Modelo de Regressão Múltipla em Estatística II

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO UFMA Fundação instituída nos termos da Lei nº 5152 de 21101966 São Luís Maranhão CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CCET DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DEMAT afonsofilhoufmabr Estatística II CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS RECURSOS DIDÁTICOS PROCEDIMENTOS AVALIATIVOS REGRESSÃO MÚLTIPLA Explicar e exemplificar Modelo de Regressão Múltipla com duas variáveis independentes Explicar e exemplificar Teste de Hipótese para existência de Regressão Múltipla com duas variáveis independentes Metodologia dialética Aula dialógica Notebook Apresentação de slides Será numa perspectiva processual através de critérios qualitativos frequência interação participação interesse compromisso habilidade atitude e competência comunicativa Na abordagem diagnóstica sondar os níveis de aprendizado dos alunos através da interação e competência comunicativa Na abordagem formativa acompanhar mediando o processo ensinoaprendizagem Na abordagem somativa atribuir critérios quantitativos aspectos da cientificidade compreensão análise e síntese dos conteúdos Plano de Aula REFERÊNCIA FONSECA Jairo Simon MARTINS Gilberto A TOLEDO Geraldo L Estatística Aplicada SP Atlas 1991 Modelo de Regressão Linear Múltipla com Duas Variáveis Independentes Nosso interesse agora é o estudo do modelo de regressão pelo método dos mínimos quadrados com mais variáveis independentes visando a uma melhor compreensão do comportamento da variável dependente Vamos considerar o caso em que a variável dependente Y seja postulada como função de duas variáveis explicativas X1 e X2 Teremos então o seguinte modelo de regressão linear múltipla 𝑌 𝛼 𝛽1𝑋1 𝛽2𝑋2 𝑒 𝛼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑌 𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑌 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 à 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑋1 𝛽2 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑌 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 à 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑋2 e 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑚 𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑜𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 Retirada uma amostra de n observações das variáveis Y X1 e X2 deveremos a partir desses dados determinar as estimativas a b1 e b2 dos parâmetros α β1 e β2 e dessa forma obter a equação da regressão múltipla com duas variáveis independentes do modelo compondo o estimador Modelo de Regressão Linear Múltipla com Duas Variáveis Independentes 𝑌 𝑎 𝑏1𝑋1 𝑏2𝑋2 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑌 𝑏1 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑌 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 à 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑋1 