Análise de Circuitos Elétricos II: Introdução à Transformada de Laplace

Analise de Circuitos Eletricos II Introducao a Transformada de Laplace Prof Julio Cesar Ceballos Aya 15 de maio de 2023 Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 1 32 A Transformada de Laplace L em Circuitos Eletricos Determinar a resposta transitoria de circuitos Encontrar a funcao de transferˆencia descricao da resposta em regime permanente Relacionar os comportamentos de um circuito nos domınios do tempo e da frequˆencia Transformar um conjunto de equacoes integrodiferenciais tempo em equacoes algebricas frequˆencia Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 2 32 Transformada de Laplace A Transformada de Laplace Unilateral da funao ft é dada por co Fs LFt Ftedt o onde s a jw Equsetie Lf Equagaie Biferenciaf Lui f Solugdo yl Solugao daEquagio ttm da Equagde Diferencial Algebrica BY FSG elt Vcoswt sin t 1 investane Transformada de Laplace co Fs LFt Ftetat o O objetivo é trabalhar com polindmios em s A envolve uma integral impropria Condicao de existéncia da a integral tem que convergir Jon lFtlentdt 00 Exemplos de funcdes sem L t e BY FSG Te Ceivesitrio elt coswt sin t 1 Transformada de Laplace Encontre a transformada de Laplace ft 1t fte 1t ft dt CO Fs LFt FteStdt o eta eet a BY FSG Transformada de Laplace Encontre a transformada de Laplace do seno aut e Jwt sinwt wt oo alvt e Jut Lsinwt ee eat o 2j oo esjwt e stjwt eat o 2j 1 1 1 OB sjw stijw Ww Lsinwt sinwt BX TSS Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 7 32 Propriedades Transformada de Laplace L Laft bgt alLft bLgt aFs bGs Fatores de escala Lfat fate dt a0 o xX at dx adt x 1 s Lfat aT Fxe3 fxe dx 0 a 4 Jo 1 s 3F 5 Propriedades Transformada de Laplace L LFt a1t a Ft a1t aeat o ft ae dt xt dx dt t 42 x0 fxe 8 dx o ee f fxe dx 0 Lft a1t a e Fs ow Gnneetério Propriedades Transformada de Laplace L DY foYor Taal KeM IE Mae Ue CO Li ft aen ent Ftetdt 0 CO fte S4t dt 0 Lft ae Fsa BY FSG Propriedades Transformada de Laplace L L wit ae at et Ty dt o dt at u a dv Integral por partes udv uv f vdu df stpj st L4vI1tpfte 0 ftse dt dt 0 0F0 s Fteadt o df L gut sFsf0 QR aio Propriedades Transformada de Laplace L A transformada de Laplace da segunda derivada de ft uma aplicacao repetida df a ta L ez Ltt slLf t f0 ssFs f0 Ff0 sFs sf0 f0 A transformada de Laplace para a nésima derivada fF L Ga sFss f0s F0 sf Y0 BY FSG Propriedades Transformada de Laplace L Integracado no tempo t Co t co t ct Fx Fxdetat fxdx edt 0 o Jo o Jo a JS s av u Integral por partes udv uv f vdu t 1 c Flsc Fs 0 Ss BY FSG Propriedades Transformada de Laplace L Diferenciacao na frequéncia Fs fte dt a calculando a derivada dF ae Fateat tftetdt Ltt ds o o a transformada de CL fica dFs Ltft eft S dFs Lit ft 1 eFt PNW iiiverstario Propriedades Transformada de Laplace L Desejamos saber o valor de f0 Usamos a propriedade da diferenciacdo df df Fsf0L4 e dt sFsF0 4 Th Le Podemos fazer lim sFs f00 f0 im sFs Teorema do valor inicial BY ss Propriedades Transformada de Laplace L Valor Final Desejamos saber o valor de fco Usamos a propriedade da diferenciaao im sFs F0 f qed df fco F0 s0 o dt 0 Podemos fazer f lim sF 00 lim sFs Teorema do valor final BY ss Propriedades Transformada de Laplace L Periodicidade no tempo A fungao ft periddica pode ser escrita como a soma de fungées deslocada no tempo ft At At t AtfAt T1t TAt27T1t2T onde ft OtT At 0 caso contrario A Lif t FsFisle e e3 sele 1 Fs F ee ee s 1 7 e7Ts Sio Propriedades Transformada de Laplace L Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 18 32 Exemplos Vamos ilustrar como usar a para resolver equacoes integrodiferenciais ordinarias e A corrente no resistor 6 dada por Ip Z art A corrente