Variáveis Aleatórias Contínuas e Funções de Densidade de Probabilidade

Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Variáveis aleatórias contínuas Exemplos a tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima b diâmetro de um cabo elétrico c peso de um indivíduo d tempo de resposta de um sistema computacional e rendimento de um processo químico f tempo de vida de um componente eletrônico g resistência de um material Função densidade de probabilidade Seja X uma variável aleatória contínua A função densidade de probabilidade fdp de X é uma função fx que satisfaz as seguintes condições a fx0 não negativa b A probabilidade de que X assuma um valor no intervalo ab é a área acima desse intervalo e abaixo do gráfico da função de densidade ou seja 1 fxdx b a b X P a fxdx Exemplo Caso contínuo Dada pedese a Verificar se fx é uma função densidade de probabilidade Sim fx é uma função densidade de probabilidade b Em caso positivo determine P0x1 2 0 ou x se x 0 2 x se 0 10 3 2x fx 1 10 6 20 8 0 2 10 3 20 2 10 3 2x 1 0 2 0 2 x x dx f x dx ii f x i 5 2 10 4 10 3 20 2 0 1 10 3 20 2 10 3 2 1 0 2 1 0 x x dx x x P Distribuição de probabilidade Desviopadrão Esperança Matemática Variância VARXEX2EX2 ou x f x dx E X VARX 2 2 VARX x f x dx f x dx x Exercícios 1 O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por a Determinar k b calcular EX e VARX c Calcular P0X½ Resp a k b EX e VARX c P0X½ 1 0 ou x se x 0 1 x se 0 x k 2x fx 2 2 3 8 5 320 19 16 5 Exercícios 2 Seja a variável aleatória contínua X tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima num certo período de tempo em minutos A função densidade de probabilidade de X é dada por Calcular EX ou seja o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima Resp 1500 minutos 3000 se 1500 x 1500 x 3000 1500 x se 0 1500 x fx 2 2 Distribuição uniforme Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme de probabilidade no intervalo ab se sua função densidade de probabilidade é dada por 𝑓 𝑥 ቊ 𝑘 𝑠𝑒 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑠𝑒 𝑥 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 𝑏 Distribuição uniforme Sendo 𝑓 𝑥 ቊ 𝑘 𝑠𝑒 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑠𝑒 𝑥 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 𝑏 para calcular o valor de k basta lembrar que 𝑎 𝑏 𝑘𝑑𝑥 1 logo kbka1 e k 1 𝑏𝑎 Exemplo A dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável com distribuição uniforme no intervalo 5070 da escala de Rockwel Pedese a A representação algébrica e gráfica da distribuição b A probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60 Resp 025 c EX VARX e X Resp EX60 VARX333333 e X57735 No modelo uniforme temos que EX 𝑎𝑏 2 e VARX 𝑏𝑎2 12 Distribuição exponencial Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial de probabilidade se sua função densidade de probabilidade é dada por 𝑓 𝑥 ൝ 𝑒𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 0 𝑠𝑒 𝑥 0 sendo EX 1 e VARX 1 2 Distribuição exponencial Exemplo A função densidade de probabilidade dada por fxቊ2 𝑒2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 0 𝑠𝑒 𝑥 0 representa a distribuição do índice de acidez de certo produto alimentício a O produto é consumível se este índice for menor que 2 Calcule a probabilidade de o produto ser comestível Resp 098168 b Calcule a média a variância e o desvio padrão da distribuição Resp EX 𝟏 𝟐 VARX 𝟏 𝟒 e X 𝟏 𝟐 Distribuição exponencial Exemplo Se o tempo médio entre o pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória com distribuição exponencial com média igual a 10 minutos determine a A função fx e o esboço do gráfico da situação Resp fxቊ𝟎 𝟏 𝒆𝟎𝟏𝒙 𝒔𝒆 𝒙 𝟎 𝟎 𝒔𝒆 𝒙 𝟎 a A probabilidade da espera ser superior a 12 minutos Resp 03012 b O desvio padrão do tempo médio entre o pedido e o atendimento no restaurante Resp 10 Exercícios Verificar lista no moodle