Programacao Linear Grafica - Metodos e Resolucao de Problemas

1 Soluções gráficas de Problemas de Programação Linear Como podemos resolver este problema sem uso do software Graficamente para problemas muito pequenos com apenas dois produtos Analiticamente aplicando métodos da álgebra linear Algoritmo Simplex 27 28 2 Vamos precisar da Álgebra Linear Dada a seguinte equação abaixo 5x1 2x2 10 Que figura geométrica ela representa Vamos Representala graficamente Álgebra Linear Fazer o Gráfico da Equação 5x1 2x2 10 x1 x2 EQUAÇÃO 5X1 2X2 10 X2 X1 Pontos A B 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 EQUAÇÃO 5X1 2X2 10 X2 X1 Pontos A B 29 30 3 Algebra Linear Fazer o Gráfico da Equação 5x1 2x2 10 x1 x2 EQUAÇÃO 5X1 2X2 10 X2 X1 Pontos A B 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 A B EQUAÇÃO 5X1 2X2 10 X2 X1 Pontos 5 0 A 0 2 B Álgebra Linear 5 x1 2 x2 10 x1 5 x1 2 x2 15 5 x1 2 x2 20 5 x1 2 x2 25 x2 31 32 4 Dica 5 x1 2 x2 10 x1 x2 Não Negatividade De X1 Não Negatividade De X2 X10 X20 No caso da inequação 5x1 2x2 10 Escolhemos um ponto qualquer Substituindo na inequação 50 20 10 Obtemos o resultado 0 10 Verdadeiro Logo O ponto escolhido pertence à região viável Se o resultado não fosse verdadeiro A região viável seria deste lado Dica 5 x1 2 x2 10 x1 x2 Não Negatividade De X1 Não Negatividade De X2 X10 X20 No caso da inequação 5x1 2x2 10 Escolhemos um ponto qualquer Substituindo na inequação 50 20 10 Obtemos o resultado 0 10 Falso Logo O ponto escolhido pertence à região viável 33 34 5 Exemplo 3 Planejando vida social Construção do modelo Variáveis de Decisão XM quantidade de vezes que sairá com Marinete por mês XL quantidade de vezes que sairá com Luzinete por mês Função Objetivo Max Z XM XL Sujeito a Orçamento 80XM 50XL 460 Energia 4XM 12XL 40 Tempo 3XM 3XL 24 XM XL 0 Relatório de Solução Obtida pelo LINDO Lucro Valor de Z Produção Sobras de Cada tipo de Recursos Impacto sobre o lucro se conseguir uma unidade adicional do recurso esgotado 35 36 6 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 Xa Cintos A Xb Cintos B Equação Tempo 2Xa Xb 1000 Xb Xa A B Tempo 2 Xa Xb 1000 Couro Xa Xb 800 FivelaA Xa 400 FivelaB Xb 700 Equação Fivela A Xa 400 Xb Xa E F Equação Fivela B Xb 700 Xb Xa G H Equação Couro Xa Xb 800 Xb Xa C D Z 300 Xa 400 Xb EQUAÇÃO Z1 1200 3Xa 4Xb 1200 Xb Xa I J EQUAÇÃO Z2 3600 3Xa 4Xb 3600 Xb Xa K L Valores arbitrários de z para encontrar a sua inclinação RESTRIÇÕES Tempo Couro Fivela A Fivela B Região Viável Direção da Função Objetivo Z11200 Pode ser melhorada Solução Ótima Z3100 Xa100 Xb700 Resolução Gráfica Função Objetivo Z23600 INVIÁVEL Não toca nenhum ponto da região viável 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 Cintos B Xb Cintos A Xa Equação Tempo 2Xa Xb 1000 Xb Xa 1000 0 A 0 500 B Tempo 2 Xa Xb 1000 Couro Xa Xb 800 FivelaA Xa 400 FivelaB Xb 700 Equação Fivela A Xa 400 Xb Xa 400 E 400 F Equação Fivela B Xb 700 Xb Xa 700 G 700 H Equação Couro Xa Xb 800 Xb Xa 800 0 C 0 800 D Z 300 Xa 400 Xb EQUAÇÃO Z1 1200 3Xa 4Xb 1200 Xb Xa 300 0 I 0 400 J EQUAÇÃO Z2 3600 3Xa 4Xb 3600 Xb Xa 900 0 K 0 1200 L Valores arbitrários de Z para encontrar a sua inclinação RESTRIÇÕES 37 38 7 Um jovem possui grande amizade com duas garotas Marinete e Luzinete Já descobriu por experiência que Marinete elegante gosta de frequentar lugares sofisticados mais caros de modo que em cada saída de três horas terá um gasto de R 8000 Luzinete mais simples prefere um divertimento mais popular de tal modo que seus passeios de três horas requerem um gasto de R5000 Seu orçamento lhe permite dispor de R46000 por mês para diversão Seus afazeres na Faculdade lhe dão disponibilidade de