Intervalo de Confiança para Diferença de Médias em Amostras com Variâncias Conhecidas e Desconhecidas

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DUAS AMOSTRAS 1 º CASO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA DE MÉDIAS COM VARIÂNCIAS CONHECIDAS P x e µ1 µ2 x e 1 α onde e Z1 α2 σ x e σ x 2 σ1 2 n1 σ2 2 n 2 Exemplo Um produtor está interessado em reduzir o tempo de secagem de uma tinta de base Duas fórmulas da tinta são testadas a fórmula 1 se baseia na químicapadrão e a fórmula 2 tem um novo ingrediente que deveria reduzir o tempo de secagem Sabese por experiência que o desviopadrão do tempo de secagem é de 8 minutos e essa variabilidade inerente não deve ser alterada pela adição do novo ingrediente Dez itens são pintados com a fórmula 1 e outros 10 itens com a fórmula 2 os 20 itens são pintados em uma ordem aleatória As duas médias amostrais do tempo de secagem são x1 121 min e x2 112 min respectivamente Determinar o intervalo de confiança para a diferença de médias ao nível de confiança de 95 e qual a conclusão do produtor x x1 x2 1211129 Como as variâncias são conhecidas σ x 2 σ1 2 n1 σ2 2 n2 64 10 64 10 35777 1 α 95 Z 1 α2 Z09750 196 erro e 196 35777 70123 x e µ1 µ 2 x e 9 70123 µ1 µ2 9 70123 19877 µ 1 µ2 161230 Como o nosso intervalo caiu no campo positivo concluímos que µ 1 µ2 portanto o no vo ingrediente reduz significativamente o tempo de secagem 2ºCASO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A DIFERENÇA DE MÉDIAS COM VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS MAS IGUAIS ISTO É σ 2 1 σ 2 2 σ 2 P x e µ1 µ2 x e 1 α onde e T1 α2 n1 n2 2 σ est x e onde σ est x n 11 S 1 2 n 21S 22 n 1 n 22 1 n 1 1 n 2 Exemplo Dois catalisadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico Especificamente o catalisador 1 está correntemente em uso mas o catalisador 2 é aceitável Uma vez que o catalisador 2 é mais barato ele deve ser adotado desde que ele não mude o rendimento do processo Um teste é feito em uma planta piloto resultando nos dados da tabela abaixo Adotar variâncias populacionais desconhecidas porém iguais Tipo Dados do Rendimento dos Catalisadores Catalisador 1 915 9418 9218 9539 9179 8907 9472 8921 Catalisador 2 8919 9095 9046 9321 9719 9704 9107 9275 Construa o Intervalo de Confiança de 95 para diferença das médias e verifique se há diferença entre os rendimentos médios Dados amostrais x1 922550 e S12385 n18 x2 927325 e S229835 n28 x x1 x2 92255092732504775 σ est x n11 S1 2 n21S22 n1 n22 1 n1 1 n2 σ est x 7 2385 2 7 298352 8 82 1 8 1 8 2700905 13505 e T 1 α2 n1 n2 2 σ est x e T 097514 σ est x 214513505 28968 x e µ1 µ 2 x e 04775 28968 µ1 µ 2 04775 28968 33743 µ1 µ 2 24193 conclusão como o IC cai entre um valor negativo e outro positivo não podemos afirmar que existe diferença no rendimento dos catalisadores Deve comprar o tipo 2 pois é mais barato 3ºCASO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A DIFERENÇA DE MÉDIAS COM VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS POREM DIFERENTES ISTO É σ 2 1 σ 2 2 P x e µ1 µ2 x e 1 α onde e T1 α2 ν σ est x e onde σ est x S 1 2 n 1 S 2 2 n 2 e ν S 1 2 n 1 S 2 2 n 2 2 S 1 2 n 1 2 n 11 S 2 