual tamanho devera ser a amostra para que a amplitude do intervalo de 90% de confianga seja de 3 meses? Questao 3. Pretende-se estimar a proporcgao de cura, através do uso de um novo medicamento em doentes contaminados com cercaria, que ¢ uma das formas do verme da esquistossomose. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento numa amostra de 200 pacientes com a doenga escolhidos ao acaso e observou-se que 160 deles foram curados. Qual é 0 intervalo de 95% da propor¢ao na popula¢aéo? Questao 4. Por analogia a produtos similares, 0 tempo de reacao de um novo medicamento em minutos pode ser considerado como tendo uma distribuigaéo Normal com desvio-padrao de 2 minutos. Vinte pacientes foram sorteados, receberam o medicamento e tiveram o seu tempo de reacgao anotado. Os dados apresentados foram os seguintes (em minutos): 2,9 3,4 3,5 4,1 4,6 4,7 4,5 3,8 5,3 4,9 4,8 5,7 5,8 5,0 3,4 5,9 6,3 4,6 5,5 6,2 . Obtenha um intervalo de confianga para o tempo média de reagao, use Y = 96%. Questao 5. Uma amostra aleatoria de 25 observacdes da N(®@@;16) foi coletada e forneceu uma média amostral de 8. Obtenha o intervalo de confianga de 85%, 90%, 95% e 99%. Comente as diferengas encontradas. Questao 6. Sera coletada uma amostra de uma popula¢ao Normal com desvio-padrao igual a 9. Para uma confianca de 90%, determine a amplitude do intervalo de confianga para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 ou 100. Comente as diferengas. Questao 7. Numa pesquisa com 50 eleitores 0 candidato José obteve 0,35 da preferéncia dos eleitores. Construa os intervalos de 94% de confianga, otimista e conservador, para a proporcaéo de votos a serem recebidos pelo candidato mencionado, supondo que a eleicdo fosse nesse momento. Questao 8. A duracgao do tonner de uma maquina fotocopiadora pode ser modelada como uma Normal com média 15 e desvio-padrao 12 (em milhares de copia). para uma amostra aleatoria de 12 maquinas fotocopiadoras a dura¢ao do tonner sera observada e pergunta se a probabilidade de, em média, durar: Item 1. Menos de 16 mil copias? Item b. Mais de 14 mil copias? Item c. Entre 12 e 14 mil cépias? Questao 9. Desejamos coletar uma amostra probabilistica de uma Variavel Aleatéria N(@@;30). Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com probabilidade de 0,92, a média amostral nao difira da verdadeira populacional por mais de 3 unidades? Questao 10. O intervalo [35,21;35,99] é 0 intervalo de 95% de confian¢a da média @@ de uma distribuigéo Normal com desvio-padrao igual a 2. Item 1. Qual o valor da média encontrada nesta amostra? Item 2. Se utilizassemos a mesma amostra, mas com confian¢a de 90%, qual seria o novo intervalo de confian¢a? Questao 11. Num grupo de pacientes, o nivel de colesterol (em mg/ml) é uma variavel aleatoria N(@@;64). Item 1. Para uma amostra de 46 individuos que forneceu nivel médio de colesterol de 120 mg/ml, construa o intervalo de 88% de confianga. Item 2. Se vocé desejasse diminuir a amplitude do intervalo encontrado no Item 1, quais seriam as suas alternativas? Questao 12. A analise de ocorréncia de um mineral numa regiao ¢ uma variavel aleatoria com média 4 e variancia 3/2. A unidade de medida é a porcentagem de mineral por unidade de volume. Para uma amostra de tamanho 20: Item 1. Que dizer da distribuigao de oo’ Item 2. Que tamanho deveria ter a amostra para que P(3,5 < @®@ S 4,5) = 0,95? Solucgao de alguns exercicios da lista Questao 1. Suponha que os comprimentos (em metros) de jacarés adultos de uma certa raga sigam o modelo Normal com média ®@@ desconhecida e variancia de 0,01 metros quadrados. Uma amostra de 10 animais foi sorteada e forneceu média de 1,69 m. Desejamos obter uma estimativa do parametro @®@ com 95% de confianga. Solucao: X: Comprimento de jacarés adultos (em metro). X ~N(@@;0,01) Uma amostra, com n = 10, forneceu @@ = 1,69. Qual ¢ o 1IC(@@;95%) =? temos, nesse caso, o IC dado por: [@® — 9 66/2/99" OO / &@ + 9% 66/2/90" OO /], com @*=0,01e ©0957, = 1,96 pela tabela N(0;1). 