·
Engenharia da Computação ·
Geometria Analítica
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4 Complete o Trinômio Quadrado Perfeito das equações abaixo I e II de ELIPSES e apresente o seu gráfico completo a partir de sua equação reduzida identificando a O Centro hk e os valores dos parâmetros a b e c b A excentricidade c As coordenadas dos vértices do eixo maior A1 e A2 bem como do eixo menor B1 e B2 d As coordenadas dos focos F1 e F2 e As equações paramétricas f As raízes xinterceptos e os yinterceptos I 25x2 9y2 100x 54y 44 0 II x2 y2 4x 6y 4 0 5 Dadas as coordenadas dos vértices de uma Elipse 5 1 1 1 2 3 e 2 1 apresente o gráfico com centro Chk e os focos F1 e F2 e determine a A medida do eixo maior do eixo menor e distância focal b A excentricidade c A equação reduzida d A equação geral e as equações paramétricas 6 Calcular a área do quadrado inscrito na Elipse de equação 9x2 16y2 100 cuja sua diagonal vale a medida do eixo menor da Elipse Ilustre a situaçãoproblema 7 Uma hipérbole encontrase centrada na origem com eixo real sobre eixo y b 8 e excentricidade 53 Calcule a equação reduzida e a equação geral e apresente o gráfico 8 Complete o Trinômio Quadrado Perfeito das equações abaixo I e II de HIPÉRBOLES e apresente o seu gráfico completo a partir de sua equação reduzida identificando a O Centro hk e os valores dos parâmetros a b e c b A excentricidade e Latus Rectum c As coordenadas dos vértices do eixo real transverso A1 e A2 d As coordenadas dos vértices do eixo imaginário conjugado B1 e B2 e As coordenadas dos focos F1 e F2 f As equações paramétricas g E as equações das assíntotas I x2 4y2 6x 24y 31 0 II 9x2 4y2 54x 8y 113 0 9 Calcular os focos Latus Rectum e determinar a equação reduzida e geral bem como apresentar o gráfico completo da HIPÉRBOLE de equações paramétricas dadas por a x 2 3tgθ y 1 4 secθ b x 2 secθ y 4 3 tgθ 10 Determinar a equação geral das SUPERFÍCIES ESFÉRICAS nas condições dadas abaixo a Diâmetro com extremos A1 3 5 e B5 1 3 b C0 4 3 e tangente ao plano π x 2y 2z 2 0 11 Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica ε x2 y2 z2 4x 2y 6z 11 0 no ponto P2 5 6 12 Reduzir as equações abaixo à forma canônica classificar as superfícies QUÁDRICAS e construir o gráfico a x2 y2 z2 6x 4y 9 0 d z2 4x2 4y2 4 0 b 2x2 4y2 z2 16 0 e y2 4z2 x 0 c 4x2 y2 4z2 4 0 𝟒 I 25x2 9y2 100x 54y 44 0 25x2 100x 100 9y2 54y 81 225 x 22 9 y 32 25 1 a 𝜀 2 3 a 5 b 3 c 52 32 4 b e 4 5 c β1 2 8 β2 2 2 β1 5 3 β 1 3 d F1 2 8 F2 2 1 e x 3cos t 2 y 5sin t 3 β x 0 3cost 2 0 