Cinética do Movimento Plano e Momento de Inércia em Engenharia Mecânica

PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Cinética do movimento plano de um corpo rígido força e aceleração PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Momento de Inércia Como um corpo tem tamanho e forma definidos a aplicação de um sistema de forças não concorrentes pode provocar translação e rotação Os aspectos translacionais são governados pela equação F ma e os aspectos rotacionais causados por um torque ou momento M são governados por uma equação da forma M Iα Onde I é denominado momento de inércia que é a medida da resistência de um corpo a uma aceleração angular Definimos o momento de inércia como Onde r é a distância do elemento de massa arbitrário dm ao eixo z A unidade no SI é Kgm2 PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Se o corpo é feito de uma densidade variável ρ ρxyz a massa elementar dm pode ser expressa em termos da densidade e do volume dm ρdV Substituindo na expressão anterior temos No caso em que a densidade é uma constante esta pode ser retirada do sinal de integração e a integral passa a ser uma função da geometria do corpo PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROCEDIMENTOS DE ANÁLISE PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Teorema dos eixos paralelos Se o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa for conhecido então o momento de inércia de qualquer outro eixo paralelo poderá ser determinado usando o teorema dos eixos paralelos Se o eixo z passa pelo centro de massa G o momento de inércia em relação ao eixo z pode ser escrito como PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Corpos compostos Se um corpo for constituído de um dado número de formas seu momento de inércia poderá ser determinado pela soma algébrica dos momentos de inércia das formas constituintes em relação a um dado eixo PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Equações da cinética do movimento plano Vamos considerar um corpo rígido com a origem do sistema de coordenadas coincidente com um ponto arbitrário P no corpo Por definição esses eixos não giram e são fixos ou transladam com velocidade constante PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Equação de movimento translacional Visto que a soma de todas as forças externas agindo no corpo é igual ao produto da massa do corpo pela aceleração de seu centro de massa G PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Equação de movimento rotacional Como mostrado na figura Fi representa a resultante das forças externas atuando sobre a partícula e fi é a resultante das forças internas Se a partícula tem uma massa mi e sua aceleração é ai então através do diagrama cinético somando os momentos em relação ao ponto P teremos PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Os torques ou momentos em relação ao ponto P podem ser expressos em termos da aceleração de P se o corpo tem uma aceleração angular α e uma velocidade angular ω então pelo uso a equação temos PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Sabendo que as integrais são usadas para localizar G em relação a P Momento de inércia em relação a z Assim Se P for coincidente com G então PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA A equação também pode ser escrita em ternos da componentes x e y de aG e o momento de inércia do corpo IG Utilizando o teorema dos eixos paralelos 𝐼𝑝 𝐼𝐺 𝒎 ഥ𝑥𝟐 ത𝑦𝟐 e substituindo na equação e rearranjando os termos temos PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Como o produto de vetores unitários podem ser obtidos por PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Este resultado indica que quando os momentos das forças externas mostradas no diagrama de corpo livre são somados em relação a P eles são equivalentes à soma dos momentos cinéticos das componentes de maG em relação a P mais o momento cinético de Iα PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Equações de movimento translação Quando um corpo rígido sofre uma translação todas as partículas do corpo têm a mesma aceleração Além disso α0 caso em que a equação de movimento rotacional aplicada ao ponto G se reduz a uma forma simplificada σ 𝑀𝐺 0 PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Translação Retilínea Quando um corpo é submetido à translação retilínea todas as partículas do corpo placa se deslocam ao longo de trajetórias retilíneas paralelas Visto que 𝐼𝐺𝛼 0 apenas maG é mostrado no diagrama cinético Desta forma as equações do movimento que se aplicam neste caso tornamse PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Também é possível somar os momentos em relação a outros pontos dentro ou fora do corpo caso em que o momento de maG tem que ser levado em consideração Por exemplo se o ponto A é escolhido o qual se encontra a uma distância perpendicular d da linha de ação maG a seguinte equação de momento se aplica PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Translação Curvilínea Quando um corpo é submetido à translação curvilínea todos os eus pontos descrevem trajetórias curvilíneas paralelas Neste caso usase um sistema inercial com origem coincidente com o centro de massa e eixos orientados nas direções tangencial e normal As equações são então PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Equações de movimento rotação em torno de um eixo fixo Considerando um corpo rígido placa que está restrito a girar em torno de um eixo fixo perpendicular ao plano e passando pelo pino O A velocidade e a aceleração angular são causadas por forças externas e momentos binários atuando sobre o corpo Como o centro de massa G do corpo se desloca em torno de uma trajetória circular a aceleração desse ponto é representada pelas suas componentes normais e tangenciais PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Os diagramas de corpo livre e dinâmico são mostrados O peso do corpo W mg e a reação do pino Fo estão incluídos no diagrama de corpo livre pois estas são forças externas agindo no corpo No diagrama dinâmico são mostrados as componentes das forças normal e tangencial que tem direção e sentido de suas acelerações O vetor IGα tem a mesma direção e sentido de α e módulo IGα onde IG momento de inércia do corpo calculado em relação ao eixo perpendicular ao plano e passa por G Assim as equações que se aplicam ao corpo podem ser escritas na forma PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Também podemos utilizar um somatório de momentos em torno do ponto O Observemos que o momento de maGn não etá presente pois a reta que contém este vetor passa por O desta forma PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Substituindo podemos reescrever a equação anterior como Do teorema dos eixos paralelos portanto o termo entre parêntese representa o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação fixo passando por O assim podemos reescrever as três equações de movimento para o corpo como PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Equações de movimento movimento plano geral PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Em alguns problemas poderá ser conveniente somar os momentos em relação a um ponto P diferente de G PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Problemas de rolamento com atrito Problemas que envolvem rodas cilindros ou corpos de forma semelhante que rolam sobre uma superfície áspera Devido aos carregamentos aplicados podemos não saber se o corpo rola sem escorregar ou se escorrega enquanto rola Por exemplo consideremos o disco da figura que possui massa m e está submetido a uma força P O diagrama de corpo livre mostra como aG está orientada para direita e α indica a rotação no sentido horário temos PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA A hipótese de não escorregamento deve ser verificada Para não ocorrer escorregamento Se A equação deverá ser refeita pois neste caso o disco escorrega enquanto rola PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Referências HIBBELER RC Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª Ed São Paulo PentriceHall 2011 JEWETT JÚNIOR John W SERWAY Raymond A Mecânica Física para Cientistas e Engenheiros 8ª Ed São Paulo Cegage Learning 2011