no inductor é dada por I J vitdt e A corrente no capacitor é dada por Ic CX lt L C vt BY FSG Centro Universitario Exemplos Determine a transformada de laplace de f t δt 21t 3e2t1t f t t2 sin2t1t usamos Lsin2t 2 s222 e diferenciacao na frequˆencia Da seguinte figura Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 20 32 Determine a transformada de laplace da seguinte funcdo periddica 2 0 1 2 3 4 St O periodo T2 a funcdo ft t11 ft 2t1t lt 1 2t1t2 t It1 ft 2t1t 2t 11t 1 21t 1 A Lif t 1 1 1 Als 2 233 e Fs 1 1 1 lL Fs To poem la eee ES Transformada inversa de Laplace 7 Seja Fs ame a LlFs é dada pela seguinte equacdo 1 ojoo ft Fse ds 2nJ ojoo onde o é uma constante maior que as raizes do denominador de Fs que sao conhecidos como pontos singulares BY FSG Ceivesitrio Transformada inversa de Laplace L1 Para calcular a L1Fs utilizase resultados ja existentes em tabelas que apresentam a funcao no domınio tempo e sua equivalente no domınio da frequˆencia Fs nums dens amsm am1sm1 a1s1 bnsn bn1sn1 b1s1 onde a e b sao constantes reais e m e n sao constantes inteiras m n e uma funcao impropria m n e uma funcao propria Usando o metodo de fracoes parciais na funcao propria Fs pode ser escrita como Fs F1s F2s Fns f t L1F1s L1F2s L1Fns f t f1t f2t fnt Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 23 32 Fracoes parciais O metodo de fracoes parciais usando diretamente o sinal de saıda no domınio s baseiase no tipo de raızes do denominador da funcao Dependendo das raızes podese ter trˆes metodos diferentes de obtencao da resposta temporal Tais metodos serao apresentados a seguir Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 24 32 Transformada inversa de Laplace 7 Pélos simples S4o pélos de primeira ordem Fs nums nuns dens s piS p2S Pn ky ko kn Fs 7 Gan tm Gre Para encontrar ki multiplicamos por s pi e fazemos s pi ky ko kn Fs sp 1 2 4 ye 5 FM on 6 ee HM te Fm loon De forma geral ki 5 PiFSle BY FSG Universtro Transformada inversa de Laplace 7 Pélos repetidos Fs tenha n pdlos repetidos em s p kn kn1 ky Fs 4 F 9 Ge op reps tt rep RO Calculamos k como fizemos no método anterior ky 5 Pr F5sp Para obter kn1 multiplicamos por s p e diferenciamos para livrarmos de ky n n kn n kn1 n ky s pFs sp s p Ot 8 P s p sp sp s pFs kn kn15 p kn2s p kas p d n d n 5 pFslep kn knas p knas p kas p ds ds sp d h 1 hna GUS BY FMen BYES Transformada inversa de Laplace 7 Para o mésimo termo 1 d h knm om S PFSsp m12n1 A transformada inversa de laplace para os termos fica 1 toleat Ls Kt sa n 1 Ou uvuv dtv v2 BY FSG Transformada inversa de Laplace L1 Polos complexos Fs tenha n polos complexos em s σ ωj Pode ser tratado do mesma forma que os polos reais simples mas ha uma algebra para chegar na resposta Existem uma forma chamada de completando o quadrado Seja Fs A1s A2 s2 as b F1s Realizamos a seguintes operacoes s2 as b s2 2αs α2 β2 s α2 β2 A1s A2 A1s α B1β A1 e A2 sao obtidos metodo algebraico Fica Fs A1s α s α2 β2 B1β s α2 β2 Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 28 32 Transformada inversa de Laplace L1 Exemplos Determine a L1 de Fs s212 ss2s3 Fs s32s6 ss12s3 Fs 2s26 ss24s13 Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 29 32 Polos e zeros Fs Uma funcao racional Fs K s z1s z2 s zm s p1s p2 s zn Polos raızes do denominador p1 p2 pn levam Fs a Zeros raızes do numerador z1 z2 zm levam Fs a 0 Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 30 32 Teorema do valor inicial e final V s IdcC s2 1RCs 1LC lim t0 vt lim s sV s lim t vt lim s0 sV s Prof Julio Cesar Ceballos Aya Analise de Circuitos Eletricos II 15 de maio de 2023 31 32 Use a transformada de laplace para resolver as seguinte equacoes e Vt 6vt 8vt 21t considere v0 1 e v0 2 hh t vt 5yt6 yrdr 12 0 2 BESS