cost 23 y 0 5sont 3 0 aest 35 cant 1 232 59 yi 5075 3 625 cost 1 352 48 y2 5075 3 075 α1 308 2 4 4 x2 30 8 2 04 β1 4 4 0 β2 04 0 α1 0 0 75 α2 0 6 75 II x2 y2 4x 6y 4 0 x2 4x 4 y2 6y 9 9 x 22 y 32 9 x 22 9 y 32 9 1 a c 2 3 a 3 b c 0 b e 0 3 0 c β1 2 6 β2 2 0 β2 4 3 β1 0 3 d F1 F2 c 2 3 e x 3cost 2 y 3sint 3 g x 0 β1 β1 0 3 y 0 α1 α2 2 0 A1 β2 F1 2 a 53 ca b 8 a²b²c² a²b² 259 a² b²169 a² b 43 a a 3b4 384 6 c 5a3 563 10 a6 c10 Eq reduzida y²36 x²64 1 Eq geral 36x² 64 y² 6436 36 x² 64 y 2304 64 y² 36 x² 2304 0 9x² 16 y² 100 x²103² y²104² 1 b104 l22 l 522 l² 258 l 52 l² 252 A151 B121 A211 B223 C21 a Eixo maior 2a 15 6 Eixo menor 2b 31 4 distância focal 2a²b² 294 25 b e fa 53 c x2²9 y1²4 1 d paramétrica x3cos t 2 y2sint1 geral x²4x494y²2y1 94 4x²16x 94 y²18y110 I x2 4y2 6x 24y 31 0 x2 6x 9 4y2 24y 36 31 36 9 x 32 2y 62 4 x 32 4y 32 4 x 324 y 32 1 a C 3 3 a 2 b 1 c sqrt22 1 sqrt 5 b e 2sqrt 5 2sqrt55 Section 2b2 a 212 1 c B1 3 2 3 1 3 B2 3 2 3 5 3 d β1 3 3 1 3 4 β2 3 3 1 3 2 e F1 3 sqrt 5 3 F2 3 sqrt 5 3 f x 2 t 3 y t 3 g y ba x y 3 ba x 3 y 12 x 3 3 y 12 x 3 3 Sketch of a hyperbola labeled with points and axes including points A1 A2 B1 B2 F1 and F2 along with the axes x and y II 9x2 4y2 54x 8y 113 0 9x2 54x 81 4y2 8y 4 113 4 81 3x 32 2y 22 36 4y 12 9x 32 36 y 129 x 324 1 a C 3 1 a 3 b 2 c sqrt9 4 sqrt 13 b e sqrt 133 Section 2b2 a 2 4 3 83 c A1 3 1 3 3 4 A2 3 1 3 3 2 d B1 3 2 1 1 1 B2 3 2 1 5 1 e F1 3 1 sqrt 13 F2 3 1 sqrt 13 f x 2 t 3 y 3 t 1 g y 1 32 x 3 y 32 x 3 1 y 32 x 3 1 tg2θ 1 xc2 0 accc2 ty20 1 a xc 2 3 tgθ tgθ xc2 3 y 1 4 accθ accθ y1 4 y142 xc232 1 Eg reduzida y2 2y 19 xc2 40c 415 1 9y2 16xc2 18y 64xc 56 0 Eg geral b xc 2ac a y 4 3 tgθ accθ xc2 tgθ y4 3 xc22 y43 2 1 Eg reduzida 3ac 4y2 8y 16 12 3xc2 4y2 32y 36 0 Eg geral dAB 2R 512 132 352 36 16 4 56 214 a R 14 C Po Q 2 5 1 1 3 3 52 2 1 4 superfície x 22 y 12 3 42 14 b π x 2y 2z 2 0 m 1 2 2 vetor normal do plano C Po t m onde Po pertence ao plano x0 y0 z0 0 4 3 t 2t 2t t 4 2t 3 2t x0 t y0 4 2t z0 3 2t xo 2yo 2zo 2 t 24 2t 23 2t 2 t 8 4t 6 4t 2 9t 2 14 16 t 169 R t m 169 1 4 4 163 xc2 y 42 3 32 1632 x2 y2 z2 4x 2y 6z 11 0 x2 4x 4 y2 2y 1 z2 6z 9 11 4 1 9 25 x 22 y 12 z 32 25 C 2 1 3 p 2 5 0 Q x y z Q P C P 0 x 2 y 5 z 6 0 4 3 0 0 x 2 4 y 5 3 z 6 0 4y 20 3z 18 0 Eq plano 4y 3z 38 0 Q a x2 y2 z2 6x 4y 2 0 x2 6x 9 y2 4y 4 z2 2 9 4 4 x 32 y 22 z2 4 Esférica b 2x2 4y2 z2 16 0 x28 y24 z216 1 Elipsóide c 4x2 4z2 y2 4 0 x2 z2 y24 1 Hipérbolóide folha 1 z2 4x2 4y2 4 0 z24 x2 y2 1 Hipersboloide 2 paloos 2 y x z 2 y2 4z2 x 0 y2 z2 x4 0 Paraboloide elíptico y x z
