Cinemática do Movimento Plano de um Corpo Rígido

PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Cinemática do movimento plano de um corpo rígido PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Movimento plano de um corpo rígido Ocorre quando todas as partículas de um corpo rígido se deslocam ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano fixo Há três tipos de movimentos planos Translação Ocorre se todo segmento de reta sem mantémse paralelo à sua direção inicial durante todo movimento Entretanto se dão ao longo de linhas curvas equidistantes o movimento é de translação curvilínea PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Rotação em torno de um eixo fixo Quando um corpo rígido gira em torno de um eixo todos seus pontos exceto os situados no eixo de rotação movemse ao longo de trajetórias circulares PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Movimento plano geral Quando um corpo está submetido a um movimento plano geral ele cumpre uma combinação de uma translação e uma rotação PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Translação Considere um corpo que é submetido a uma translação retilínea ou curvilínea no plano xy PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Posição As posições dos pontos A e B sobre o corpo são definidas em relação a um sistema de referência fixo x y utilizando vetores de posição rA e rB O sistema de coordenadas x e y está fixo no corpo e tem sua origem em A ponto base A posição de B em relação a A é denotada pelo vetor posição relativa rAB PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Velocidade Uma relação entre as velocidades instantâneas de A e B é obtida fazendo a derivada temporal da equação anterior Va e Vb são velocidades absolutas já que esses vetores são medidos em relação aos eixos x e y e o termo drABdt 0 visto que o módulo e a direção de rAB é constante por definição de corpo rígido PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Aceleração Derivandose em relação ao tempo a equação de velocidade obtémse uma relação semelhante entre as acelerações instantâneas de A e B PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Rotação em torno de um eixo fixo Quando um corpo rotaciona em torno de um eixo fixo qualquer ponto P localizado no corpo se desloca em trajetória circular PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Movimento Angular Visto que um ponto no eixo de rotação não pode ter movimento angular e que apenas linhas ou corpos sofrem este tipo de movimento Considere o corpo mostrado na figura e o movimento angular de uma linha radial r localizada dentro do plano sombreado PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Posição e deslocamento angular As posição angular de r é definida pelo ângulo θ medido a partir de uma linha de referência fixa em relação a r O deslocamento é uma variação na posição angular e pode ser medida como um diferencial dθ pode ser em graus radianos ou revoluções onde 1 rev 2π rad PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Velocidade Angular A taxa temporal de variação na posição angular é chamada velocidade angular ω ômega Visto que dθ ocorre durante um instante de tempo dt então A unidade no sistema internacional é em rads PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Aceleração Angular A aceleração angular α mede a taxa temporal de variação da velocidade angular então A direção α é a mesma de ω porém se ω decresce então α é denominado desaceleração angular e tem sentido oposto Eliminando dt nas equações de aceleração e velocidade angular obtemos 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝜔 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝜔 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝛼 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜔 𝛼 igualando PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Aceleração Angular Constante Se a aceleração de um corpo é constante então as equações anteriores quando integradas resultam em um conjunto de fórmulas que relacionam para o corpo a velocidade angular a posição angular e o tempo c PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Movimento do Ponto P Na medida em que o corpo rígido gira o ponto P se desloca ao longo de sua trajetória circular de raio r com centro no ponto O PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Posição e deslocamento A posição de P é definida pelo vetor posição r que se estende de O a P Se o corpo gira dθ então P vai se deslocar ds rdθ PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Velocidade A velocidade de P tem uma intensidade que pode ser determinada dividindo se ds rdθ por dt de maneira que PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Aceleração PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Análise do movimento absoluto PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Análise do movimento relativo velocidade Para ver separadamente as componentes de translação e rotação de um movimento plano geral usaremos uma análise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos de eixos coordenados onde o sistema de coordenadas xy é fixo e mede a posição absoluta de dois pontos A e B do corpo e a origem do sistema de coordenadas xy será fixada no ponto A Os eixos do sistema xy transladam em relação ao sistema fixo mas não gira com o corpo PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Posição O vetor posição ra especifica localização do ponto base A e o vetor posição relativa rab localiza o ponto B em relação ao ponto A Pela adição de vetores a posição de B é então PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Deslocamento PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Velocidade Para se determinar a relação entre as velocidades dos pontos A e B é necessário derivar a equação da posição ou dividir a equação do deslocamento por dt Disso resulta PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Velocidade Sabendo que 𝑑𝑟𝐵𝐴 𝑑𝑡 𝑟𝐵𝐴 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑟𝐵𝐴 ሶ𝜃 𝑟𝐵𝐴𝜔 Temos PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA As equações da velocidade pode ser usada de maneira prática para estudar o movimento plano geral de um corpo rígido que esteja conectado por pino ou em contato com outros corpos em movimento Por exemplo o ponto A na barra de ligação AB tem de se deslocar ao longo de uma trajetória horizontal enquanto B se desloca ao longo de uma trajetória circular As direções de va e vb podem ser portanto estabelecidas visto que elas são sempre tangentes às suas trajetórias de movimento No caso da roda que rola sem deslizar o ponto A na roda pode ser escolhido no solo assim A tem momentaneamente velocidade zero visto que o solo não se move Além disso o centro da roda B se desloca ao longo de uma trajetória horizontal assim vb é horizontal PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Como o produto de vetores unitários podem ser obtidos por PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Centro instantâneo de velocidade nula A velocidade de qualquer ponto B localizado sobre um corpo rígido pode obtida de uma maneira muito direta escolhendo o ponto A para ser um ponto que tem velocidade nula Va0 no instante considerado assim Visto que o ponto A coincide com o CI e desta forma B se desloca momentaneamente em torno de CI em trajetória circular em outras palavras o corpo parece girar em torno do eixo instantâneo Exemplo roda de bicicleta imagina que a roda está ligada por um pino no ponto CI determinando assim a velocidade dos pontos BO e C PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Análise do movimento relativo aceleração Uma equação que relaciona as acelerações de dois pontos sobre um corpo rígido submetido ao movimento plano geral pode ser determinada derivando a equação de em relação ao tempo PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA No caso de um corpo rígido que está conectado por um pino a outros corpos deve ser observado que os pontos que são coincidentes no pino se deslocam com a mesma aceleração por exemplo o ponto B das barras AB e BC tem a mesma aceleração aB já o ponto C tem aceleração aC horizontal PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Referências HIBBELER RC Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª Ed São Paulo PentriceHall 2011 JEWETT JÚNIOR John W SERWAY Raymond A Mecânica Física para Cientistas e Engenheiros 8ª Ed São Paulo Cegage Learning 2011