A Importância da Gravidade no Universo

GRAVITAÇÃO A gravidade é a mais fraca das forças fundamentais do Universo É desprezível nas interações de partículas elementares e não tem qualquer papel nas propriedades das moléculas dos átomos ou dos núcleos atômicos A atração gravitacional entre corpos de dimensões comuns por exemplo entre um automóvel e um edifício é muito pequena para ser percebida Entre corpos muito grandes como as estrelas os planetas os satélites porém a gravidade tem uma importância de primeiro plano A força gravitacional da Terra sobre os corpos que nos rodeiam é a parte fundamental da nossa experiência É a gravidade que nos mantém sobre os solo e mantém a Terra e os outros plane tas nas suas respectivas órbitas do sistema solar A força gravitacional tem um papel im portante na história das estrelas e no comportamento das galáxias Numa escala muito grande é a gravidade que controla a evolução do Universo 1 O Universo e a Força Gravitacional Desde tempos imemoriais o homem sempre esteve fascinado pelo movimento dos corpos celestes e das possíveis consequências destes movimentos na nossa vida aqui na Terra Por questões de fundo religioso durante muito tempo supôsse que o movimento desses corpos aconteciam de modo que a Terra tinha uma posição privilegiada neste concerto Os religiosos acreditavam que o homem era o único ser vivo no Universo e o criador naturalmente o colocou num local especial num planeta especial Era difícil aceitar o tamanho diminuto do homem frente às dimensões do Universo Por esse motivo todos aqueles que consideravam alguma idéia diferente deste geocen trismo era considerado herege O ciência era considerada uma mera comprovação das crenças religiosas Com os dados observacionais do astrônomo Tycho Brahe Johannes Kepler des cobriu empiricamente que as trajetórias dos planetas em torno do Sol eram elipses Foi Isaac Newton quem mostrou os fundamentos de uma teoria da gravitação que comprovava as predições de Kepler e as observações de Tycho Brahe Mas ia ainda muito mais além ao analisar a interação entre duas massas quaisquer Quando um corpo de massa m1 está a uma distância r de um outro corpo de massa m2 a força de atra ção entre eles está dirigida ao longo da reta que une os corpos e tem a forma F G m1m2 onde r 2 G 667x1011m3kgs2 2 Gravitação e o Princípio da Superposição A maioria dos modelos que representam fenômenos físicos são lineares Por exemplo a interação gravitacional entre três partículas pode ser considerada como a composição da interação aos pares dessas partículas Isso acontece por causa do Princí pio da Superposição Por causa deste princípio essa ciência se presta tão bem à aplicação do reducio nismo É dito que a Física é um campo de estudo reducionista porque costumase anali sar os fenômenos extremamente sofisticados através da observação de cada uma das partes simples que compõe este fenômeno Para exemplificar vamos considerar o sistema composto por três partículas descrito anteriormente 2 o vetor posição da partícula de massa m2 é r O vetor posição da partícula de massa m1 é r1 e o vetor posição da partícula de massa m3 é P As distâncias entre as partículas são defini das como 3 2 23 23 3 2 12 r13 r3 r1 r13 r3 r1 r r r r r r 2 1 12 2 1 r r r r r r m2 r12 m1 r2 r23 1r r13 O 3r m3 As forças que as partículas de massa m2 e m3 fazem na partícula de massa m1 têm valores que independem da presença mútua ou seja se apenas m2 estiver presente a força que ela exercerá em m1 terá o mesmo valor daquele quando m3 também estiver presente Essas for ças têm a forma 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 13 13 12 12 13 13 3 1 12 21 r r13 r13 r rˆ 12 r12 rˆ onde r r m m F31 G r 2 1 r12 m m F G r m2 F21 m1 F31 O m3 e a força que as duas partículas fazem em m1 será F1 F21 F31 configurando assim o princípio da superposição Ver exemplo 1 EXEMPLO 123 SUPERPOSIÇÃO DE FORÇAS GRAVITACIONAIS Muitas estrelas