0,01 0,01 Logo, [1,69-1,96f 49 /;1,694+1,96/ 49 /]=[1,63; 1,75]. Portanto, IC(@;95%) = [O%, 99900; OO, 96004], isto é, com 95% de confiang¢a, o comprimento médio de jacarés é de 1,63 a 1,75 metros. Questao 2. A vida média de baterias automotivas de uma certa marca, em meses, esta sendo estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, € possivel admitir que a vida dessas_ baterias segue a distribuigdo Normal com desvio-padrao de 4,5 meses. De qual tamanho devera ser a amostra para que a amplitude do intervalo de 90% de confianga seja de 3. meses? Solucao: X: Vida média de baterias automotivas (em meses). X ~N(@@:4,5’) n=? para que a amplitude do IC(@@;90%) = 3? Temos que a amplitude do IC = 20@ = 20494 (90° O@ / =3,com 9% 45= 1,65 pela tabela da N(0;1). )?= [226445 Logo, @@ = [79% 6.00 3|’= 24,2064 (sendo @@ EN, = 25) Portanto, n = 25. Questao 3. Pretende-se estimar a proporc¢aéo de cura, através do uso de um novo medicamento em doentes contaminados com cercaria, que ¢ uma das formas do verme da esquistossomose. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento numa amostra de 200 pacientes escolhidos ao acaso com a doenga e observou-se que 160 deles foram curados. Qual é 0 intervalo de 95% da propor¢ao na popula¢aéo? Solucao: Numa amostra com n = 200 doentes, 160 foram curados com 0 novo medicamento, 160 logo, a proporgao amostral de cura observada é de @@= 200 / = 0,8. O IC(p,95%) & dado por: [OG— Oyo .V°t % eo) OG+ 0G 69 /.V0O ool; com OOo 95/, = 1,96, ou por [O@— 9 66 /2V 100! OG+ $66 /2V s00l- 0,8.0,2 0,8.0,2 Logo, [0,8 — 1,96 200 /;9,8 + 1,96/ 200 / | = [0,745; 0,855], ou, [0,8 — 1,96v? 4.2007 0,8 + 1,96v' 4.200] = [0,731; 0,869]. Portanto, o IC(@@;95%) otimista = [O%, 99909000; OO, 0900000] co0 IC(@@;95%) conservador = [O%, 996909000; 9%, 99000]. A capacidade de cura do novo medicamento nao é inferior a 73,1% da populacao contaminada por cercaria. Questao 12. A analise de ocorréncia de um mineral numa regiao ¢ uma variavel aleatoria com média 4 e variancia 3/2. A unidade de medida é a porcentagem de mineral por unidade de volume. Para uma amostra de tamanho 20: Solucao: X: Percentual de minério na regiao (ocorréncia) (em % do minério por unidade de volume). X ~? (so temos que E(X) = 4 e Var(X) = 3/2). Para uma amostra de n = 20, Item 1. O que dizer sobre a distribui¢ao de oo’ Se X é Normalmente distribuida, @@ ~ N(4:3/40), ¢ se X nao ¢ Normal, nao seria adequado aproximar @® N(4;3/40) utilizando-se do TCL uma vez que n= 206 considerado pequeno (a aproximacao nfo seria boa). Portanto, @@ ~ N(433/40). Item 2. Que tamanho deveria ter a amostra para que P(3,5 < @®@ S 4,5) = 0,95? Considerando X ~ N(4;3/2), entaio, 0@ ~ N(4;3/2n) - ) 0,95 = PB,5 < @@ <4,5)=@@ (3.5 — 4-V3/20@ /<0@<(45- 23/200 /~ oo (79? V3)VO@ < oo < (05%? V3) VO@) = 9O(— 0055 < OO < O44) =2.9O(0 < OO < OO,,) = 0,95/2 = 0,475 = @O(0 < @@ < 4) = usando a tabela N(0;1), @@ oe = 1,96 = ("7 v3). VO@ = OO= 1,962 25%? V3) 2 = 25. = 23,0496. a= (296v3 05V2) Como @@ EN, n Portanto, n = 25.