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Administração Financeira
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1 Pesquisa Operacional Solução Gráfica de PL José Agostinho Baitello EXEMPLO 1 Função Objetivo MAX Z 5 x1 3 x2 Restrições SA Restr1 3 x1 5 x2 15 Restr2 5 x1 2 x2 10 Não Negatividade x1 x2 0 1 2 2 EXEMPLO 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 3 x1 5 x2 15 X1 X2 A 0 3 B 5 0 SA Restr1 3x1 5x2 15 Restr2 5x1 2x2 10 X1 x2 0 Equação Restr2 5 x1 2 x2 10 X1 X2 C 0 5 D 2 0 Max z 5x1 3x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 5x1 3x2 15 X1 X2 E 0 5 F 3 0 EXEMPLO 1 5 x1 2 x2 10 3 x1 5 x2 15 Z 5 x1 3 x2 15 valor inicial arbitrário para determinar a INCLINAÇÃO de Z Coordenadas A1053 2363 Solução Ótima Z1237 1053 2363 3 4 3 EXEMPLO 2 Função Objetivo MAX Z 25 x1 x2 Restrições SA Restr1 3 x1 5 x2 15 Restr2 5 x1 2 x2 10 Não Negatividade x1 x2 0 EXEMPLO 2 5 6 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 3 x1 5 x2 15 X1 X2 A 0 3 B 5 0 SA Restr1 3x1 5x2 15 Restr2 5x1 2x2 10 X1 x2 0 Equação Restr2 5 x1 2 x2 10 X1 X2 C 0 5 D 2 0 Max z 25 x1 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 25 x1 x2 75 X1 X2 E 0 75 F 3 0 EXEMPLO 2 5x1 2x2 10 3x1 5x2 15 B Todos os pontos de AB são soluções com o mesmo valor de Z Solução Ótima ZMAX 5 1053 2363 A Todos os pontos do segmento AB são ÓTIMOS O LINDO aponta o primeiro dos vértices que encontrar no caso o vértice A EXEMPLO 3 Função Objetivo MIN Z 2 x1 3 x2 Restrições SA Restr1 x1 x2 4 Restr2 6x1 2x2 8 Restr3 x1 5x2 4 Restr4 x1 3 Restr5 x2 3 Não Negatividade x1 x2 0 7 8 5 EXEMPLO 3 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 x1 x2 4 X1 X2 A 0 4 B 4 0 SA Restr1 x1 x2 4 Restr2 6x1 2x2 8 Restr3 x1 5x2 4 Restr4 x1 3 Restr5 x2 3 X1 x2 0 Equação Restr3 x1 5x2 4 X1 X2 E 0 08 F 4 0 Equação Restr4 x1 3 X1 X2 G 3 H 3 Equação Restr2 6x1 2x2 8 X1 X2 C 0 4 D 133 0 MIN Z 2 x1 3 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 2X1 3X2 12 X1 X2 K 0 4 L 6 0 Restr5 x2 3 X1 X2 I 3 J 3 EXEMPLO 3 x1 3 x1x2 4 x15x2 4 6 x12x2 8 114 057 9 10 6 EXEMPLO 4 Função Objetivo Max Z 2 x1 2 x2 Restrições SA Restr1 x1 x2 1 Restr2 05x1 x2 2 Não Negatividade x1 x2 0 EXEMPLO 4 11 12 7 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 Restr1 x1 x2 1 X1 X2 A 0 1 B 1 0 SA Restr1 x1 x2 1 Restr2 05x1 x2 2 X1 x2 0 Equação Restr2 05x1 x2 2 X1 X2 C 0 2 D 4 4 MAX Z 2 x1 2 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 2 x1 2 x2 4 X1 X2 E 0 2 F 2 0 EXEMPLO 4 Z 4 X1 x1 x2 1 05x1x2 2 Z INFINITO O que faz o LINDO Declara o modelo unbounded isto é sem uma fronteira que permita uma otimização 13 14 8 EXEMPLO 5 Função Objetivo Max Z x1 2x2 Restrições SA Restr1 x1 x2 1 Restr2 05 x1 x2 2 Não Negatividade x1 x2 0 16 EXEMPLO 5 15 16 9 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 Restr1 x1 x2 1 X1 X2 A 0 1 B 1 0 SA Restr1 x1 x2 1 Restr2 05x1 x2 2 X1 x2 0 Equação Restr2 05x1 x2 2 X1 X2 C 0 2 D 4 4 MAX Z x1 2x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z x1 2x2 6 X1 X2 E 0 3 F 2 4 EXEMPLO 5 x1 x2 1 05x1x2 2 Z 4 ZMax 4 com infinitas combinações x1 x2 sobre a semi reta que começa em B 2 3 Exemplo 5 O que faz