𝑏2 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑌 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 à 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑋2 Exemplo Modele a regressão para verificar o efeito do preço e dos gastos com promoções internas nas lojas terão sobre as vendas mensais Vendas Y Preço X1 Gastos X2 6 3 1 7 4 2 15 8 3 18 8 5 20 10 8 23 11 6 Y X1 X2 Y X1 Y X2 X1 X2 X1 2 X2 2 Y2 6 3 1 18 6 3 9 1 36 7 4 2 28 14 8 16 4 49 15 8 3 120 45 24 64 9 225 18 8 5 144 90 40 64 25 324 20 10 8 200 160 80 100 64 400 23 11 6 253 138 66 121 36 529 𝒀 𝟖𝟗 𝑿𝟏 𝟒𝟒 𝑿𝟐 𝟐𝟓 𝒀𝑿𝟏 𝟕𝟔𝟑 𝒀𝑿𝟐 𝟒𝟓𝟑 𝑿𝟏𝑿𝟐 𝟐𝟐𝟏 𝑿𝟏 𝟐 𝟑𝟕𝟒 𝑿𝟐 𝟐 𝟏𝟑𝟗 𝒀𝟐 𝟏𝟓𝟔𝟑 Método dos Mínimos Quadrados 𝑌 σ 𝑌 𝑛 89 6 1483 𝑋1 σ 𝑋1 𝑛 44 6 733 𝑋2 σ 𝑋2 𝑛 25 6 417 Cálculo das médias 𝑆𝑌1 𝑌 𝑋1 σ 𝑌 σ 𝑋1 𝑛 763 89 44 6 11033 𝑆𝑌2 𝑌 𝑋2 σ 𝑌 σ 𝑋2 𝑛 453 89 25 6 8217 𝑆11 𝑋1 2 σ 𝑋1 2 𝑛 374 44 2 6 5133 𝑆12 𝑋1 𝑋2 σ 𝑋1 σ 𝑋2 𝑛 221 44 25 6 3767 𝑆22 𝑋2 2 σ 𝑋2 2 𝑛 139 25 2 6 3483 𝑆𝑌𝑌 𝑌2 σ 𝑌 2 𝑛 1563 89 2 6 24283 Cálculo das variações 𝑏2 𝑆𝑌2 𝑆12 𝑆𝑌1 𝑆11 𝑆22 𝑆12 𝑆12 𝑆11 𝑏2 8217 3767 11033 5133 3483 3767 3767 5133 𝑏2 016 𝑏1 𝑆𝑌2 𝑆12 𝑆22 𝑆12 𝑏2 b1 8217 3767 3483 3767 016 b1 203 𝑎 𝑌 𝑏1𝑋 1 𝑏2𝑋 2 a 1483203 733 016 417 𝑎 072 Cálculo dos coeficientes 𝑌 𝑎 𝑏1𝑋1 𝑏2𝑋2 𝑌 072 203𝑋1 016𝑋2 Equação estimada da Regressão Múltipla Cálculo do Coeficiente de Explicação ou Determinação Múltipla 𝑅2 𝑏1𝑆𝑌1 𝑏2𝑆𝑌2 𝑆𝑌𝑌 R2 20311033 0168217 24283 R2 09765 Esse resultado indica que 9765 das variações de Yvendas são explicadas por X1 preço e X2 gasto com promoções internas através da função linear para relacionar as variáveis e 235 são atribuídas a causas aleatórias Teste F para existência de Regressão Múltipla 1º Passo Enunciado das Hipóteses H0 β1 β2 0 não existe regressão linear múltipla H1 β1 β2 0 existe regressão linear múltipla 2º Passo Fixação do nível de significância 𝛼 e escolha da variável F com 2 graus de liberdade no numerador e n 3 graus de liberdade no denominador 3º Passo Determinação da região RA e RC utilizando a tabela F φ 2 n 3 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 𝛼 4º Passo Elaboração do Quadro de Análise de Variância QAV Teste F Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma dos Quadrados Variâncias F Devido às Variáveis X1 e X2 2 𝑽𝑬 𝒃𝟏𝑺𝒀𝟏 𝒃𝟐𝑺𝒀𝟐 𝒃𝟏𝑺𝒀𝟏𝒃𝟐𝑺𝒀𝟐 𝟐 𝐹𝑐𝑎𝑙 𝑏1𝑆𝑌1𝑏2𝑆𝑌2 2 𝑆2 Resídual n 3 𝑽𝑹 𝑺𝒀𝒀 𝒃𝟏𝑺𝒀𝟏 𝒃𝟐𝑺𝒀𝟐 𝑺𝟐 𝑺𝒀𝒀𝒃𝟏𝑺𝒀𝟏𝒃𝟐𝑺𝒀𝟐 𝒏𝟑 Total n 1 𝑽𝑻 𝑺𝒀𝒀 5º Passo Conclusão Se F calculado F tabelado Rejeitase Ho e existe regressão b SY b SY VE b SY SY b S b SY SY b Fcal b SY b SY SYY VR n b SY b SY SYY S VT SYY b SY b SY VE b SY SY b S b SY SY b Fcal b SY b SY SYY VR n b SY b SY SYY S VT SYY b SY b SY VE b SY SY b S b SY SY b Fcal b SY b SY SYY VR n b SY b SY SYY S VT SYY Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma dos Quadrados Variâncias F Devido às Variáveis X1 e X2 2 21712 10856 𝑭𝒄𝒂𝒍 𝟓𝟕 𝟏𝟒 Resídual 3 571 190 Total 5 24283 F calculado F tabelado Rejeitase Ho e existe regressão Aplicação do exemplo anterior 𝛼 005 𝑭𝒕𝒂𝒃𝒆𝒍𝒂𝒅𝒐 𝟏𝟎 𝟏𝟑 φ 2 3