no máximo 24 horas mensais para passear com as amigas e além disto seu curso exige tanta energia que só lhe restam 40000 calorias mensais para queimar em atividades de lazer A Marinete é uma intelectual e sua diversão é predominantemente sedentária demandando um desgaste de aproximadamente 4000 calorias mas Luzinete é uma desportista e hiperativa adepta de jogos e atividades físicas sendo que suas atividades de lazer exigem o triplo de energia Depois de algum tempo o jovem descobriu que gosta igualmente da companhia das duas amigas Como planejar a sua vida social para obter o máximo de convívio social com suas amigas Exercício 1 Planejando vida social Exercício 1 Planejando vida social Construção do modelo Variáveis de Decisão Função Objetivo Sujeito a Resposta 39 40 8 Exercício 1 Planejando vida social Construção do modelo Variáveis de Decisão XM quantidade de vezes que sairá com Marinete por mês XL quantidade de vezes que sairá com Luzinete por mês Função Objetivo Max Z XM XL Sujeito a Orçamento 80XM 50XL 460 Energia 4XM 12XL 40 Tempo 3XM 3XL 24 XM XL 0 Exercício 1 Planejando vida social Solução pelo LINDO variáveis contínuas 41 42 9 Exercício 1 Planejando vida social Solução pelo LINDO variáveis inteiras Solução Inteira Otima 1 XM5 e XL1 Nos casos particulares em que existem mais de uma solução ótima o LINDO aponta a primeira solução encontrada e não alerta que existem outras soluções igualmente ótimas General Integer Number 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 XL Luzinete XM Marinete Exercício 1 Planejando vida social Solução pelo método gráfico variáveis contínuas Equação Orcam 80XM 50XL 460 XL XM A B Equação Tempo 3XM 3XL 24 XL XM E F Equação Energia 4XM 12XL 40 XL XM C D EQUAÇÃO Z 3 XM XL 3 XL XM G H Função Objetivo Max Z XM XL ST Orcam 80XM 50XL 460 Energia 4XM 12XL 40 Tempo 3XM 3XL 24 XM XL 0 43 44 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Orçamento R Energia cal Tempo horas Região Viável Direção da Função Objetivo Para Z3 Solução Ótima Z 642 saídas XM 463 XL 178 XL Luzinete XM Marinete 178 463 Exercício 1 Planejando vida social Solução pelo método gráfico variáveis contínuas Função Objetivo Max Z XM XL ST Orcam 80XM 50XL 460 Energia 4XM 12XL 40 Tempo 3XM 3XL 24 XM XL 0 XL Luzinete XM Marinete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Exercício 1 Planejando vida social Solução pelo método gráfico Equação Tempo 3XM 3XL 24 XL XM 8 0 E 0 8 F Equação Energia 4XM 12XL 40 XL XM 33 0 C 0 10 D EQUAÇÃO Z 3 XM XL 3 XL XM 3 0 G 0 3 H Função Objetivo Max Z XM XL ST Orcam 80XM 50XL 460 Energia 4XM 12XL 40 Tempo 3XM 3XL 24 XM XL 0 463 178 Equação Orcam 80XM 50XL 460 XL XM 92 0 A 0 575 B A B C D E F G H XM0 XL 0 Duas Soluções Ótimas Inteiras Zmax inteiro 6 XM 4 XM 5 XL 2 XM 1 Solução Ótima Continua Zmax cont 642 XM 463 XL 178 45 46 11 Exercício 1 Planejando vida social Solução pelo LINDO variáveis contínuas 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Orçamento R Energia cal Tempo horas Região Viável Direção da Função Objetivo Z3 Solução Inteira Otima 1 Z6 XM5 e XL1 XL Luzinete XM Marinete Solução Inteira Ótima 2 Z6 XM4 e XL 2 Z 6 Função Objetivo Ótima em Inteiros Exercício 1 Planejando vida social Solução pelo método gráfico variáveis inteiras Função Objetivo Max Z XM XL ST Orcam 80XM 50XL 460 Energia 4XM 12XL 40 Tempo 3XM 3XL 24 XM XL 0 inteiros 47 48 12 Exercício 1 Planejando vida social Solução pelo LINDO variáveis inteiras Solução Inteira Otima 1 XM5 e XL1 Nos casos particulares em que existem mais de uma solução ótima o LINDO aponta a primeira solução encontrada e não alerta que existem outras soluções igualmente ótimas General Integer Number 49