o LINDO Encontra o vértice B que é um dos pontos ÓTIMOS e calcula as suas coordenadas Calcula o valor da F obj 17 18 10 EXEMPLO 6 Função Objetivo Max z x1 2x2 Restrições SA Restr1 3x1 2x2 6 Restr2 4x1 5x2 20 Não Negatividade x1 x2 0 O que faz o LINDO Solução infeasible isto é inviável 19 20 11 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 3x1 2x2 6 X1 X2 A 0 3 B 2 0 SA Restr1 3x1 2x2 6 Restr2 4x1 5x2 20 X1 x2 0 Equação Restr2 4x1 5x2 20 X1 X2 C 0 4 D 5 0 Max z x1 2x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z X1 2X2 4 X1 X2 E 0 2 F 4 0 EXEMPLO 6 Sem solução restrições inconsistentes X1 3x1 2x2 6 4x1 5x2 20 EXEMPLO 7 Função Objetivo Max z x1 x2 Restrições SA a x1 x2 0 b 3x1 x2 3 Não Negatividade x1 x2 0 21 22 12 Exemplo 7 Resposta do Lindo Solução infeasible isto é inviável 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 X1 x2 0 X1 X2 A 0 0 B 2 2 SA Restr1 x1 x2 0 Restr2 3x1 x2 3 X1 x2 0 Equação Restr2 3X1 x2 3 X1 X2 C 0 3 D 05 45 Max z x1 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z X1 X2 6 X1 X2 E F EXEMPLO 7 x1 x2 0 b Não tem solução pois quando atende a e b não atende c 3 x1 x2 3 a 23 24 13 EXEMPLO 8 Função Objetivo Min Z 3x1 2x2 Restrições SA Restr1 5x1 x2 10 Restr2 2x1 2x2 12 Restr3 x1 4x2 12 Não Negatividade x1 x2 0 Exemplo 8 Resposta do LINDO 25 26 14 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação Restr1 5x1 x2 10 X1 X2 A 0 10 B 2 0 SA Restr1 5x1 x2 10 Restr2 2x1 2x2 12 Restr3 x1 4x2 12 X1 x2 0 Equação Restr3 x1 4x2 12 X1 X2 E 0 3 F 12 0 Equação Restr2 2x1 2x2 12 X1 X2 C 0 6 D 6 0 MIN Z 3 x1 2 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 3X1 2X2 6 X1 X2 G 0 3 H 2 0 EXEMPLO 8 5 x1 x2 10 2 x1 2 x2 12 ZMin 13 Só se pode determinar o mínimo x1 4x2 12 Se eu quisesse maximizar este problema o LINDO diria Solução unbounded ilimitada isto é o valor do Z máximo seria infinito Exemplo 8 Resposta do LINDO comentários 27 28 15 Exercícios Complementares Exercício 1 Função Objetivo Max Z 5 x1 4 x2 Restrições SA Restr1 6x1 4x2 24 Restr2 x12x2 6 Restr3 x1 x2 1 Restr4 x2 2 Não Negatividade x1 x2 0 29 30 16 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação Restr1 6x1 4x2 24 X1 X2 A 6 3 B 4 0 Equação Restr3 x1 x2 1 X1 X2 E 0 1 F 1 0 EquaçãoRestr4 x2 2 X1 X2 G 4 H 4 Equação Restr2 x12x2 6 X1 X2 C 0 3 D 6 0 Modelo Max Z 5 x1 4 x2 SA 6x1 4x2 24 x12x2 6 x1 x2 1 x2 2 x1 x2 0 Equação Z Z 5x1 4x2 20 X1 X2 K 0 5 L 4 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação x2 2 Exercício 2 Função Objetivo Min Z 03 x1 09 x2 Restrições SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 Não Negatividade x1 x2 0 31 32 17 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 X1 X2 Equação x1 x2 800 X1 X2 A 0 800 B 800 0 Equação 003x1 001x2 20 X1 X2 E 700 100 F 900 700 Equação 021x1 030 x2 0 X1 X2 C 0 0 D 600 420 Modelo Min Z 03 x1 09 x2 SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 x1 x2 0 Equação Z 03x109x2270 X1 X2 G 0 300 H 900 0 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 2 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 X1 X2 Equação x1 x2 800 X1 X2 A 0 800 B 800 0 Equação 003x1 001x2 20 X1 X2 E 700 100 F 