2 n 2 2 n 21 Exemplo Um experimento está investigando dois agentes diferentes de expansão de espumas que podem ser usados nos bocais de um equipamento de aspersão contra incêndio Uma amostra aleatória de 5 observações com uma espuma formada por um filme aquoso EFFA teve uma média amostral de 434 e um desviopadrão de 0508 Uma amostra aleatória de cinco observações com uma espuma formada por soluções concentradas alcoólicas EFSCA teve uma média amostral de 7091 e um desviopadrão de 043 Encontre um intervalo de 95 para a diferença na expansão média desses dois agentes Você pode tirar alguma conclusão acerca de qual agente produz a maior expansão média de espuma Adotar variâncias populacionais desconhecidas e diferentes x1 434 e S10508 n15 x2 7091 e S2043 n25 x x1 x2 434709127510 σ est x S1 2 n1 S2 2 n2 0508 2 5 043 2 5 02976 ν S 1 2 n 1 S 2 2 n 2 2 S 1 2 n 1 2 n 11 S 2 2 n 2 2 n 21 0508 2 5 043 2 5 2 0508 2 5 2 4 043 2 5 2 4 78 8 portanto T 1 α2 ν T09758 2306 e T 1 α2 ν σ est x 230602976 06863 x e µ1 µ 2 x e 2751 06863 µ1 µ 2 275106863 34373 µ1 µ 2 20647 µ1 µ2 conclusão o EFSCA produz um maior expansão 4ºCASO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA DE MÉDIAS DE DUAS DISTRIBUIÇÕES NORMAIS PARA AMOSTRAS EMPARELHADAS P d e µ1 µ 2 d e 1 α onde d média das diferenças nas amostras e Sd é desvio padrão das diferenças Erro e T 1 α2 n 1 Sd n P d e µ1 µ 2 d e 1 α Exemplo Um periódico reporta um estudo em que se pediu a 14 pessoas para estacionarem dois carros de forma paralela tendo barras de direção e raios de giro muito diferentes O tempo em segundos para cada pessoa foi registrado sendo apresentado na tabela a seguir Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Auto 1 37 258 162 242 22 334 238 582 336 244 234 212 362 298 Auto 2 178 202 168 414 214 384 168 322 278 232 296 206 322 538 Determinar o intervalo de confiança de 90 para µD µ 1 µ2 e qual a sua conclusão Das amostras d 1 2143 e Sd 126850 eT1α 2n 1 Sd n T09513126850 14 17710 126850 14 60041 d e µ1 µ 2 d e 12143 60041 µ1 µ 2 12143 60041 47898 µ1 µ 2 72184 Conclusão Como o intervalo está entre um valor negativo e positivo não existe diferença 5º CASO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA ENTRE PROPORÇÕES POPULACIONAIS P p e 1 2 p e 1 α onde p p1 p2 e e Z 1 α2 p 1 q 1 n 1 p 2 q 2 n 2 Sendo p1 x1n1 e q 1 1 p1 p2 x2n2 e q2 1 p2 Exemplo Uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de automóveis apresenta 10 mancais com uma superfície mais rugosa do que permitiam as especificações Suponha que uma modificação seja feita no processo de acabamento da superfície e que uma segunda amostra 85 mancais foi coletada e foram encontrados 8 mancais com superfície mais rugosa Construa o intervalo de confiança de 98 para a diferença na proporção de mancais defeituosos produzidos pelos dois processos e qual a sua conclusão P p e 1 2 p e 1 α 0 98 Dados amostras p1 1085 01176 q1 1 01176 08824 Amostra p2 8 85 00941 q2 09059 sendo Z 1 α2 Z099 2326 p p1 p2 00235 e Z 1 α2 p1q1 n1 p2q2 n2 2326 0117608824 85 0094109059 85 Erro e 2326 00472 01098 p e 1 2 p e 00235 01098 1 2 00235 01098 0 0863 1 2 01333 não existe diferença entre os mancais