Variáveis Aleatórias Contínuas: Função Densidade de Probabilidade e Exercícios

Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Variáveis aleatórias contínuas Uma variável aleatória é contínua se ela tem um número incontável de possíveis resultados representados por um intervalo na reta numérica Exemplos tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima diâmetro de um cabo elétrico peso de um indivíduo tempo de resposta de um sistema computacional rendimento de um processo químico tempo de vida de um componente eletrônico resistência de um material Variável aleatória contínua Seja X uma variável aleatória contínua A função densidade de probabilidade fdp de X é uma função fx que satisfaz as seguintes condições a fx0 não negativa b A probabilidade de que X assuma um valor no intervalo ab é a área acima desse intervalo e abaixo do gráfico da função de densidade ou seja 1 fxdx b a b X P a fxdx Exemplo Caso contínuo Dada pedese a Verificar se fx é uma função densidade de probabilidade Sim fx é uma função densidade de probabilidade b Em caso positivo determine P0x1 2 0 ou x se x 0 2 x se 0 10 3 2x fx 1 10 6 20 8 0 2 10 3 20 2 10 3 2x 1 0 2 0 2 x x dx f x dx ii f x i 5 2 10 4 10 3 20 2 0 1 10 3 20 2 10 3 2 1 0 2 1 0 x x dx x x P Distribuição de probabilidade Desviopadrão Esperança Matemática Variância VARXEX2EX2 ou x f x dx E X VARX 2 2 VARX x f x dx f x dx x Exercícios 1 O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por a Determinar k b calcular EX e VARX c Calcular P0X½ Resp a k b EX e VARX c P0X½ 1 0 ou x se x 0 1 x se 0 x k 2x fx 2 2 3 8 5 320 19 16 5 Exercícios 1 O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por Resolução a k 𝟎 𝟏 𝒌 𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝒌 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟑 ቚ𝟏 𝟎 𝟏 𝒌 𝟑 𝟐 b EX e VARX EX 𝟎 𝟏 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝟐𝒙𝟑 𝟑 𝒙𝟒 𝟒 ቤ𝟏 𝟎 𝟓 𝟖 VARXEX2 EX2 𝟎 𝟏 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟓 𝟖𝟐 𝟗 𝟐𝟎 𝟐𝟓 𝟔𝟒 𝟏𝟗 𝟑𝟐𝟎 c P0X½ 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟓 𝟏𝟔 1 0 ou x se x 0 1 x se 0 x k 2x fx 2 Exercícios 2 Seja a variável aleatória contínua X tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima num certo período de tempo em minutos A função densidade de probabilidade de X é dada por Calcular EX ou seja o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima Resp 1500 minutos 3000 se 1500 x 1500 x 3000 1500 x se 0 1500 x fx 2 2 Exercícios 2 Seja a variável aleatória contínua X tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima num certo período de tempo em minutos A função densidade de probabilidade de X é dada por Resolução EX𝟎 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝒙 𝒙 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟐dx 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒙 𝟑𝟎𝟎𝟎𝒙 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟐 dx 1500 minutos 3000 se 1500 x 1500 x 3000 1500 x se 0 1500 x fx 2 2 Distribuição uniforme Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme de probabilidade no intervalo ab se sua função densidade de probabilidade é dada por 𝑓 𝑥 ቊ 𝑘 𝑠𝑒 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑠𝑒 𝑥 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 𝑏 Distribuição uniforme Sendo 𝑓 𝑥 ቊ 𝑘 𝑠𝑒 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑠𝑒 𝑥 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 𝑏 para calcular o valor de k basta lembrar que 𝑎 𝑏 𝑘𝑑𝑥 1 logo kbka1 e k 1 𝑏𝑎 Exemplo A dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável com distribuição uniforme no intervalo 5070 da escala de Rockwel Pedese a A representação algébrica e gráfica da distribuição b A probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60 Resp 025 c EX VARX e X Resp EX60 VARX333333 e X57735 No modelo uniforme