900 700 Equação X1 X2 G H Equação 021x1 030 x2 0 X1 X2 C 0 0 D 600 420 Modelo Min Z 03 x1 09 x2 SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 x1 x2 0 Equação Z 03x109x2270 X1 X2 K 0 300 L 900 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 2 33 34 18 Exercício 1 Função Objetivo Max Z 5 x1 4 x2 Restrições SA Restr1 6x1 4x2 24 Restr2 x12x2 6 Restr3 x1 x2 1 Restr4 x2 2 Não Negatividade x1 x2 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação Restr1 6x1 4x2 24 X1 X2 A 6 3 B 4 0 Equação Restr3 x1 x2 1 X1 X2 E 0 1 F 1 0 EquaçãoRestr4 x2 2 X1 X2 G 4 H 4 Equação Restr2 x12x2 6 X1 X2 C 0 3 D 6 0 Modelo Max Z 5 x1 4 x2 SA 6x1 4x2 24 x12x2 6 x1 x2 1 x2 2 x1 x2 0 Equação Z Z 5x1 4x2 20 X1 X2 K 0 5 L 4 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação x2 2 35 36 19 Exercício 2 Função Objetivo Min Z 03 x1 09 x2 Restrições SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 Não Negatividade x1 x2 0 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 X1 X2 Equação x1 x2 800 X1 X2 A 0 800 B 800 0 Equação 003x1 001x2 20 X1 X2 E 700 100 F 900 700 Equação 021x1 030 x2 0 X1 X2 C 0 0 D 600 420 Modelo Min Z 03 x1 09 x2 SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 x1 x2 0 Equação Z 03x109x2270 X1 X2 G 0 300 H 900 0 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 2 37 38 20 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 X1 X2 Equação x1 x2 800 X1 X2 A 0 800 B 800 0 Equação 003x1 001x2 20 X1 X2 E 700 100 F 900 700 Equação X1 X2 G H Equação 021x1 030 x2 0 X1 X2 C 0 0 D 600 420 Modelo Min Z 03 x1 09 x2 SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 x1 x2 0 Equação Z 03x109x2270 X1 X2 K 0 300 L 900 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 2 Exercício 3 Função Objetivo MIN Z x1 x2 Restrições SA 8x16x2 24 4x16x2 12 2x2 4 Não Negatividade x1 x2 0 39 40 21 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 8x16x2 24 X1 X2 A 0 4 B 3 0 Equação 2x2 4 X1 X2 E F Equação 4x16x2 12 X1 X2 C 0 2 D 3 0 Equação Z Z x1 x2 3 X1 X2 G H Modelo Min Z x1 x2 SA 8x16x2 24 4x16x2 12 2x2 4 x1 x2 0 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 3 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 8x16x2 24 X1 X2 A 0 4 B 3 0 Equação 2x2 4 X1 X2 E F Equação 4x16x2 12 X1 X2 C 0 2 D 3 0 Equação Z Z x1 x2 3 X1 X2 G H 2x2 4 Modelo Min Z x1 x2 SA 8x16x2 24 4x16x2 12 2x2 4 x1 x2 0 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 3 41 42 22 Exercício 4 Função Objetivo Max Z x1 2x2 Restrições SA 4x1 3x2 3 1x1 1x2 3 Não Negatividade x1 x2 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 4x1 3x2 3 X1 X2 A 0 1 B 3 5 Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação 1x1 1x2 3 X1 X2 C 6 3 D 3 0 Modelo Max Z x1 2x2 SA 4x1 3x2 3 1x1 1x2 3 x1 x2 0 Equação Z Z x1 2x2 2 X1 X2 K 0 1 L 2 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 4 43 44 23 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 4x1 3x2 3 X1 X2 A 0 1 B 3 5 Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação 1x1 1x2 3 X1 X2 C 6 3 D 3 0 Modelo Max Z x1 2x2 SA 4x1 3x2 3 1x1 1x2 3 x1 x2 0 Equação Z Z x1 2x2 2 X1 X2 K 0 1 L 2 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação x2 2 Exercício 4 Exercício 5 Função Objetivo Min Z 2x1 3x2 Restrições SA x1 x2 4 6x1 2x2 8 x1 5x2 4 5x1 3 x2 3 Não Negatividade x1 x2 0 45 46 24 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação x1 x2 4 X1 X2 A 0 4 B 4 0 Equação x1 5x2 4 X1 X2 E 1 1 F 4 0 Equação 5x1 3 X1 X2 G 06 H 06 Equação 6x1 2x2 8 X1 X2 C 0 4 D 1 1 Modelo Min Z 2x1 3x2 SA x1 x2 4 6x1 2x2 8 x1 5x2 4 5x1 3 x2 3 x1 x2 0 Equação Z Z2x1 3x2 6 X1 X2 K 3 0 L 0 2 Equação x2 3 X1 X2 I 3 J 3 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação x2 3 Exercício 5 Exercício 6 Função Objetivo Max Z x1 2x2 Restrições SA 3 x1 2 x2 6 4 x1 5 x2 20 Não Negatividade x1 x2 0 47 48 25 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 3 x1 2 x2 6 X1 X2 A 0 3 B 2 0 Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação 4 x1 5 x2 20 X1 X2 C 0 4 D 5 0 Modelo Max Z x1 2x2 SA 3 x1 2 x2 6 4 x1 5 x2 20 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 6 Exercício 7 Função Objetivo Max Z x1 2x2 Restrições SA x1 3x2 9 x1 2x2 0 2 x1 x2 10 2 x1 x2 5 Não Negatividade x1 x2 0 49 50 26 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação x1 3x2 9 X1 X2 A 0 3 B 3 4 Equação 2 x1 x2 10 X1 X2 E 0 10 F 5 0 Equação 2 x1 x2 5 X1 X2 G 0 5 H 25 0 Equação x1 2x2 0 X1 X2 C 0 0 D 2 1 Modelo Max Z x1 2x2 SA x1 3x2 9 x1 2x2 0 2 x1 x2 10 2 x1 x2 5 x1 x2 0 Equação Z Z x1 2x2 6 X1 X2 K 0 3 L 6 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 7 Outros exercícios Com resposta 51 52 27 Solução Ótima x1 2586 x2 2143 Custo 2586 22143 6871 Função Objetivo Min Z x1 2x2 Restrições SA x1 3x2 90 8x1 2x2 160 3x1 2x2 120 x2 70 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 8 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Min Z x1 2x2 SA x1 3x2 90 8x1 2x2 160 3x1 2x2 120 x2 70 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 8 53 54 28 Solução Ótima x1 2 x2 3 Lucro 42 63 26 Função Objetivo Max Z 4x1 6x2 Restrições SA x1 2 x2 8 6 x1 4x2 24 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z 4x1 6x2 SA x1 2 x2 8 6 x1 4x2 24 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 9 55 56 29 Solução Ótima x1 286 x2 171 Lucro 4286 6171 217 Função Objetivo Max Z 4x1 6x2 Restrições SA x1 3x2 8 6x1 4x2 24 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z 4x1 6x2 SA x1 3x2 8 6x1 4x2 24 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 10 X2 57 58 30 Solução Ótima x1 33 13 x2 33 13 Lucro 33 13 33 13 66 23 Função Objetivo Max Z x1 x2 Restrições SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z x1 x2 SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 11 59 60 31 Solução Ótima x1 50 x2 0 Lucro 350 150 Função Objetivo Max Z 3x1 x2 Restrições SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z 3x1 x2 SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 12 61 62 32 Solução Ótima x1 33 13 x2 33 13 Lucro 12533 13 33 13 75 Função Objetivo Max Z 125 x1 x2 Restrições SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 13 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z 125 x1 x2 SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 13 63 64
