Análise de Circuitos de Segunda Ordem - Circuitos RLC Paralelo

Sistemas de Segunda ordem Análise de Circuitos II Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 1 Introdução Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 2 Estudaremos circuitos contendo dois elementos de armazenamento de energia conhecidos como circuitos de segunda ordem porque são descritos por equações diferencias de segunda ordem Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 3 Assumimos que existe uma CI Vc ou IL são diferentes de zero Aplicando a LKC L R vt iRt C iCt iLt 0 R L C i i i 2 2 1 1 0 d v t dv t C v t dt R dt L 1 0 t v t dv t v d C R L dt 1 0 t d v t dv t d v d C dt R L dt dt Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 4 Vamos assumir que a resposta é de forma exponencial como para os circuitos de primeira ordem Necessitamos encontrar A e s 2 2 1 1 0 d v t dv t C v t dt R dt L st v t Ae 2 1 1 0 st st st CAs e Ase Ae R L 2 1 1 0 Aest Cs R s L 2 1 1 0 s RC s LC Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 5 2 1 1 0 s RC s LC equação característica 2 12 1 1 1 2 2 s RC RC LC 2 0 2 1 2 s 1 2RC LC 1 0 frequência natural não amortecida rads fator de amortecimento Nps Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 6 1 2 1 2 s t s t v t Ae A e 2 2 0 2 0 s s equação característica 1 Se ωo caso amortecimento supercrítico 2 Se ωo caso amortecimento crítico 3 Se ωo caso subamortecimento 2 0 2 1 2 s Resposta no tempo Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 7 Amortecimento supercrítico 0 2 0 2 1 2 s 1 2 1 2 s t s t v t Ae A e 1 Determine s1 e s2 usando os valores de RL e C 2 Determine os valores de A1 e A2 usando v0 e dv0dt usando analises de circuitos 1 2 0 v A A 1 1 2 2 dv0 s A s A dt Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 8 Amortecimento supercrítico 0 7H 6Ω vt iRt 142f iCt iLt Condição inicial vc0 0 iL0 10A 53 2 1 RC 6 1 0 LC 2 2 12 0 1 2 1 6 s s s Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 9 Amortecimento supercrítico 0 t t A e A e v t 6 2 1 Determine os valores de A1 e A2 2 1 0 2 0 1 0 0 A A A e A e v 420 6 0 6 42 1 10 0 0 10 0 0 2 1 0 6 2 1 0 A A A e Ae R dt C dv t R v i i i t t t t C L R CI de Vc00 LKC Condição inicial vc0 0 iL0 10A Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 10 Amortecimento supercrítico 0 1 2 0 A A 1 6 2 420 A A 1 2 84 84 A A 84 84 84 6 6 t t t t e e e e v t Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 11 Amortecimento crítico 0 2 2 12 0 s 1 2 0 t t t v t Ae A e A e 1 2 t t v t D te D e Para encontrar D1 e D2 usamos os valores iniciais de v0 e dv0dt 2 1 2 0 0 0 0 D D C i dt dv D V v C Está equação não satisfaz as 2 CI Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 12 Amortecimento crítico 0 7H 8573Ω vt iRt 142f iCt iLt Condição inicial vc0 0 iL0 10A 2 45 1 2 1 0 LC RC 2 2 12 0 245 s 0 0 1 2 2 0 0 0 v D e D e D 2 D 0 Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 13 Amortecimento crítico 0 LKC 0 245 245 1 1 0 1 0 0 10 0 0 1 10 245 0 42 1 10 0 42 R L C t t t t i i i v C dv t R dt D t e D e R D Condição inicial vc0 0 iL0 10A Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 14 Amortecimento crítico 0 t te v t 2 45 420 Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 15 Subamortecimento 0 2 2 12 0 s 12 d s j 2 2 0 d frequência de amortecimento 1 2 1 2 d d d d j t j t j t j t t v t Ae A e v t e Ae A e Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 16 Subamortecimento 0 1 2 d d j t j t t v t e Ae A e sin cos j e j Usando a identidade de euler 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 cos sin cos sin cos sin cos sin t d d d d t d d t d d v t e A t jA t A t jA t v t e A A t j A A t v t e B t B t 1 2 cos sin t d d v t e B t B t Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 17 Subamortecimento 0 Para encontrar B1 e B2 usamos os valores iniciais de v0 e dv0dt 1 0 0 B V v 1 2 0 0 C d i dv B B dt C 1 2 cos sin t d d v t e B t B t Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 18 Subamortecimento 0 7H 105Ω vt iRt 142f iCt iLt Condição inicial vc0 0 iL0 10A 2 2 1 RC 6 1 0 LC 2 2 2 0 d 2 1 2 cos 2 sin 2 t v t e B t B t Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 19 Subamortecimento 0 1 2 1 0 sin 0 cos0 0 B B B e v 1 B 0 2 sin 2 2 t B e v t t LKC 0 42 2 1 10 0 2 sin 2 2 cos 2 42 1 10 0 0 10 0 0 2 0 2 2 2 2 0 B t B e t B e R dt C dv t R v i i i t t t t C L R Condição inicial vc0 0 iL0 10A Resposta natural circuito RLC paralelo Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 20 Subamortecimento 0 297 2 210 2 B 2 297 sin 2 t v t e t Resposta natural circuito RLC série Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 21 L R vLt vRt C it vCt Assumimos que existe uma CI Vc ou IL são diferentes de zero Aplicando a LKT 0 R L C v v v 1 0 t di t i t R L i d dt C 2 2 1 0 d i t R di t i t dt L dt LC 1 0 t d di t i t R L i d dt dt C RLC paralelo RLC série Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 22 0 1 2 2 C i t dt R di t dt L d i t 0 1 1 2 2 L v t dt t dv R dt d v t C s t s t A e A e t v 2 1 2 1 LC RC RC s 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 2 1 2 s RC 2 1 LC 1 0 s t s t A e A e t i 2 1 2 1 LC L R L R s 1 2 2 2 1 2 2 0 2 1 2 s L R 2 LC 1 0 RLC paralelo RLC série Prof Julio Cesar Ceballos Aya Análise de Circuitos II 23 1 2 1 2 0 1 1 2 2 1 2 0 0 s t s t v A A dv s A s A dt v t Ae A e 0 2 0 1 2 1 2 0 0 0 C t t v V D i dv D D dt C v t D te D e 0 1 0 1 2 1 2 0 0 0 cos sin C d t d d v V B i dv B B dt C v t e B t B t 1 2 1 2 0 1 1 2 2 1 2 0 0 s t s t i A A di s A s A dt i t Ae A e 0 2 0 1 2 1 2 0 0 0 t t i I D di v D D dt L i t D te D e 0 1 0 1 2 1 2 0 0 0 cos sin d t d d i I B di v B B dt L i t e B t B t