temos que EX 𝑎𝑏 2 e VARX 𝑏𝑎2 12 Distribuição uniforme Resolução A dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável com distribuição uniforme no intervalo 5070 da escala de Rockwel Pedese a A representação algébrica e gráfica da distribuição k 𝟏 𝒃𝒂 𝟏 𝟕𝟎𝟓𝟎 𝟏 𝟐𝟎 𝒇 𝒙 ൝ 𝟏 𝟐𝟎 𝒔𝒆 𝟓𝟎 𝒙 𝟕𝟎 𝟎 𝒔𝒆 𝒙 𝟓𝟎 𝒐𝒖 𝒙 𝟕𝟎 b A probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60 P55X60 𝟓𝟓 𝟔𝟎 𝟏 𝟐𝟎 𝒅𝒙 𝟏 𝟐𝟎 𝟔𝟎 𝟓𝟓 𝟎 𝟐𝟓 c EX VARX e X No modelo uniforme temos que EX 𝑎𝑏 2 e VARX 𝑏𝑎2 12 EX 𝟓𝟎𝟕𝟎 𝟐 𝟔𝟎 𝑽𝑨𝑹 𝑿 𝟕𝟎𝟓𝟎𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑 e X 𝑽𝑨𝑹𝑿57735 Exercícios Para casa Ex 1 A variável aleatória X tem função densidade de probabilidade dada pelo gráfico abaixo Exercícios Ex 2 Considere 0m3 e a função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X dada por Exercícios Ex 3 Devido à presença de quantidades variáveis de impureza o ponto de fusão de certa substância pode ser considerado uma variável aleatória contínua distribuída uniformemente no intervalo 100125 Determine a fx e o gráfico da situação b A probabilidade de a substância fundirse entre 110 e 115 Resp 02 c EX ou seja a média do ponto de fusão Resp 1125 Distribuição exponencial Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial de probabilidade se sua função densidade de probabilidade é dada por 𝑓 𝑥 ൝ 𝑒𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 0 𝑠𝑒 𝑥 0 sendo EX 1 e VARX 1 2 Distribuição exponencial Exemplo A função densidade de probabilidade dada por fxቊ2 𝑒2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 0 𝑠𝑒 𝑥 0 representa a distribuição do índice de acidez de certo produto alimentício a O produto é consumível se este índice for menor que 2 Calcule a probabilidade de o produto ser comestível Resp 098168 b Calcule a média a variância e o desvio padrão da distribuição Resp EX 𝟏 𝟐 VARX 𝟏 𝟒 e X 𝟏 𝟐 Distribuição exponencial Exemplo A função densidade de probabilidade dada por fxቊ2 𝑒2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 0 𝑠𝑒 𝑥 0 representa a distribuição do índice de acidez de certo produto alimentício a PX2 𝟎 𝟐 𝟐𝒆𝟐𝒙𝒅𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 e2x ቚ𝟐 𝟎 𝒆4 e0098168 b Calcule a média a variância e o desvio padrão da distribuição No modelo exponencial EX 𝟏 e VARX 𝟏 𝟐 logo EX 𝟏 𝟐 VARX 𝟏 𝟒 e X 𝑽𝑨𝑹𝑿 𝟏 𝟐 Distribuição exponencial Exercício Se o tempo médio entre o pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória com distribuição exponencial com média igual a 10 minutos determine a A função fx e o esboço do gráfico da situação Obs Lembrar que EX 1 Então 1 10 logo 110 01 Resp fxቊ𝟎 𝟏 𝒆𝟎𝟏𝒙 𝒔𝒆 𝒙 𝟎 𝟎 𝒔𝒆 𝒙 𝟎 a A probabilidade da espera ser superior a 12 minutos Resp 03012 b O desvio padrão do tempo médio entre o pedido e o atendimento no restaurante Resp 10 Relação entre distribuição exponencial e distribuição de Poisson De uma forma resumida vamos imaginar uma variável aleatória que siga uma distribuição de Poisson onde temos a contagem do número de ocorrências em um intervalo Suponha agora que o nosso interesse seja verificar a probabilidade do tempo transcorrido entre duas ocorrências consecutivas Isso caracteriza a variável aleatória exponencial Exemplos de aplicações da exponencial Tempo entre falhas de um equipamento Tempo entre as chegadas de aeronaves em certo aeroporto Distância entre duas falhas sucessivas em uma fita magnética Relação entre distribuição exponencial e distribuição de Poisson Neste caso a distribuição exponencial permite caracterizar o tempodistância entre as ocorrências oriundas de um processo de Poisson Na distribuição de Poisson distribuição discreta o interesse está na estimativa da quantidade de eventos em um intervalo Na distribuição exponencial distribuição contínua analisamos inversamente o experimento ou seja o interesse está no intervalo ou espaço para a ocorrência do evento