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1 Pesquisa Operacional Solução Gráfica de PL José Agostinho Baitello EXEMPLO 1 Função Objetivo MAX Z 5 x1 3 x2 Restrições SA Restr1 3 x1 5 x2 15 Restr2 5 x1 2 x2 10 Não Negatividade x1 x2 0 1 2 2 EXEMPLO 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 3 x1 5 x2 15 X1 X2 A 0 3 B 5 0 SA Restr1 3x1 5x2 15 Restr2 5x1 2x2 10 X1 x2 0 Equação Restr2 5 x1 2 x2 10 X1 X2 C 0 5 D 2 0 Max z 5x1 3x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 5x1 3x2 15 X1 X2 E 0 5 F 3 0 EXEMPLO 1 5 x1 2 x2 10 3 x1 5 x2 15 Z 5 x1 3 x2 15 valor inicial arbitrário para determinar a INCLINAÇÃO de Z Coordenadas A1053 2363 Solução Ótima Z1237 1053 2363 3 4 3 EXEMPLO 2 Função Objetivo MAX Z 25 x1 x2 Restrições SA Restr1 3 x1 5 x2 15 Restr2 5 x1 2 x2 10 Não Negatividade x1 x2 0 EXEMPLO 2 5 6 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 3 x1 5 x2 15 X1 X2 A 0 3 B 5 0 SA Restr1 3x1 5x2 15 Restr2 5x1 2x2 10 X1 x2 0 Equação Restr2 5 x1 2 x2 10 X1 X2 C 0 5 D 2 0 Max z 25 x1 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 25 x1 x2 75 X1 X2 E 0 75 F 3 0 EXEMPLO 2 5x1 2x2 10 3x1 5x2 15 B Todos os pontos de AB são soluções com o mesmo valor de Z Solução Ótima ZMAX 5 1053 2363 A Todos os pontos do segmento AB são ÓTIMOS O LINDO aponta o primeiro dos vértices que encontrar no caso o vértice A EXEMPLO 3 Função Objetivo MIN Z 2 x1 3 x2 Restrições SA Restr1 x1 x2 4 Restr2 6x1 2x2 8 Restr3 x1 5x2 4 Restr4 x1 3 Restr5 x2 3 Não Negatividade x1 x2 0 7 8 5 EXEMPLO 3 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 x1 x2 4 X1 X2 A 0 4 B 4 0 SA Restr1 x1 x2 4 Restr2 6x1 2x2 8 Restr3 x1 5x2 4 Restr4 x1 3 Restr5 x2 3 X1 x2 0 Equação Restr3 x1 5x2 4 X1 X2 E 0 08 F 4 0 Equação Restr4 x1 3 X1 X2 G 3 H 3 Equação Restr2 6x1 2x2 8 X1 X2 C 0 4 D 133 0 MIN Z 2 x1 3 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 2X1 3X2 12 X1 X2 K 0 4 L 6 0 Restr5 x2 3 X1 X2 I 3 J 3 EXEMPLO 3 x1 3 x1x2 4 x15x2 4 6 x12x2 8 114 057 9 10 6 EXEMPLO 4 Função Objetivo Max Z 2 x1 2 x2 Restrições SA Restr1 x1 x2 1 Restr2 05x1 x2 2 Não Negatividade x1 x2 0 EXEMPLO 4 11 12 7 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 Restr1 x1 x2 1 X1 X2 A 0 1 B 1 0 SA Restr1 x1 x2 1 Restr2 05x1 x2 2 X1 x2 0 Equação Restr2 05x1 x2 2 X1 X2 C 0 2 D 4 4 MAX Z 2 x1 2 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 2 x1 2 x2 4 X1 X2 E 0 2 F 2 0 EXEMPLO 4 Z 4 X1 x1 x2 1 05x1x2 2 Z INFINITO O que faz o LINDO Declara o modelo unbounded isto é sem uma fronteira que permita uma otimização 13 14 8 EXEMPLO 5 Função Objetivo Max Z x1 2x2 Restrições SA Restr1 x1 x2 1 Restr2 05 x1 x2 2 Não Negatividade x1 x2 0 16 EXEMPLO 5 15 16 9 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 Restr1 x1 x2 1 X1 X2 A 0 1 B 1 0 SA Restr1 x1 x2 1 Restr2 05x1 x2 2 X1 x2 0 Equação Restr2 05x1 x2 2 X1 X2 C 0 2 D 4 4 MAX Z x1 2x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z x1 2x2 6 X1 X2 E 0 3 F 2 4 EXEMPLO 5 x1 x2 1 05x1x2 2 Z 4 ZMax 4 com infinitas combinações x1 x2 sobre a semi reta que começa em B 2 3 Exemplo 5 O que faz o LINDO Encontra o vértice B que é um dos pontos ÓTIMOS e calcula as suas coordenadas Calcula o valor da F obj 17 18 10 EXEMPLO 6 