Exercícios sobre Covariância e Variância em Variáveis Aleatórias

Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Funções de variáveis aleatórias a EXYEX EY b COVXYEXYEXEY COVXY é a covariância de X e Y A covariância é a variância conjunta uma medida do grau de interdependência numérica entre duas variáveis aleatórias c Se X e Y são independentes então EXYEXEY d Se X e Y são independentes então COVXY0 e Se X e Y não forem independentes VARXYVARXVARY2COVXY e VARXYVARXVARY2COVXY f Se X e Y são independentes então VARXYVARXVARY e VARXYVARXVARY Exercícios 1 Dada a distribuição conjunta de probabilidades da variável XY representada na tabela calcule Determine E2X3Y Resp 35 COVXY Resp 025 e VAR2X3Y Resp 475 Y X 0 1 2 3 PX 0 0125 025 0125 0 05 1 0 0125 025 0125 05 PY 0125 0375 0375 0125 1 Resolução a E2X3Y e c VAR2X3Y Primeiro modo Criando uma nova variável 1 Achar os possíveis valores de Z2X3Y X Y 0 1 2 3 0 0125 025 0125 0 1 0 0125 025 0125 2X 3Y 0 3 6 9 0 0 3 6 9 2 2 1 4 7 2 Construir a distribuição de Z2X3Y para construir PZ fazer a comparação das posições dos elementos nas duas tabelas Z PZ 0 0125 3 025 6 0125 9 0 2 0 1 0125 4 025 7 0125 1 3 Calcular EZ e VARZ Logo EZE2X3Y35 e VARZ17352475 Z PZ ZPZ Z2PZ 0 0125 0 0 3 025 075 225 6 0125 075 45 9 0 0 0 2 0 0 0 1 0125 0125 0125 4 025 1 4 7 0125 0875 6125 1 35 17 Segundo modo usando propriedades Lembrar que EXYEXEY EXYEXEY EkXkEX VARkXk2VARX COVXY EXYEXEY VARXYVARXVARY2COVXY VARXY VARXVARY2COVXY Se X e Y forem independentes COVXY0 então VARXYVARXVARY e VARXYVARXVARY No exercício completando a tabela de distribuição conjunta com PX e PY temos Vamos construir as distribuições de X e Y e calcular EX VARX EY e VARY Distribuição de X Logo EX05 e VARX05052 025 X Y 0 1 2 3 PX 0 0125 025 0125 0 05 1 0 0125 025 0125 05 PY 0125 0375 0375 0125 1 X PX XPX X2PX 0 05 0 0 1 05 05 05 1 05 05 Logo EY15 e VARY3152075 Então E2X3Y2EX3EY 205 31535 Y PY YPY Y2PY 0 0125 0 0 1 0375 0375 0375 2 0375 075 15 3 0125 0375 1125 1 15 3 Distribuição de Y VAR2X3Y Observando a distribuição temos que X e Y não são independentes uma vez que por exemplo PX0Y0 PX0PY0 pois PX0Y00125 e PX0PY0050125 00625 Logo usaremos a propriedade VARXYVARXVARY2COVXY VAR2X3YVAR2XVAR3Y2COV2X3Y VAR2X3Y22VARX32VARY223COVXY VAR2X3Y4025 907512COVXY VAR2X3Y77512COVXY X Y 0 1 2 3 PX 0 0125 025 0125 0 05 1 0 0125 025 0125 05 PY 0125 0375 0375 0125 1 Mas COVXYEXYEXEY então calculando EXY temos a Determinar os possíveis valores de WXY b Construir a tabela de distribuição de frequências de WXY Comparar as posições entre os resultados de XY e as probabilidades da tabela de distribuição Então EWEXY1 Como COVXYEXYEXEY temos que COVXY105151075025 Retomando temos VAR2X3Y77512COVXY temos que VAR2X3Y77512025475 X Y 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 W PW WPW 0 05 0125025012500 0 1 0125 0125 2 025 05 3 0125 0375 1 1 Exercício Dada a distribuição conjunta das variáveis X e Y independentes seja Z2XY Calcule EZ e VARZ pelos dois métodos usando a distribuição de Z e por propriedades Resp EZ71 e VARZ337 Resolução do exercício Resolução do exercício II Por propriedaes EY 33 VARY 115 33²061 c Aplicação das propriedades E2XY 2EXEY 21933 71 VAR2XY VAR2XVARY 2COVXY Como X e Y são independentes COV X Y 0 Logo VAR2XY 4VARXVARY 4 069 061 337 Coeficiente de correlação populacional A correlação mede o grau de relacionamento entre duas variáveis aleatórias Para determinar a associação linear entre duas variáveis temos o coeficiente de correlação linear Denominamos o coeficiente de correlação linear populacional dado por 𝐶𝑂𝑉𝑋𝑌 𝜎𝑥𝜎𝑦 com 11 Coeficiente de correlação populacional Podemos obter o gráfico de dispersão para avaliar o grau de correlação linear entre duas variáveis Quando os pontos pertencerem todos a uma reta crescente temos que 1 Caso pertençam a uma reta decrescente 1 Quando estão próximos de uma reta os resultados estarão próximos de 1no caso de crescente ou de 1 no caso de decrescente Quanto mais próximo de zero mais baixa é a correlação linear Exemplo Sejam X renda familiar em mil reais e Y o número de celulares na família Determinar usando o coeficiente de correlação linear se há forte relação linear entre as duas variáveis EX 66 VARX 514 66² 784 σX 28 EY 31 VARY 113 31² 169 σY 13 Seja ZXY Possíveis valores para Z 2 4 6 8 10 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 8 16 24 32 40 10 20 30 40 50 IV Distribuição de Z IV ρ 𝑐𝑜𝑣𝑋𝑌σ𝑥σ𝑦 E𝑋𝑌E𝑋E𝑌σ𝑥σ𝑦 23966312813 Exercício para casa Dada a distribuição conjunta das variáveis X e Y independentes a Seja Z2X4Y Calcule EZ e VARZ pelos dois métodos usando a distribuição de Z e usando propriedades b Determine EYX2 c Determine EXY1 Y X 0 1 2 PX 1 006 02 2 015 005 3 PY 03 Resp EZ1 VARZ772 EYX208 e EXY121