pertencem a aglomerados de duas ou mais estrelas mantidas juntas pela atração gravitacional mútua A Figura 125 mostra um sistema de três estrelas em um instante em que elas estão localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 45 Determine a força gravitacional resultante sobre a estrela menor exercida pela ação das estrelas maiores A força gravitacional resultante sobre a cúbica menor cm é a soma vetorial das forças gravitacionais exercidas sobre ela pelas estas estrelas maiores Em comparação a massa do Sol que tem uma massa bastante comum é 199 1030 kg a unidade utilizada na Tabela 3 e 150 1011 m F1 667 1011 N m²kg² 800 1030 kg100 1030 kg 200 1012 m² F1 133 1026 N F2 667 1011 N m²kg² 667 1011 N m²kg² 800 1030 kg 200 1012 m² S 181 1026 N e F y 472 1025 N A qualquer instante 𝑓 F2x F2y 181 1026 N² 472 1025 N² 187 1026 N 3 Gravitação próximo à superfície da Terra A força de atração gravitacional entre a Terra e um corpo de massa m próximo à sua superfície em princípio deverá ter a mesma forma da atração entre dois corpos quaisquer No entanto se esse corpo estiver a uma altura h acima da superfície da Terra e pudermos considerar esta altura muito menor que o raio da Terra poderemos fazer al gumas considerações e até aproximações razoáveis sobre o valor desta força de atração Na superfície da Terra a força de atração entre os corpos tem a forma 2 T T T R M m F R G e se definirmos a aceleração da gravidade g como 2 RT g G MT encontraremos que T FR mg Quando o corpo estiver a uma altura h da superfície da Terra a força de interação terá a forma 2 M m T T T R h F R h G onde o denominador poderá ser escrito como 1 2 T T T RT R h 2 R 21 h R h 2 Quando a altura do objeto de massa m for pequena em relação ao raio da Terra ou seja quando h R podemos aproximar o termo em parêntesis por uma expansão em séries de potências Dito de outro modo para x pequeno podemos fazer a expansão à seguir ou seja Desse modo ou ainda T T R h R F h m g 1 2 e quando a altura h for realmente muito menor que o raio RT da Terra podemos des prezar as correções e considerar a aproximação trivial de modo que F R h m g T onde definimos o peso do objeto com uma força constante e independente da altura com uma forma do tipo P m g EXOSFERA 500 TERMOSFERA 80 MESOSFERA 50 ESTRATOSFERA 12 TROPOSFERA 0 temperatura C 1000 95 5 60 20 12800 km 6400 km 6400 km 4 Energia potencial gravitacional Para toda força conservativa Fr podemos associar uma energia potencial V r Essa energia potencial é definida em termos do trabalho executado pela força correspon dente da seguinte forma U UB UA WAB ou seja a variação de energia potencial de uma partícula entre dois pontos A e B é igual ao trabalho executado com sinal nega tivo pela força considerada para levar essa partícula do ponto A até o ponto B A B Outro modo de colocar essa questão é dizer que UB UA WAB ou seja A energia potencial é definida em termos de uma variação U ou seja ela é definida a menos de uma constante arbitrária Em outra palavras definimos variações de energia potencial o quanto diminuiu ou aumentou a energia de um corpo que foi de uma posi ção inicial até uma final Escolhemos a origem da energia potencial de maneira arbitrária como já foi mencionado Vamos detalhar o cálculo da energia potencial em duas situações típicas muito próximo da superfície da Terra e muito longe da superfície Energia potencial gravitacional próximo à superfície da Terra Próximo à superfície da Terra podemos considerar a força de interação entre a Terra e uma partícula de massa m constante e com módulo mg Vamos calcular a variação de energia potencial gra vitacional entre o ponto inicial A localizado na su perfície da Terra e o ponto final B localizado numa altura y O vetor ld é definido como um vetor infinitesimal y B dl y P A dirigido ao longo da curva de integração e apontando da posição inicial para a posição final Desse modo onde escolhemos UA como a origem