Transformada Z vs Transformada de Fourier - Aplicações e Diferenças no PDS

Embora a transformada Z seja uma ferramenta utilizada no estudo de sistemas de tempo discreto a transformada de Fourier ainda é a mais utilizada no Processamento Digital de Sinais PDS Relacione algumas situações em que o emprego da transformada Z é mais apropriado para a resolução de problemas que não podem ser resolvidos através da transformada de Fourier NALON J A Introdução ao Processamento Digital de Sinais Rio de Janeiro LTC 2013 Depois de compreender as diferenças e similaridades entre as transformadas Z e de Fourier represente as principais diferenças entre essas duas transformadas graficamente discorra sobre suas áreas de aplicações e vantagens de utilizarmos um método ou outro Todos os sinais podem ser representados por transformada de Fourier e transformada Z 1 REPRESENTAÇÕES DE SEQUÊNCIAS POR TRANSFORMADA DE FOURIER I A síntese de um sinal é a super posição de funções harmônicas complexas Desta forma uma sequência é a combinação linear dada por x n 1 2 π π π X e jw e jωndω1 Em que X e jω n x ne jωn2 Neste caso xn é representado como uma superposição de senoides complexas na forma 1 2π X e jωe jωn dω3 1 Transformada de Fourier Inversa 2 Transformada de Fourier Xe jω determina a importância relativa de cada componente senoidal complexa A transformada de Fourier é uma expressão para calcular Xe jω a partir da sequência xn de modo que se analisa xn e determinase o quanto de cada componente em frequência necessário para sintetizar xn Assim a transformada é um número complexo tal que X e jωXR e jω j XIe jω X e jω XR e jω magnitude e j X e jω fase A resposta em frequência de um sistema LIT é a Transformada de Fourier da resposta ao impulso já a resposta ao impulso de um sistema pode ser obtida a partir da resposta em frequência pela transformada inversa h n 1 2π π π X e jwe jωnd ω As condições para Xe jω existir são XR e jω ω Assim XR e jω n x n e jωn n x n e jωn n x n e jωn Logo n x n Portanto se xn for somável em valor absoluto então Xe jω EXISTE As sequências tais que n xn São denominadas estáveis Sendo que qualquer sistema estável terá uma resposta em frequência finita e contínua 2 TRANFORMADA Z I A Transformada Z bilateral é definida como X z n x n z n II Já a Transformada unilateral é X z n0 x n z n III A transformada bilateral será igual a transformada unilateral se x n 0 n0 zr e jω Logo podemos utilizar a seguinte notação para a transformada z Z x n n0 x n z nXz x n Z X z IV A Relação entre a Transformada Z e Transformada de Fourier pode ser dada fazendo zr e jωm X r e jω n0 x nr e jωm n X r e jω n x nr ne jωn V A Transformada Z pode ser interpretada como a Transformada de Fourier do produto de xn e r n Restringindo z1 o que equivale a fazer r1 logo X z Xe jω VI Como a transformada Z é uma função de uma variável complexa é conveniente interpretála no plano z complexo Para representar a variável complexa utilizase a relação de Euler que é dada por e jϕcos ϕ jsenϕ Sendo que graficamente temos Assim sen 2 ϕ cos 2ϕ1 O conjunto da circunferência unitária é o conjunto de pontos ze jω para 0ω2 π A Transformada Z calculada nesta circunferência corresponde a transformada de Fourier VII Se calcularmos Xz no plano z tomando w0 e z1 passando por ωπ 2 com z j e z1para ωπ obteremos a transformada de Fourier para 0ωπ Para que o cálculo para πω2π representa o rebatimento do espectro VIII Além do rebatimento do espectro pelo círculo unitário observase a periodicidade da Transformada 21 REGIÃO DE CONVERGÊNCIA RDC TRANSFORMADA Z I Para qualquer sequência dada xn o conjunto de valores de z pela qual Xz converge é chamado de RDC II Para a convergência X z n x n z n Portanto a Transformada irá convergir se z n convergir III Tomando z como um raio de circunferência a região de convergência pode ser dada por Assim a convergência da transformada de Fourier de tempo discreto se dá quando a circunferência unitária é englobada pela RDC IV Portanto é correto dizer que todos os sinais podem ser representados tanto pela transformada de Fourier quanto pela transformada Z mas a escolha da transformada mais apropriada dependerá do tipo de sinal do contexto e do domínio em que se está trabalhando