Função Objetivo Max z x1 2x2 Restrições SA Restr1 3x1 2x2 6 Restr2 4x1 5x2 20 Não Negatividade x1 x2 0 O que faz o LINDO Solução infeasible isto é inviável 19 20 11 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 3x1 2x2 6 X1 X2 A 0 3 B 2 0 SA Restr1 3x1 2x2 6 Restr2 4x1 5x2 20 X1 x2 0 Equação Restr2 4x1 5x2 20 X1 X2 C 0 4 D 5 0 Max z x1 2x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z X1 2X2 4 X1 X2 E 0 2 F 4 0 EXEMPLO 6 Sem solução restrições inconsistentes X1 3x1 2x2 6 4x1 5x2 20 EXEMPLO 7 Função Objetivo Max z x1 x2 Restrições SA a x1 x2 0 b 3x1 x2 3 Não Negatividade x1 x2 0 21 22 12 Exemplo 7 Resposta do Lindo Solução infeasible isto é inviável 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 X1 X2 Equação Restr1 X1 x2 0 X1 X2 A 0 0 B 2 2 SA Restr1 x1 x2 0 Restr2 3x1 x2 3 X1 x2 0 Equação Restr2 3X1 x2 3 X1 X2 C 0 3 D 05 45 Max z x1 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z X1 X2 6 X1 X2 E F EXEMPLO 7 x1 x2 0 b Não tem solução pois quando atende a e b não atende c 3 x1 x2 3 a 23 24 13 EXEMPLO 8 Função Objetivo Min Z 3x1 2x2 Restrições SA Restr1 5x1 x2 10 Restr2 2x1 2x2 12 Restr3 x1 4x2 12 Não Negatividade x1 x2 0 Exemplo 8 Resposta do LINDO 25 26 14 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação Restr1 5x1 x2 10 X1 X2 A 0 10 B 2 0 SA Restr1 5x1 x2 10 Restr2 2x1 2x2 12 Restr3 x1 4x2 12 X1 x2 0 Equação Restr3 x1 4x2 12 X1 X2 E 0 3 F 12 0 Equação Restr2 2x1 2x2 12 X1 X2 C 0 6 D 6 0 MIN Z 3 x1 2 x2 INCLINAÇÃO DA RETA Z 3X1 2X2 6 X1 X2 G 0 3 H 2 0 EXEMPLO 8 5 x1 x2 10 2 x1 2 x2 12 ZMin 13 Só se pode determinar o mínimo x1 4x2 12 Se eu quisesse maximizar este problema o LINDO diria Solução unbounded ilimitada isto é o valor do Z máximo seria infinito Exemplo 8 Resposta do LINDO comentários 27 28 15 Exercícios Complementares Exercício 1 Função Objetivo Max Z 5 x1 4 x2 Restrições SA Restr1 6x1 4x2 24 Restr2 x12x2 6 Restr3 x1 x2 1 Restr4 x2 2 Não Negatividade x1 x2 0 29 30 16 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação Restr1 6x1 4x2 24 X1 X2 A 6 3 B 4 0 Equação Restr3 x1 x2 1 X1 X2 E 0 1 F 1 0 EquaçãoRestr4 x2 2 X1 X2 G 4 H 4 Equação Restr2 x12x2 6 X1 X2 C 0 3 D 6 0 Modelo Max Z 5 x1 4 x2 SA 6x1 4x2 24 x12x2 6 x1 x2 1 x2 2 x1 x2 0 Equação Z Z 5x1 4x2 20 X1 X2 K 0 5 L 4 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação x2 2 Exercício 2 Função Objetivo Min Z 03 x1 09 x2 Restrições SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 Não Negatividade x1 x2 0 31 32 17 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 X1 X2 Equação x1 x2 800 X1 X2 A 0 800 B 800 0 Equação 003x1 001x2 20 X1 X2 E 700 100 F 900 700 Equação 021x1 030 x2 0 X1 X2 C 0 0 D 600 420 Modelo Min Z 03 x1 09 x2 SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 x1 x2 0 Equação Z 03x109x2270 X1 X2 G 0 300 H 900 0 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 2 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 X1 X2 Equação x1 x2 800 X1 X2 A 0 800 B 800 0 Equação 003x1 001x2 20 X1 X2 E 700 100 F 900 700 Equação X1 X2 G H Equação 021x1 030 x2 0 X1 X2 C 0 0 D 600 420 Modelo Min Z 03 x1 09 x2 SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 