Aula Pratica 8 Sistemas de Controle Dinamico - Analise de Circuitos RLC e RC

1 UC SISTEMA DE CONTROLE DINÂMICO E MODERNO AULA PRÁTICA 8 Curso Engenharias Turma EEL 1AN ESE3 Semestre 20231 Professoras Elza Koeler de Barros Ribeiro presencial Guilherme Lopes de Figueiredo Brandão presencial Euzébio das Dores de Souza virtual 2 Objetivos da Aula Prática Realizar uma síntese dos conceitos apresentados na Aula 7 aula do dia 12042023 Finalizar os conteúdos da Aula 7 análise do circuito RLC série Fazer a Aula Prática 7 3 INTRODUÇÃO Na aula passada vimos a modelagem no domínio do tempo do circuito RC assim como o comportamento desse circuito período transitório e permanente quando submetidos a um sinal de tensão degrau a modelagem no domínio da frequência obtenção da função de transferência e a análise do comportamento de um sistema de controle representado por um circuito de primeira ordem RC por meio dos Polos que são os valores de s de uma função de transferência que fazem com que a FT se torne infinita Vimos mais uma vez que a função degrau nos dá a informação completa do comprtamento dos circuitos RL e RC representados por equação diferencial de primeira ordem transitório e o regime permanente sendo portanto muito utilizada para análise de FT conhecida e desconhecida Começamos a analisar por meio dos polos o comportamento de uma função de transferência de segunda ordem REVISANDO Aplicando Laplace nas equações anteriores temos Lei Kirchhoff das tensões Portanto a Função de Transferência do sistema é a relação da entrada pela saída quando as condições iniciais são nulas 5 REVISANDO RESPOSTA NATURAL SEM FONTE a 1 RC A resposta natural tende a zero num sistema estável 6 REVISANDO RESPOSTA COMPLETA A PARTIR DA APLICAÇÃO DE UM DEGRAU resposta forçada Esta curva é a resposta ao degrau obtida nos terminais do capacitor Observase que existe um período transitório que se extingue resposta natural permanecendo apenas a resposta forçada a da fonte degrau em regime permanente V0t degrau 7 A inclinação da curva depende de R e C ou seja da constante de tempo RC Se eu quero que o período transitório demore mais ou seja inclinação menor da curva para se extinguir a minha constante de tempo tem que ser maior vou aumentar os valores de R eou de C ou ambos REVISANDO Notese que quanto menor a constante de tempo τ mais rápida será a resposta do sistema A seguir Figura 56 mostra varias curvas para yt 1 e1τt com diferentes constantes de tempo τ 9 REVISANDO Polos São os valores de s de Es de uma função de transferência que fazem com que a FT se torne infinita Em outras palavras são as raízes de Ss 0 DENOMINADOR DA FT Zeros São os valores de s de Ss de uma função de transferência que fazem com que a FT se torne zero Em outras palavras são as raízes de Ss 0 NUMERADOR DA FT FT SsEs 10 PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 11 PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 12 PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 13 Polo e zero da FT Aplicando Frações Parciais para encontrar a Transformada de Laplace Inversa qualquer função racional quociente de polinômios pode ser expressa como soma de frações parciais Exemplo da aula passada 14 A classificação dos sistemas pode ser feita considerando a localização dos polos no plano complexo Sistema estável os polos de um sistema de malha fechada estão no semiplano esquerdo possuem parte real negativa Assim sistemas estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com polos apenas no semiplano da esquerda Sistema instável Possui função de transferência em malha fechada com pelo menos um polo no semiplano da direita ou polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário Sistema marginalmente estável Possui função de transferência em malha fechada com apenas polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 e polos no semiplano esquerdo 15 Circuito RLC sistemas de segunda ordem Vamos agora estender os conceitos de polos zeros e resposta transitória aos sistemas de segunda ordem Comparado à simplicidade de um sistema de primeira ordem um sistema de segunda ordem vai ser rearranjado para exibir uma ampla variedade de respostas que devem ser analisadas e descritas no domínio de Laplace conforme a seguir Enquanto a variação de um parâmetro de um sistema de primeira ordem simplesmente altera a velocidade da resposta as variações nos parâmetros R L e C de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta Por exemplo um sistema de segunda ordem pode apresentar características muito parecidas com as de um sistema de primeira ordem ou dependendo dos valores dos componentes apresentar oscilações amortecidas ou puras na resposta transitória a 1 RC 16 Circuito RLC sistemas de segunda ordem Para nos familiarizarmos com a ampla variedade de respostas antes de formalizar nossa discussão vamos observar alguns exemplos numéricos de respostas de sistemas de segunda ordem Atenção O termo no numerador é simplesmente uma escala ou um fator de multiplicação da entrada que pode assumir qualquer valor sem afetar a forma dos resultados deduzidos Atribuindo valores apropriados aos parâmetros a e b podemos mostrar todas as respostas transitórias de segunda ordem possíveis A resposta ao degrau unitário pode então ser obtida utilizando Cs RsGs em que Rs 1s seguido de uma expansão em frações parciais e da transformada inversa de Laplace 17 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Outra forma utilizada para representar um sistema de segunda ordem Circuito RLC série 18 Circuito RLC sistemas de segunda ordem Caso Geral vamos modificar os parâmetros para analisar as possíveis respostas transitórias resposta natural do sistema para avaliar a estabilidade do mesmo Esta função possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitário e dois polos reais provenientes do sistema O polo da entrada na origem gera a resposta forçada constante cada um dos dois polos do sistema no eixo real gera uma resposta natural exponencial cuja frequência exponencial é igual à posição do polo Esta resposta é chamada de superamortecida 19 Circuito RLC sistemas de segunda ordem Esta função possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitário e dois polos complexos provenientes do sistema Observamos que a parte real do polo corresponde à frequência de decaimento exponencial da amplitude da senoide enquanto a parte imaginária do polo corresponde à frequência da oscilação senoidal A resposta subamortecida se aproxima do valor em regime permanente através de uma resposta transitória que é uma oscilação amortecida 20 Circuito RLC sistemas de segunda ordem Observamos que não existe polo na parte real polo corresponde à frequência de decaimento exponencial da amplitude da senoide Como só existem polos que estão na parte imaginária correspondente à frequência da oscilação senoidal a resposta oscila Observe que a ausência de uma parte real no par de polos corresponde a uma exponencial que não apresenta decaimento 21 Circuito RLC sistemas de segunda ordem Esta função possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitário e dois polos reais iguais provenientes do sistema O polo da entrada na origem gera a resposta forçada constante cada um dos dois polos do sistema no eixo real gera uma resposta natural exponencial cujas frequências exponenciais são iguais à posição do polo Esta resposta é chamada de criticamente amortecida As respostas criticamente amortecidas são as mais rápidas possíveis sem ultrapassagem que é uma característica da resposta subamortecida 22 Síntese As respostas ao degrau para os quatro casos