Exercícios Resolvidos - Intervalo de Confiança e Taxa de Retorno de Investimentos

Uma instituição financeira administra muitas carteiras de investimentos de pessoas físicas consideradas como investidores médios Dessa população foi retirada uma amostra aleatória de 28 carteiras de investimentos cuja taxa de retorno aa estão registrados no histograma seguinte 1 Calcule IC de 975 para estimar a taxa média de retorno populacional 2 Calcule IC de 90 para estimar o desviopadrão em torno da taxa média de retorno da questão anterior 3 Com base nos resultados das questões 1 e 2 Se a taxa de retorno médio real for de 115 aa e desviopadrão de 25 aa que efeito de conclusão poderia ter sobre a validade das estimativas 4 Quantas carteiras de investimento precisam ser selecionadas para que a instituição financeira tenha 975 de confiança de estimar a proporção da população dentro dos limites de erros 01120 caso nenhuma estimativa anterior esteja disponível Uma instituição financeira administra muitas carteiras de investimentos de pessoas físicas consideradas como investidores médios Dessa população foi retirada uma amostra aleatória de 28 carteiras de investimentos cuja taxa de retorno aa estão registrados no histograma seguinte 1 Calcule IC de 975 para estimar a taxa média de retorno populacional 2 Calcule IC de 90 para estimar o desviopadrão em torno da taxa média de retorno da questão anterior 3 Com base nos resultados das questões 1 e 2 Se a taxa de retorno médio real for de 115 aa e desviopadrão de 25 aa que efeito de conclusão poderia ter sobre a validade das estimativas 4 Quantas carteiras de investimento precisam ser selecionadas para que a instituição financeira tenha 975 de confiança de estimar a proporção da população dentro dos limites de erros 01120 caso nenhuma estimativa anterior esteja disponível 1 Para calcular o intervalo de confiança para a taxa média de retorno populacional é necessário calcular a média amostral e o desviopadrão amostral A média amostral é dada por 𝑥 7 1 9 4 11 7 13 8 15 5 17 3 28 125 O desviopadrão amostral pode ser calculado da seguinte maneira 𝑠 𝑥𝑖 𝑥2 𝑛 1 𝑠 1 1252 4 1252 7 1252 8 1252 5 12 2 3 12 2 28 1 𝑠 385 27 𝑠 38 O intervalo de confiança para a taxa média de retorno populacional com 975 de confiança pode ser calculado usando a fórmula 𝐼𝐶 𝑥 𝑧𝛼2 𝑠 𝑛 Onde zα2 é o valor crítico da distribuição t para um intervalo de confiança de 975 com 27 graus de liberdade n1 Com uma confiança de 975 temos α2 0025 e consultando a tabela t com 27 graus de liberdade encontramos zα2 20518 Substituindo na fórmula temos 𝐼𝐶 125 20518 37 28 IC 1104 1396 2 Para calcular o intervalo de confiança para o desviopadrão populacional utilizamos a distribuição t Student Temos que 1 𝛼 090 Logo 𝛼 010 𝛼 2 005 𝜙 28 1 27 Para 𝛼 2 005 temse que χsup 2 401 e 𝜒𝑖𝑛𝑓 2 118 Logo 118 𝜎2 401 O intervalo de confiança para o desviopadrão populacional com 90 de confiança é IC343 633 3 Com base nos resultados das questões 1 e 2 podemos analisar os números em relação à taxa de retorno médio real de 115 aa e o desviopadrão de 25 aa Se o intervalo de confiança de 975 encontrado foi 1104 1396 e o desviopadrão populacional com 90 de confiança é de 343 a 633 podemos traçar algumas conclusões sobre a validade das estimativas A taxa de retorno médio real de 115 aa está dentro do intervalo de confiança de 975 Isso indica que as estimativas médias são consistentes com os dados apresentados Entretanto o desviopadrão real de 25 aa está fora do intervalo de desviopadrão populacional com 90 de confiança Isso sugere que o desvio padrão pode não ser uma estimativa muito precisa com base nos dados disponíveis 4 Para determinar o número de carteiras de investimento necessário n podemos usar a fórmula do tamanho da amostra para uma proporção 𝑛 𝑍2 𝑝 1 𝑝 𝐸2 Nesta fórmula Z é o escore Z valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado 975 p é a proporção estimada aproximada pela taxa de retorno médio real e E é a margem de erro desejada Como nenhuma estimativa anterior está disponível assumiremos p 05 o que maximiza a variabilidade e portanto o tamanho da amostra necessário Para um nível de confiança de 975 o valor crítico Z é aproximadamente 224 para um teste de duas pontas significando 25 nas duas pontas Assim temos p 𝑛 2242 05 1 05 011202 𝑛 50176 025 0012544 𝑛 1008 Como o número de carteiras de investimento deve ser um número inteiro arredondamos para cima e concluímos que 101 carteiras de investimento deveriam ser selecionadas para que a instituição financeira tenha 975 de confiança de estimar a proporção da população dentro dos limites de erros 01120