Análise de Sistemas de Controle: Lugar Geométrico das Raízes

Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 2 Gs é a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo do tipo SISO Hs é a função de transferência do ramo de realimentação K é um número real A função de transferência de malhafechada deste sistema 1 MF KG s G s KG s H s Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 3 1 MF KG s G s KG s H s Localização dos polos em malha fechada Movimentação dos polos de acordo com um ganho K Quando o ganho K varia varia também a eq característica Determinação das raízes pode ser um procedimento complexo dependendo da ordem da função Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 4 O método do Lugar Geométrico das Raízes foi desenvolvido por W R Evans e apresentado em um artigo publicado em 1948 Este método tem por objetivo representar graficamente o deslocamento dos polos de malhafechada de um sistema linear quando sujeito a variação de um ou mais parâmetros O método do LGR é muito eficiente para a análise e projeto de sistemas de controle lineares permitindo concluir aspectos relacionados a estabilidade e a resposta transitória destes sistemas Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 5 1 MF KG s G s KG s H s A análise proposta por Evans é realizada com base nas possíveis raízes da equação do denominador Equação característica admitindo o parâmetro K como variável 1 0 1 KG s H s KG s H s 1 KG s H s Condição de módulo Condição de fase 2 1180 012 o KG s H s k k 0 K Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 6 1 1 2 3 4 K s z G s H s s p s p s p s p 1 1 2 3 4 G s H s 1 1 2 3 4 B KG s H s A A A A Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 7 Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 8 Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 9 Passo 0 Obtenha a equação característica 1 0 KG s H s 1 2 1 2 1 0 1 0 m n s z s z s z K KP s s p s p s p Modifique a equação para que o parâmetro de interesse apareça como fator Passo 1 Localize os pólos e zeros no plano s Por convenção se usa o para os zeros e x para os pólos O números de ramos do LGR é igual ao número de pólos O LGR da eq 1KPs0 começa nos pólos de Ps e terminas nos zeros de Ps a medida que que K aumenta Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 10 Passo 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real 1 2 1 2 2 1180 o m n s z s z s z s p s p s p k Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 11 Passo 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real 0 LGR 1 1 2 4 s G s s s s s 1 0 0 2 0 4 0 s s s s Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 12 Passo 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real 1 05 2 4 s G s s s s s 0 1 LGR 1 0 180 2 0 4 0 s s s s Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 13 Passo 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real 1 2 LGR 1 15 2 4 s G s s s s s 1 180 180 2 0 4 0 s s s s Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 14 Passo 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real 2 4 LGR 1 25 2 4 s G s s s s s 1 180 180 2 180 4 0 s s s s Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 15 Passo 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real 4 LGR 1 45 2 4 s G s s s s s 1 180 180 2 180 4 180 s s s s Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 16 Passo 3 Determinar as assíntotas dos lugares das raízes Quando K infinito nm ramos do LGR tendem para tendo como assíntotas retas com origem no ponto e inclinação 1 1 n m j i j i p z n m 0 180 2 1 01 k k n m Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 17 Passo 4 Determinar o ponto de partida do eixo real O ponto de partida do eixo real corresponde a um ponto no plano s onde ocorrem raízes múltiplas da equação característica 0 dK ds Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 18 Passo 5 Determinar os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Usamos o critério de Routh Hurwitz Passo 6 Completar o esboço Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 19 Esboçar o gráfico do lugar das raízes para 1 1 2 K G s H s s s s Passo 0 1 0 1 2 K s s s Passo 1 Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 20 Esboçar o gráfico do lugar das raízes para 1 1 2 K G s H s s s s Passo 2 Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 21 Esboçar o gráfico do lugar das raízes para 1 1 2 K G s H s s s s Passo 3 0 1 2 1 3 0 0 0 0 180 2 1 3 0 180 60 0 3 0 180 2 1 180 1 3 0 k k k k Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 23 Esboçar o gráfico do lugar das raízes para 1 1 2 K G s H s s s s Passo 4 3 2 2 1 0 1 2 3 2 6 2 0 04226 15774 K s s s K s s s dK s s ds s s Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 24 Esboçar o gráfico do lugar das raízes para 1 1 2 K G s H s s s s Passo 5 6 K 3 3 2 2 6 0 3 2 s s s s s j 3 2 6 0 2 s s j Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 25 Esboçar o gráfico do lugar das raízes para 1 1 2 K G s H s s s s Passo 6 Prof Julio Cesar Ceballos Aya Sistemas de Controle 26 Esboçar o gráfico do lugar das raízes para 2 3 2 2 K G s H s s s s s 6 2 4 9 K s G s H s s s s 4 3 1 2 K s s G s H s s s