de amortecimento discutidos Observe que o caso criticamente amortecido é o divisor entre os casos superamortecidos e os casos subamortecidos e é a resposta mais rápida sem ultrapassagem 23 Circuitos de 2ª ordem são formados pela associação entre resistores capacitores e indutores Suas respostas são descritas por equações diferenciais de 2ª ordem Polinômio de grau 2 s2 s c 24 A solução para circuitos de segunda ordem requer que sejam definidas as condições iniciais e finais do circuito ou seja as tensões 0 e no capacitor 𝑣 𝑣 assim como as corrente 0 e no indutor 𝑖 𝑖 A partir desses valores iniciais é possível obter as derivadas da tensão e corrente no instante inicial 0 e 0 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑖 𝑑𝑡 25 Exemplo Considerando que a chave permaneceu fechada por um longo tempo determine a 𝑖0 e 0 𝑣 condição inicial b 𝑑𝑖0 e 0 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 c 𝑖 e 𝑣 condição final 26 Exemplo Considerando que a chave permaneceu fechada por um longo tempo determine a 𝑖0 e 0 𝑣 b 𝑑𝑖0 e 0 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 c 𝑖 e 𝑣 27 Exemplo Considerando que a chave permaneceu fechada por um longo tempo determine a 𝑖0 e 0 𝑣 b 𝑑𝑖0 e 0 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 c 𝑖 e 𝑣 28 Exemplo Considerando que a chave permaneceu fechada por um longo tempo determine a 𝑖0 e 0 𝑣 b 𝑑𝑖0 e 0 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 c 𝑖 e 𝑣 29 Exemplo Considerando que a chave permaneceu fechada por um longo tempo determine a 𝑖0 e 0 𝑣 b 𝑑𝑖0 e 0 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 c 𝑖 e 𝑣 30 Resposta de um circuito RLC série sem fonte considerando a corrente inicial 𝐼0 e o capacitor carregado com tensão inicial 𝑉0 Circuito RLC Série Resposta Natural Derivando a equação 31 Resposta de um circuito RLC série sem fonte considerando a corrente inicial 𝐼0 e o capacitor carregado com tensão inicial 𝑉0 Circuito RLC Série Resposta Natural A resposta transiente é sempre uma função exponencial e A é uma constante 32 Resposta de um circuito RLC série sem fonte considerando a corrente inicial 𝐼0 e o capacitor carregado com tensão inicial 𝑉0 Circuito RLC Série Resposta Natural 33 Resposta de um circuito RLC série sem fonte considerando a corrente inicial 𝐼0 e o capacitor carregado com tensão inicial 𝑉0 Circuito RLC Série Resposta Natural 34 Resposta de um circuito RLC série sem fonte considerando a corrente inicial 𝐼0 e o capacitor carregado com tensão inicial 𝑉0 Circuito RLC Série Resposta Natural Amortecimento supercrítico α ω0 Amortecimento crítico α ω₀ Ocorre quando C 4L R² Verificação α R 2L ω₀ 1 LC R 2L 1 LC R 2L² 1 LC R² 4L² 1 LC R² 4L 1 C C 4L R² Nesse caso as raízes frequências naturais serão iguais à α s₁ α α² ω₀² s₂ α α² ω₀² s₁ s₂ α it A₁ eᵅᵗ A₂ eᵅᵗ A₁ A₂ eᵅᵗ A₃ eᵅᵗ Não é possível encontrar uma solução pois são necessárias duas constantes para definir as condições iniciais em uma equação diferencial de segundo grau Amortecimento crítico α ω₀ Ocorre quando C 4L R² α R 2L ω₀ 1 LC Assim partimos novamente da equação diferencial d²idt² R L didt 1 LC i 0 d²idt² 2α didt α² i 0 ddt didt αi α didt αi 0 f didt αi dfdt αf 0 Possível Solução f A₁ eᵅᵗ didt αi A₁ eᵅᵗ eᵅᵗ didt α eᵅᵗ i A₁ ddt eᵅᵗ i A₁ ddt eᵅᵗ i A₁ eᵅᵗ i A₁ t A₂ it A₁ t A₂ eᵅᵗ 3679 do valor inicial Subamortecimento α ω₀ Ocorre quando C 4L R² Verificação α R 2L ω₀ 1 LC R 2L 1 LC R 2L² 1 LC R² 4L² 1 LC R² 4L 1 C C 4L R² Nesse caso as raízes frequências naturais serão complexas s₁ α ω₀² α² α jωd s₂ α ω₀² α² α jωd Frequência Natural Amortecida ωd ω₀² α² it A₁ eα jωd t A₂ eα jωd t it eαt A₁ eʲωd t A₂ eʲωd t it eαt B₁ cos ωd t B₂ sin ωd t 39 Slide 21 criticamente amortecido decaimento mais rápido Slide 21 amortecido supercrítico decaimento mais lento nos moldes de uma função puramente exponencial