da energia potencial e portanto com o valor zero Usando essas considerações podemos dizer que Energia potencial gravitacional distante da superfície da Terra No caso mais geral quando quisermos calcular a diferença de energia potencial gravitacional entre dois pontos distantes devemos usar a equação de gravita ção sem aproximações Vamos calcular a diferença de energia potencial entre duas posições ocupadas por uma partícula Inicial mente ela está numa posição muito distante no infini to e ela então é trazida até uma posição finita r Ou seja F dl UrU r dl m F r M Vamos considerar a origem da energia potencial num ponto muito distante de modo que U 0 Devemos considerar que r Ur G Mm 5 Leis de Kepler A humanidade sempre foi fascinada pelo céu noturno com a infinidade de estrelas e com os brilhantes planetas No final do século XVI o astrônomo Tycho Brahe estudou os movimentos dos planetas e conseguiu fazer observações muito mais exatas que as feitas anteriormente por outros observadores Com os dados de Tycho Brahe Johannes Kepler descobriu que as trajetórias dos planetas em torno do Sol eram elipses Mostrou também que tinham velocidades maiores quando orbitavam nas proximidades do Sol e menores quando estavam muito afastados Kepler estabeleceu por fim uma relação matemática precisa entre o período de um pla neta e a sua distância média ao Sol e enunciou os resultados da sua investigação em três leis empíricas do movimento dos planetas As Leis empíricas de Kepler vieram a ser comprovadas posteriormente pela Mecâ nica Newtoniana Primeira Lei das Órbitas To dos os planetas se movem em órbitas elípticas com o Sol em um dos focos A Mecânica Newtoniana deduziu uma conclusão ainda mais geral Quando um cor po está sob a ação de uma força que varia com o inverso do quadrado da distância como a força gravitacional ele descreve uma órbita que é uma cônica elipse parábola ou hi pérbole A órbita a ser descrita pelo corpo depende da sua Energia Mecânica No caso dos planetas temos órbitas fechadas elipse e no caso dos cometas temos uma trajetória aberta hipérbole Para maiores detalhes da análise das Leis de Kepler o interessado deve consultar 9 Segunda Lei das Áreas Uma linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais Vamos considerar a área A varrida pelo planeta num in tervalo de tempo t Quando o intervalo de tempo for muito pe queno a área do triângulo ponti lhado em vermelho vale aproxi madamente A r r 2 onde r mede aproximadamente a distância entre o Sol e o planeta e mede o ângulo varrido pela linha quando o planeta se movimenta da posição inicial até a final A taxa com que essa área varia com o tempo é dada por t 2 t A 1 r 2 e quando o intervalo de tempo tender a zero dt 2 dt 2 dA 1 r 2 d 1 r 2w onde w é a velocidade angular do planeta Por outro lado o vetor momento linear 𝑝 do planeta tem a direção tangente à curva descritas por esse objeto Iremos decompor esse vetor segundo uma componente radial e outra componente perpendicular A componente radial tem a direção ao longo da linha que une o planeta ao Sol e componente perpendicular é per pendicular a essa linha Desse modo o vetor momento angular 𝐿 do planeta num dado instante é dado por Considerando a variação da área varrida pela linha encontramos que dt 2m dA L Se dAdt é constante como Kepler afirmou isso significa que L também deve ser constante o momento angular deve ser conservado Assim a segunda Lei de Kepler é equivalente á lei de conservação do momento angular Terceira Lei dos Períodos O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semi eixo maior de sua órbita Por simplicidade vamos considerar que a órbita do pla neta de massa m é circular de raio R e o movimento tem um período T A única força que atua no planeta é a força gravitacional e portanto ela é a força centrípeta M R F G mM m v 2 G v 2 R R2 Mas por outro lado M R T T G v 2R 2 2R ou seja GM constante R3 T 2 4 2 Ver exemplo 2