x1 x2 0 Equação Z 03x109x2270 X1 X2 K 0 300 L 900 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 2 33 34 18 Exercício 1 Função Objetivo Max Z 5 x1 4 x2 Restrições SA Restr1 6x1 4x2 24 Restr2 x12x2 6 Restr3 x1 x2 1 Restr4 x2 2 Não Negatividade x1 x2 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação Restr1 6x1 4x2 24 X1 X2 A 6 3 B 4 0 Equação Restr3 x1 x2 1 X1 X2 E 0 1 F 1 0 EquaçãoRestr4 x2 2 X1 X2 G 4 H 4 Equação Restr2 x12x2 6 X1 X2 C 0 3 D 6 0 Modelo Max Z 5 x1 4 x2 SA 6x1 4x2 24 x12x2 6 x1 x2 1 x2 2 x1 x2 0 Equação Z Z 5x1 4x2 20 X1 X2 K 0 5 L 4 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação x2 2 35 36 19 Exercício 2 Função Objetivo Min Z 03 x1 09 x2 Restrições SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 Não Negatividade x1 x2 0 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 X1 X2 Equação x1 x2 800 X1 X2 A 0 800 B 800 0 Equação 003x1 001x2 20 X1 X2 E 700 100 F 900 700 Equação 021x1 030 x2 0 X1 X2 C 0 0 D 600 420 Modelo Min Z 03 x1 09 x2 SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 x1 x2 0 Equação Z 03x109x2270 X1 X2 G 0 300 H 900 0 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 2 37 38 20 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 X1 X2 Equação x1 x2 800 X1 X2 A 0 800 B 800 0 Equação 003x1 001x2 20 X1 X2 E 700 100 F 900 700 Equação X1 X2 G H Equação 021x1 030 x2 0 X1 X2 C 0 0 D 600 420 Modelo Min Z 03 x1 09 x2 SA x1 x2 800 021x1 030 x2 0 003x1 001x2 20 x1 x2 0 Equação Z 03x109x2270 X1 X2 K 0 300 L 900 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 2 Exercício 3 Função Objetivo MIN Z x1 x2 Restrições SA 8x16x2 24 4x16x2 12 2x2 4 Não Negatividade x1 x2 0 39 40 21 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 8x16x2 24 X1 X2 A 0 4 B 3 0 Equação 2x2 4 X1 X2 E F Equação 4x16x2 12 X1 X2 C 0 2 D 3 0 Equação Z Z x1 x2 3 X1 X2 G H Modelo Min Z x1 x2 SA 8x16x2 24 4x16x2 12 2x2 4 x1 x2 0 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 3 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 8x16x2 24 X1 X2 A 0 4 B 3 0 Equação 2x2 4 X1 X2 E F Equação 4x16x2 12 X1 X2 C 0 2 D 3 0 Equação Z Z x1 x2 3 X1 X2 G H 2x2 4 Modelo Min Z x1 x2 SA 8x16x2 24 4x16x2 12 2x2 4 x1 x2 0 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 3 41 42 22 Exercício 4 Função Objetivo Max Z x1 2x2 Restrições SA 4x1 3x2 3 1x1 1x2 3 Não Negatividade x1 x2 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 4x1 3x2 3 X1 X2 A 0 1 B 3 5 Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação 1x1 1x2 3 X1 X2 C 6 3 D 3 0 Modelo Max Z x1 2x2 SA 4x1 3x2 3 1x1 1x2 3 x1 x2 0 Equação Z Z x1 2x2 2 X1 X2 K 0 1 L 2 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 4 43 44 23 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 4x1 3x2 3 X1 X2 A 0 1 B 3 5 Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação 1x1 1x2 3 X1 X2 C 6 3 D 3 0 Modelo Max Z x1 2x2 SA 4x1 3x2 3 1x1 1x2 3 x1 x2 0 Equação Z Z x1 2x2 2 X1 X2 K 0 1 L 2 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação x2 2 Exercício 4 Exercício 5 Função Objetivo Min Z 2x1 3x2 Restrições SA x1 x2 4 6x1 2x2 8 x1 5x2 4 5x1 3 x2 3 Não Negatividade x1 x2 0 45 