Teorema de Cayley-Hamilton e Semelhança de Matrizes

CENTRO UNIVERSITÁRIO FEI CURSO DE ENGENHARIA ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Teorema de CayleyHamilton Semelhança de Matrizes e Diagonalização de Operadores Bibliografia BásicaComplementar ANTON H RORRES I Álgebralinear com aplicações trad CIDoering 8 ed Porto Alegre Bookman 2001 CALLIOLI C A DOMINGUES H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações São Paulo Atual 2003 LORETO A C C SILVA A A LORETO JÚNIOR A P Álgebra linear e suas aplicações resumo teórico e exercícios São Paulo LCTE 2013 KOLMAN B HILL DR Introdução à Álgebra Linear com Aplicações 8 ed Rio de Janeiro LTC Editora 2006 STEINBRUCH A WINTERLE P Álgebra Linear São Paulo Access Intelligence1987 Teorema de CayleyHamilton Toda matriz quadrada é um zero do seu polinômio característico Isso significa que dada uma matriz quadrada A de ordem n com polinômio característico P detA In temse que PA 0 sendo 0 a matriz quadrada nula de ordem n Entendendo o Teorema Seja a matriz 𝐴 1 2 3 2 Seu polinômio característico é 𝑃 𝜆 1 𝜆 2 3 2 𝜆 𝜆2 3𝜆 4 Fazendose A temse 1 2 3 2 2 3 1 2 3 2 4 1 0 0 1 0 0 0 0 Logo verificase que a matriz A é a raiz ou um zero do seu polinômio característico Aplicações do Teorema Potência de uma matriz Dada a matriz 𝐴 1 2 3 4 seu polinômio característico é 𝑃 𝜆 𝜆2 5𝜆 2 Pelo Teorema de CayleyHamilton temse que 𝐴2 5𝐴 2𝐼2 0 Logo 𝐴2 5𝐴 2𝐼2 Sabendose que 𝐴3 𝐴2 𝐴 temse que 𝐴2 𝐴 5𝐴 2𝐼2 𝐴 𝐴2 𝐴 5𝐴2 2𝐴 𝐴2 𝐴 5 5𝐴 2𝐼2 2𝐴 𝐴3 27𝐴 10𝐼2 De forma análoga temse que 𝐴4 𝐴3 𝐴 145𝐴 54𝐼2 Aplicações do Teorema Cálculo da inversa de uma matriz Dada a matriz 𝐴 3 3 1 5 seu polinômio característico é 𝑃 𝜆 𝜆2 8𝜆 12 Pelo Teorema de CayleyHamilton temse 𝐴2 8𝐴 12𝐼2 0 Para obtermos a inversa da matriz A podemos multiplicar a equação acima por 𝐴1 à esquerda obtendo 𝐴1 𝐴2 8𝐴 12𝐼2 𝐴1 0 𝐴1 𝐴 𝐴 8𝐴1 𝐴 12𝐴1 𝐼2 0 𝐴 8𝐼2 12𝐴1 0 𝐴1 1 12 8𝐼2 𝐴 Para ordens superiores à terceira esta maneira tornase muito trabalhosa Semelhança de Matrizes Por definição duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem são semelhantes se existe uma matriz invertível P de mesma ordem tal que B P 1 A P Proposição Duas matrizes semelhantes A e B têm o mesmo polinômio característico ou os mesmos valores próprios Semelhança de Matrizes exemplos 1 Dadas as matrizes 𝐴 1 0 0 0 e B 1 2 1 2 estude se elas são semelhantes Resolução Se calcularmos os valores próprios das duas matrizes veremos que eles são iguais Logo nada podemos afirmar se não aplicarmos a definição Para identificar se existe uma matriz 𝑃 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 tal que B P 1 A P podemos multiplicar por P pela esquerda esta equação de onde teremos P B P P1 A P P B A P Substituindose as matrizes A B e P temos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 2 1 2 1 0 0 0 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Semelhança de Matrizes exemplos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 2 1 2 1 0 0 0 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Resolvendose o sistema linear que decorre da igualdade acima temse que P 𝑎 2𝑎 𝑐 𝑐 Logo P é invertível se seu determinante é diferente de zero ou seja se ac 0 o que implica a 0 e c 0 Portanto existe P invertível de modo que B P1 A P e sendo assim A e B são semelhantes 2 Dadas as matrizes 𝐴 0 1 0 0 e B 1 1 0 0 estude se elas são semelhantes resposta não são estude os polinômios característicos das matrizes Diagonalização de Operadores Lineares Seja F a matriz do operador linear F IRn IRn em relação à base canônica A matriz F é diagonalizável se apresentar valores próprios reais e se os geradores dos vetores próprios associados formarem uma base para IRn Nesse caso todas as representações para a matriz diagonal do operador F tem como diagonal principal os valores próprios lembrando que uma matriz diagonal é uma matriz quadrada com os elementos da diagonal principal diferentes de zero e os demais elementos nulos Exemplo Seja F um operador linear de IR3 cuja matriz em relação à base canônica é F 1 0 0 1 2 0 1 1 3 Determine se possível uma matriz diagonal associada ao operador F Resolução 𝑃 𝜆 1 𝜆 0 0 1 2 𝜆 0 1 1 3 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 𝑃 𝜆 0 1 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 0 Logo 𝜆1 1 𝜆2 2 𝑒 𝜆3 3 são os valores próprios Exemplo Determinando os vetores próprios Para 𝜆1 1 temos 0 0 0 1 1 0 1 1 2 𝑥 𝑦 𝑧 0 0 0 ቊ 𝑥 𝑦 0 𝑥 𝑦 2𝑧 0 Resolvendose o sistema temse que 𝑣1 𝑦 𝑦 0 𝑦 110 com y 0 Para 𝜆2 2 temos 1 0 0 1 0 0 1 1 1 𝑥 𝑦 𝑧 0 0 0 ቐ 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 𝑦 𝑧 0 Resolvendose o sistema temse que 𝑣2 0 𝑧 𝑧 𝑧 0 11 com z 0 Para 𝜆3 3 temos 2 0 0 1 1 0 1 1 0 𝑥 𝑦 𝑧 0 0 0 ቐ 2𝑥 0 𝑥 𝑦 0 𝑥 𝑦 0 Resolvendose o sistema temse que 𝑣3 00 𝑧 𝑧 001 com z 0 Exemplo Logo temos que os geradores dos vetores próprios são 1 1 0 0 1 1 0 0 1 que é uma base para IR3 Como os valores próprios são reais a matriz F é diagonalizável e uma matriz diagonal associada ao operador F é 1 0 0 0 2 0 0 0 3