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4 Complete o Trinômio Quadrado Perfeito das equações abaixo I e II de ELIPSES e apresente o seu gráfico completo a partir de sua equação reduzida identificando a O Centro hk e os valores dos parâmetros a b e c b A excentricidade c As coordenadas dos vértices do eixo maior A1 e A2 bem como do eixo menor B1 e B2 d As coordenadas dos focos F1 e F2 e As equações paramétricas f As raízes xinterceptos e os yinterceptos I 25x2 9y2 100x 54y 44 0 II x2 y2 4x 6y 4 0 5 Dadas as coordenadas dos vértices de uma Elipse 5 1 1 1 2 3 e 2 1 apresente o gráfico com centro Chk e os focos F1 e F2 e determine a A medida do eixo maior do eixo menor e distância focal b A excentricidade c A equação reduzida d A equação geral e as equações paramétricas 6 Calcular a área do quadrado inscrito na Elipse de equação 9x2 16y2 100 cuja sua diagonal vale a medida do eixo menor da Elipse Ilustre a situaçãoproblema 7 Uma hipérbole encontrase centrada na origem com eixo real sobre eixo y b 8 e excentricidade 53 Calcule a equação reduzida e a equação geral e apresente o gráfico 8 Complete o Trinômio Quadrado Perfeito das equações abaixo I e II de HIPÉRBOLES e apresente o seu gráfico completo a partir de sua equação reduzida identificando a O Centro hk e os valores dos parâmetros a b e c b A excentricidade e Latus Rectum c As coordenadas dos vértices do eixo real transverso A1 e A2 d As coordenadas dos vértices do eixo imaginário conjugado B1 e B2 e As coordenadas dos focos F1 e F2 f As equações paramétricas g E as equações das assíntotas I x2 4y2 6x 24y 31 0 II 9x2 4y2 54x 8y 113 0 9 Calcular os focos Latus Rectum e determinar a equação reduzida e geral bem como apresentar o gráfico completo da HIPÉRBOLE de equações paramétricas dadas por a x 2 3tgθ y 1 4 secθ b x 2 secθ y 4 3 tgθ 10 Determinar a equação geral das SUPERFÍCIES ESFÉRICAS nas condições dadas abaixo a Diâmetro com extremos A1 3 5 e B5 1 3 b C0 4 3 e tangente ao plano π x 2y 2z 2 0 11 Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica ε x2 y2 z2 4x 2y 6z 11 0 no ponto P2 5 6 12 Reduzir as equações abaixo à forma canônica classificar as superfícies QUÁDRICAS e construir o gráfico a x2 y2 z2 6x 4y 9 0 d z2 4x2 4y2 4 0 b 2x2 4y2 z2 16 0 e y2 4z2 x 0 c 4x2 y2 4z2 4 0 𝟒 I 25x2 9y2 100x 54y 44 0 25x2 100x 100 9y2 54y 81 225 x 22 9 y 32 25 1 a 𝜀 2 3 a 5 b 3 c 52 32 4 b e 4 5 c β1 2 8 β2 2 2 β1 5 3 β 1 3 d F1 2 8 F2 2 1 e x 3cos t 2 y 5sin t 3 β x 0 3cost 2 0 cost 23 y 0 5sont 3 0 