Números Complexos e Análise de Circuitos Elétricos

Números Complejos Im Im xy y r θ 0 x Retangular z x j y Polar z r θ Exponencial z r ejθ j ejθ cosθ j sinθ Polar rectangular z r θ x r cosθ y r sinθ z r cosθ j sinθ Rectangular polar z x j y r x² y² Θ tg¹yx z x² y² tg¹yx Ejemplo Z 4 j5 polar r 4² 5² 64 Θ tg¹54 5134 Z 64 5134 Z 2 120 rectangular x 2 cos120 1 y 2 sin120 173 Z 1 j 173 Operações Complexo conjugado Fasores Identidade de euler aj heta cosTheta j sinTheta Re Im cosTheta Re aj heta sinTheta Im aj heta Vt Vm coswt phi Vm Re C ejwt phi Vm Re aj t cdot aj phi Re Vm ej cdot t Re Vm ej phi V Vm Lphi Vt Vm coswt phi Fator Rightarrow boldsymbolV Vm angle phi sinwt 90 coswt coswt pm 90 mp sinwt Im phi heta Re a avanço a atraso omega Redução de derivada integral Seja Vt Vp coswt phi Vt Re boldsymbolV ej omega t boldsymbolV Vp angle phi fracdVdt Vp omega sinwt phi omega Vp coswt phi 90 Re omega Vp ej omega t Re omega Vp ej phi ej omega t Re j omega boldsymbolV ej omega t extderivada fracdVdt leftrightarrow j omega boldsymbolV Integral Vt 4 sin 30t 50 V Determine a soma de Elementos no domínio da frequência Indutor Capacitor Impendância ω 2πf R V I ZL V I jωL ZC V I 1 jωC j ωC Exemplo 90 Ω 32 mH VS 2Zeq C 5 μF VSt 750 5000t 30 jω 5000 rads I é no domínio da frequência ZL jω 5000 32 x 103 j160 Ω ZC j ωC j 5000 5 x 106 j40 Ω 90Ω j160Ω VS 2Zeq I j40Ω Zeq 90 j160 j40 90 j120 150 5313 V 750 30 V I 750 30 150 5313 5 2313 A Exemplo Is 8 cos200000t ZL jωL j8 Ω ZC j ωC j5 Ω Req 1 1R1 1Rz 1Rn Zeq 1 Yeq admitância 5 Siemens Y1 1 10 S Y2 1 6 j8 006 j008 S Y3 1 j5 j02 S Yeq 01 006 j008 j02 016 j012 02 3687 S Zeq 5 3687 Ω V Zeq I 40 3687 V I1 40 3687 10 I2 40 3687 10 5313 I3 40 3687 5 90 Análises em regime permanente CA Exemplo Determine Vo usando o conceito de transformação de fonte Vo 3612 j1884 V Circuito equivalente Thevenin j40 12 120 Vk 60 10Vx 2th b 12 120 10Vx 60 12 120 j40 10 Vx 100 10I 10 j40 120 10Vx 0 2 I Vx 100 180 12687 A Vth 10Vx 120I Vth 83522 2017 V 2th 1 Determinar I curto circuito 2 usar fonte auxiliar 1 Determinar I curto circuito 100 10I j40I 0 I frac10010 j40 058 235j Vx 100 10I 10Vx 120I2 0 10 100 10058 j235 120I2 0 I2 784 j196 Isc I I2 843 j03922 Zth fracVthIsc 9120 j3040 Omega 2 usar fonte auxiliar I₄ Vₜ 90 j40 120 10 j40 Transformação Δ Y Zan j42 j42 j4 8 j4 16 j08 Z1 Zbn j3 Zcn j6 8 00038 j01980 Ω Método análise malhas I1 26 j52 A Fonte de corrente compartilhada por duas malhas super malha I2 24 j58 A Iκ 2 j6 A V1 1 j2 I1 78 j104 V V2 12 j16 Iκ 72 j104 V V15 05 V1 j V1V2 j 0 V3 1 j3 I2 150 j130 V V2V1 j V2 02j04 02j0402j04 5 0 Quando entre dois nós essenciais existe APENAS uma fonte de tensão