Quantidade de Movimento e Impulso em Corpo Rígido

PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Cinética do movimento plano de um corpo rígido impulso e quantidade de movimento PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Quantidade de movimento Quantidade de movimento linear É determinada somandose vetorialmente as quantidades de movimentos lineares de todas as partículas do corpo ou seja 𝐿 σ 𝑚𝑖𝑣𝑖 Uma vez que σ 𝑚𝑖𝑣𝑖 𝑚𝑣𝐺 também podemos escrever unidade Kgms Quantidade de movimento angular Considere o corpo na figura o qual é submetido ao movimento plano geral No instante mostrado o ponto P tem uma velocidade 𝑣𝑃 e o corpo tem velocidade angular ω portanto a velocidade da iésima partícula do corpo pode ser expressa como PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA A quantidade de movimento angular dessa partícula em relação ao ponto P é igual ao momento da quantidade de movimento linear da partícula em relação a P Desse modo Expressando 𝑣𝑖 em termos de 𝑣𝑃 e usando vetores cartesianos e efetuando operações de produto vetorial temos Fazendo 𝑚𝑖𝑑𝑚 e integrando sobre a massa inteira do corpo obtemos Como o produto de vetores unitários podem ser obtidos por PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Assim Hp representa o momento angular do corpo em relação ao eixo z que é perpendicular ao plano e passa pelo ponto P Como o primeiro e segundo termo localizam o centro de massa G em relação a P A última integral representa de inércia calculada em relação ao eixo z isto é unidade em Kgm2s SI PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA A equação também pode ser reescrita em função dos componentes x e y da velocidade do centro de massa corpo e do momento de inércia IG utilizando o teorema dos eixos paralelos PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Translação Quando um corpo rígido de massa m está em movimento de translação retilínea ou curvilínea sua velocidade angular é ω 0 e seu centro de massa tem velocidade 𝑣𝐺 𝑣 Logo a quantidade de movimento em relação a G se tornam O momento da quantidade de movimento L calculado em relação a um ponto A com um braço de momento d é dado por PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Rotação em torno de um eixo fixo Quando um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo passando pelo ponto O a quantidade de movimento e o momento angular em relação a G são O momento angular também pode ser calculado em relação a O Neste caso levamos em conta L e HG em relação O Sabendo que L é perpendicular a rG temos Substituindo 𝑣𝑔 𝑟𝑔𝜔 de modo que e utilizando o teorema dos eixos paralelos temos PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Movimento plano geral Quando um corpo rígido gira em movimento plano geral a quantidade de movimento linear e o momento angular calculado em relação a G tornamse Se o momento angular for calculado em relação a um ponto A então PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Princípio de impulso e quantidade de movimento Princípio de impulso e quantidade de movimento linear A equação de movimento translacional para um corpo rígido pode ser escrita como σ 𝐹 𝑚𝑎𝐺 𝑚 𝑑𝑣𝐺 𝑑𝑡 visto que a massa é constante PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Princípio de impulso e momento angulares Se o corpo tem movimento plano geral podemos escrever σ 𝑀𝐺 𝐼𝐺𝛼 𝐼𝐺 𝑑𝜔 𝑑𝑡 visto que o momento de inércia é constante Estas equações expressam o princípio do impulso e momento angulares pois afirmam que a soma dos impulsos angulares é igual a variação do momento angular do corpo PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Desta forma se o movimento ocorre no plano xy usandose os princípios do impulso e quantidade de movimento e momento angular as três equações que descrevem o movimento plano do corpo rígido são PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Conservação da quantidade de movimento e do momento angular Conservação da quantidade de movimento linear Se a soma de todos os impulsos lineares atuando sobre um sistema de corpos rígidos conectados é zero em uma direção específica então a quantidade de movimento linear do sistema é constante ou conservada nessa direção isto é Conservação da quantidade de movimento angular A quantidade de movimento angular de um sistema de corpos rígidos conectados é conservado em relação a ao centro de massa G ou a um ponto fixo O quando a soma de todos os impulsos angulares nestes pontos for igual a zero ou sensivelmente pequena assim PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Colisão Excêntrica Os conceitos que envolvem colisão central e oblíqua entre pontos materiais foram apresentados anteriormente Agora discutiremos a colisão excêntrica que ocorre quando a linha que liga o centro de massa dos dois corpos não coincide com a linha de colisão PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Considerando a colisão em C e que o corpo B está girando no sentido antihorário e que o corpo A tem uma velocidade 𝑢𝐴 1 e sua componente ao longa da linha de colisão é 𝑣𝐴 1 e que 𝑣𝐴 1 𝑣𝐵 1 Desta forma o princípio do impulso e momento angulares aplicado ao corpo B do instante antes da colisão ao instante de deformação máxima é expresso por Onde P são as forças impulsivas opostas aplicadas nos corpos que se deformam IO é o momento de inércia do corpo B em relação ao ponto O e ω é a velocidade angular comum aos corpos PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Da mesma forma aplicando o princípio do impulso e momento angulares do instante de restituição ao instante imediatamente após a colisão temos Onde R são forças impulsivas opostas que agem nos corpos criadas na fase de restituição Resolvendo as equações e formulando e temos Onde e coeficiente de restituição é a relação entre o impulso de restituição com o impulso de deformação PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA PROF YURI FRANKLIN MACHADO DE ABREU ENGENHARIA MECÂNICA Referências HIBBELER RC Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª Ed São Paulo PentriceHall 2011 JEWETT JÚNIOR John W SERWAY Raymond A Mecânica Física para Cientistas e Engenheiros 8ª Ed São Paulo Cegage Learning 2011