46 24 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação x1 x2 4 X1 X2 A 0 4 B 4 0 Equação x1 5x2 4 X1 X2 E 1 1 F 4 0 Equação 5x1 3 X1 X2 G 06 H 06 Equação 6x1 2x2 8 X1 X2 C 0 4 D 1 1 Modelo Min Z 2x1 3x2 SA x1 x2 4 6x1 2x2 8 x1 5x2 4 5x1 3 x2 3 x1 x2 0 Equação Z Z2x1 3x2 6 X1 X2 K 3 0 L 0 2 Equação x2 3 X1 X2 I 3 J 3 Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação x2 3 Exercício 5 Exercício 6 Função Objetivo Max Z x1 2x2 Restrições SA 3 x1 2 x2 6 4 x1 5 x2 20 Não Negatividade x1 x2 0 47 48 25 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação 3 x1 2 x2 6 X1 X2 A 0 3 B 2 0 Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação 4 x1 5 x2 20 X1 X2 C 0 4 D 5 0 Modelo Max Z x1 2x2 SA 3 x1 2 x2 6 4 x1 5 x2 20 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 6 Exercício 7 Função Objetivo Max Z x1 2x2 Restrições SA x1 3x2 9 x1 2x2 0 2 x1 x2 10 2 x1 x2 5 Não Negatividade x1 x2 0 49 50 26 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação x1 3x2 9 X1 X2 A 0 3 B 3 4 Equação 2 x1 x2 10 X1 X2 E 0 10 F 5 0 Equação 2 x1 x2 5 X1 X2 G 0 5 H 25 0 Equação x1 2x2 0 X1 X2 C 0 0 D 2 1 Modelo Max Z x1 2x2 SA x1 3x2 9 x1 2x2 0 2 x1 x2 10 2 x1 x2 5 x1 x2 0 Equação Z Z x1 2x2 6 X1 X2 K 0 3 L 6 0 Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 7 Outros exercícios Com resposta 51 52 27 Solução Ótima x1 2586 x2 2143 Custo 2586 22143 6871 Função Objetivo Min Z x1 2x2 Restrições SA x1 3x2 90 8x1 2x2 160 3x1 2x2 120 x2 70 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 8 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Min Z x1 2x2 SA x1 3x2 90 8x1 2x2 160 3x1 2x2 120 x2 70 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 8 53 54 28 Solução Ótima x1 2 x2 3 Lucro 42 63 26 Função Objetivo Max Z 4x1 6x2 Restrições SA x1 2 x2 8 6 x1 4x2 24 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z 4x1 6x2 SA x1 2 x2 8 6 x1 4x2 24 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 9 55 56 29 Solução Ótima x1 286 x2 171 Lucro 4286 6171 217 Função Objetivo Max Z 4x1 6x2 Restrições SA x1 3x2 8 6x1 4x2 24 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z 4x1 6x2 SA x1 3x2 8 6x1 4x2 24 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 10 X2 57 58 30 Solução Ótima x1 33 13 x2 33 13 Lucro 33 13 33 13 66 23 Função Objetivo Max Z x1 x2 Restrições SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z x1 x2 SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 11 59 60 31 Solução Ótima x1 50 x2 0 Lucro 350 150 Função Objetivo Max Z 3x1 x2 Restrições SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z 3x1 x2 SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 12 61 62 32 Solução Ótima x1 33 13 x2 33 13 Lucro 12533 13 33 13 75 Função Objetivo Max Z 125 x1 x2 Restrições SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 Não Negatividade x1 x2 0 Exercício 13 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 X2 Equação X1 X2 A B Equação X1 X2 E F Equação X1 X2 G H Equação X1 X2 C D Modelo Max Z 125 x1 x2 SA 2x1 x2 100 x1 2x2 100 x1 x2 0 Equação Z X1 X2 K L Equação X1 X2 I J Valor arbitrário de z para encontrar a sua inclinação Exercício 13 63 64