Lista de Exercícios Resolvidos - Estatística e Probabilidade

Exercícios 1 Seja fx k𝒆 𝒙 𝟑𝟎𝟎𝟎 para x 0 a Determinar o valor de k para fx ser fdp b PX 2200X 1000 c P1200 X 2000 d PX 3000 e PX x 010 R 13000 03297 01569 06321 31608 2 As leituras da temperatura de um termopar em um forno flutuam de acordo com uma função distribuição cumulativa dada por Fx 01X 80 para 800 X 810 a P X 805 b P 800 X 805 c P X 808 d Se as especificações para o processo solicitarem que a temperatura do forno esteja entre 802 e 808 qual a probabilidade da fornalha operar fora da especificação R 05 05 02 04 3 A espessura em micrômetros de um recobrimento condutivo tem uma função densidade de 600 X2 para 100𝜇𝑚 𝑋 120𝜇𝑚 a Achar média e desviopadrão b PX 112 X 105 R 1093979 56659 4 Durante o período de aulas o tempo que um determinado aluno dedica ao estudo por mês contabilizado em horas é uma va X cuja função de distribuição é definida por F x 1 ex60 se x 0 e F x 0 se x 0 a Num mês escolhido ao acaso qual a probabilidade desse aluno estudar mais de 55 horas b Dos meses em que estuda menos de 55 horas qual a probabilidade de estudar pelo menos 28 horas c Suponha que faz a aposta de que nos próximos 4 meses haverá somente um mês em que o aluno estuda menos de 55 horas Qual a probabilidade de vir a ganhar a aposta R 03998 03787 01534 5 A quantidade de tempo Y em minutos que um trem está atrasado é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por fy K25 y2 para 5 y 5 a Determine o valor de K b P y 4 y 3 R 3500 09688 a Para ser uma fdp a integral deve resultar em 1 0 ke x 3000 dxk 3000e x 3000 0 k 030003000k1 Logo k 13000 então f x e x 3000 3000 b 1000 2200 e x 3000 3000 dxe x 3000 2200 10000236230 1000 e x 3000 3000 dxe x 3000 10000716530 P X2200X1000P1000X2200 P X1000 0236230 0716530032973297 c 1200 2000 e x 3000 3000 dxe x 3000 2000 1200015691569 d 0 3000 e x 3000 3000 dxe x 3000 3000 0 0632163 21 e 0 x e x 3000 3000 dxe x 3000 x 0e x 30001010 e x 3000090 x 3000ln090 x3160815 Se já é dada a função cumulativa podemos utilizála diretamente a P X805F805018058005050 b P 800X805P X805P X800F 805F 800 01805800180080050005050 c P X8081P X8081F80810180880108002020 d P X802 X8081P 802 X808101808800180280 108002004040 a Média EX μ 100 120 x 600x 2dx600lnx 120 1001093929 Desvio padrão Var XE X ²E X² EX ² 100 120 x²600 x 2dx600 x 120 10012000 σ120001093929²57614 b P X112X105 105 112 600x 2dx 105 120 600x 2dx 600 x 112 105 600 x 120 105 514 1014 05050 Já é dada a função cumulativa Fx a P X551P X5511e 55 60039983998 b P X28X55P28X55 P X55 1e 55601e 2860 1e 5560 0227239 06001500378637 86 c Seja Y número de meses em que o aluno estuda menos de 55h P X551e 55 600600150 PY 1 4 10600150 1 10600150 41015351535 a 5 5 k 25y ²dyk25 y y ³ 3 5 5k 50031 Logo k 3500 f y 3 500 25y ² b P3Y 4 3 4 3 500 25y ²dy 3 500 25 y y ³ 3 4 308680 PY 3 3 5 3 50025y ²dy 3 500 25 y y ³ 3 5 30896 0 PY 4Y 308680 08960096889688 a Para ser uma fdp a integral deve resultar em 1 k e x 3000 dx 0 k 3000 e x 3000 0 k 0 3000 3000 k 1 Logo k 13000 então fx e x 3000 3000 b e x 3000 3000 dx 2200 1000 e x 3000 2200 1000 0236230 e x 3000 3000 dx 1000 e x 3000 1000 0716530 PX 2200 X 1000 P1000 X 2200 PX 1000 0236230 0716530 03297 3297 c e x 3000 3000 dx 2000 1200 e x 3000 2000 1200 01569 1569 d e x 3000 3000 dx 3000 0 e x 3000 3000 0 06321 6321 e e x 3000 3000 dx x 0 e x 3000x 0 e x 3000 1 010 e x 3000 090 x 3000 ln090 x 3160815 Se já é dada a função cumulativa podemos utilizála diretamente a PX 805 F805 01 805 80 050 50 b P800 X 805 PX 805 PX 800 F805 F800 01 805 80 01 800 80 050 0 050 50 c PX 808 1 PX 808 1 F808 1 01 808 80 1 080 020 20 d PX 802 X 808 1 P802 X 808 1 01 808 80 01 802 80 1 080 020 040 40 a Média EX μ x 600 x2 dx 120 100 600 lnx 120 100 1093929 Desvio padrão VarX EX² EX² EX² x² 600 x2 dx 120 100 600x 120 100 12000 σ 12000 1093929² 57614 b PX 112 X 105 600 x2 dx 112 105 600 x2 dx 120 105 600x112 105 600x120 105 514 1014 050 50 Já é dada a função cumulativa Fx a PX 55 1 PX 55 1 1 e5560 03998 3998 b PX 28 X 55 P28 X 55 PX 55 1 e5560 1 e2860 1 e5560 0227239 0600150 03786 3786 c Seja Y número de meses em que o aluno estuda menos de 55h PX 55 1 e5560 0600150 PY 1 4 1 06001501 1 060015041 01535 1535 a k25y² dy 5 5 k 25y y³ 3 5 5 k5003 1 Logo k 3500 fy 3 500 25y² b P3 Y 4 3 500 25y² dy 4 3 3 500 25y y³ 3 4 3 08680 PY 3 3 500 25y² dy 5 3 3 500 25y y³ 3 5 3 08960 PY 4 Y 3 08680 08960 09688 9688