aest 35 cant 1 232 59 yi 5075 3 625 cost 1 352 48 y2 5075 3 075 α1 308 2 4 4 x2 30 8 2 04 β1 4 4 0 β2 04 0 α1 0 0 75 α2 0 6 75 II x2 y2 4x 6y 4 0 x2 4x 4 y2 6y 9 9 x 22 y 32 9 x 22 9 y 32 9 1 a c 2 3 a 3 b c 0 b e 0 3 0 c β1 2 6 β2 2 0 β2 4 3 β1 0 3 d F1 F2 c 2 3 e x 3cost 2 y 3sint 3 g x 0 β1 β1 0 3 y 0 α1 α2 2 0 A1 β2 F1 2 a 53 ca b 8 a²b²c² a²b² 259 a² b²169 a² b 43 a a 3b4 384 6 c 5a3 563 10 a6 c10 Eq reduzida y²36 x²64 1 Eq geral 36x² 64 y² 6436 36 x² 64 y 2304 64 y² 36 x² 2304 0 9x² 16 y² 100 x²103² y²104² 1 b104 l22 l 522 l² 258 l 52 l² 252 A151 B121 A211 B223 C21 a Eixo maior 2a 15 6 Eixo menor 2b 31 4 distância focal 2a²b² 294 25 b e fa 53 c x2²9 y1²4 1 d paramétrica x3cos t 2 y2sint1 geral x²4x494y²2y1 94 4x²16x 94 y²18y110 I x2 4y2 6x 24y 31 0 x2 6x 9 4y2 24y 36 31 36 9 x 32 2y 62 4 x 32 4y 32 4 x 324 y 32 1 a C 3 3 a 2 b 1 c sqrt22 1 sqrt 5 b e 2sqrt 5 2sqrt55 Section 2b2 a 212 1 c B1 3 2 3 1 3 B2 3 2 3 5 3 d β1 3 3 1 3 4 β2 3 3 1 3 2 e F1 3 sqrt 5 3 F2 3 sqrt 5 3 f x 2 t 3 y t 3 g y ba x y 3 ba x 3 y 12 x 3 3 y 12 x 3 3 Sketch of a hyperbola labeled with points and axes including points A1 A2 B1 B2 F1 and F2 along with the axes x and y II 9x2 4y2 54x 8y 113 0 9x2 54x 81 4y2 8y 4 113 4 81 3x 32 2y 22 36 4y 12 9x 32 36 y 129 x 324 1 a C 3 1 a 3 b 2 c sqrt9 4 sqrt 13 b e sqrt 133 Section 2b2 a 2 4 3 83 c A1 3 1 3 3 4 A2 3 1 3 3 2 d B1 3 2 1 1 1 B2 3 2 1 5 1 e F1 3 1 sqrt 13 F2 3 1 sqrt 13 f x 2 t 3 y 3 t 1 g y 1 32 x 3 y 32 x 3 1 y 32 x 3 1 tg2θ 1 xc2 0 accc2 ty20 1 a xc 2 3 tgθ tgθ xc2 3 y 1 4 accθ accθ y1 4 y142 xc232 1 Eg reduzida y2 2y 19 xc2 40c 415 1 9y2 16xc2 18y 64xc 56 0 Eg geral b xc 2ac a y 4 3 tgθ accθ xc2 tgθ y4 3 xc22 y43 2 1 Eg reduzida 3ac 4y2 8y 16 12 3xc2 4y2 32y 36 0 Eg geral dAB 2R 512 132 352 36 16 4 56 214 a R 14 C Po Q 2 5 1 1 3 3 52 2 1 4 superfície x 22 y 12 3 42 14 b π x 2y 2z 2 0 m 1 2 2 vetor normal do plano C Po t m onde Po pertence ao plano x0 y0 z0 0 4 3 t 2t 2t t 4 2t 3 2t x0 t y0 4 2t z0 3 2t xo 2yo 2zo 2 t 24 2t 23 2t 2 t 8 4t 6 4t 2 9t 2 14 16 t 169 R t m 169 1 4 4 163 xc2 y 42 3 32 1632 x2 y2 z2 4x 2y 6z 11 0 x2 4x 4 y2 2y 1 z2 6z 9 11 4 1 9 25 x 22 y 12 z 32 25 C 2 1 3 p 2 5 0 Q x y z Q P C P 0 x 2 y 5 z 6 0 4 3 0 0 x 2 4 y 5 3 z 6 0 4y 20 3z 18 0 Eq plano 4y 3z 38 0 Q a x2 y2 z2 6x 4y 2 0 x2 6x 9 y2 4y 4 z2 2 9 4 4 x 32 y 22 z2 4 Esférica b 2x2 4y2 z2 16 0 x28 y24 z216 1 Elipsóide c 4x2 4z2 y2 4 0 x2 z2 y24 1 Hipérbolóide folha 1 z2 4x2 4y2 4 0 z24 x2 y2 1 Hipersboloide 2 paloos 2 y x z 2 y2 4z2 x 0 y2 z2 x4 0 Paraboloide elíptico y x z