Oscilação e Movimentos Harmônicos: Definições e Propriedades

DEFINIÇÃO Princípios oscilatórios e os diferentes tipos de movimentos harmônicos PROPÓSITO Compreender os conceitos físicos de oscilação e movimentos harmônicos PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos papel caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Descrever os conceitos de movimento oscilatório e movimento harmônico simples MHS MÓDULO 2 Compreender as propriedades de oscilações amortecidas oscilações amortecidasforçadas e ressonância MÓDULO 3 Descrever os conceitos das propriedades de ondas e interferência de onda função de onda e a definição de ondas propagantes e estacionárias Bemvindos ao estudo introdutório à Mecânica Ondulatória MÓDULO 1 Descrever os conceitos de movimento oscilatório e movimento harmônico simples MHS INTRODUÇÃO Um movimento oscilatório ou vibratório é um dos movimentos mais abundantes e importantes observados na natureza Tudo o que apresenta movimento periódico é considerado como movimento oscilatório Como exemplo podemos citar um carro que circula diversas vezes em um circuito fechado os ponteiros de um relógio um ioiô subindo e descendo uma corda esticada que balança de um lado para outro Relógio movimento oscilatório Existem infinitos movimentos de toda a natureza que se encontram em movimentos oscilatórios por isso a física se preocupou em definir quais condições determinam que um movimento seja caracterizado como oscilatório ou vibratório Como definição temos Um movimento é considerado oscilatório somente quando um corpo ou partícula movese periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio Para que um movimento seja visto o observador precisa estar em um referencial inercial de tal forma que não interaja com o movimento oscilatório O modo mais simplório de reprodução de um movimento oscilatório é a montagem do sistema de um pêndulo matemático PÊNDULO MATEMÁTICO O pêndulo matemático é composto por uma corda e um peso Uma de suas extremidades fica amarrada em um anteparo na outra extremidade é colocado um peso de dimensões muito inferiores ao comprimento da corda No início da reprodução do movimento harmônico a corda fica esticada na vertical de maneira estática e então o sistema cordapeso é colocado para oscilar em relação a um ponto de referencial fixo A figura 1 ilustra o sistema T F 1 Ω 0F V QR at ω₀²xt ω₀ km τ x₀x Fx dx Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Substituindo 13 em 23 Figura 6 Sistema massamola TEORIA NA PRÁTICA Vamos agora aprender a determinar os pontos de retorno de um movimento harmônico simples Para tal vamos considerar a equação da posição do oscilador harmônico O que são os pontos de retorno São pontos onde o oscilador para e inverte o sentido de seu movimento Se há essa pausa a velocidade é nula então primeiramente precisamos encontrar a função da velocidade e em seguida igualála a zero Veja RESOLUÇÃO AMPLITUDE E PONTOS DE RETORNO VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 2 Compreender as propriedades de oscilações amortecidas oscilações amortecidasforçadas e ressonância INTRODUÇÃO xt Acosω0t φ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Isolando v temos Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Passando todos os elementos para um único lado da equação temos mxt Cxt kxt 0 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Podemos verificar que temos uma EDO linear de segunda ordem que pode ser simplesmente solucionada por aplicação de equação característica assim 34 mλ² Cλ k 0 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Se dividirmos toda a equação 34 por m temos 35 λ² Cmλ k 0 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fazendo C α²k podemos resolver a equação 35 por Bháskara temos 36 λ α² α² 4k 2ω₀² 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Analisando a equação 36 podemos fazer as seguintes afirmações Quando α² 2ω₀² λ assumirá dois números reais distintos Nesse caso não haverá oscilação classificando o movimento como superamortecido Quando α² 2ω₀² λ assumirá dois números complexos distintos Nesse caso haverá oscilações classificando o movimento como subamortecido oscilações fracas e voga TEORIA NA PRÁTICA Para compreender melhor o sistema de um oscilador amortecido vamos considerar o aparato do amortecedor figura 8 de um automóvel Figura 8 Amortecedor de automóvel Cada roda de um automóvel está conectada à carroceria por meio de uma mola No interior de cada mola há um amortecedor composto de um pistão que se desloca dentro de um meio fluido que pode ser óleo ou de ar Para realizar a análise vamos considerar y como sendo a altura do amortecedor Diante disto a equação desse amortecedor é igual a 38 Fy Cvt Ky Fazendo Fy may 39 may Cv Ky Explicitando em termo do deslocamento pode ser escrita como 40 Passando todos os termos da equação para a esquerda 41 Dividindo todos os termos por m temos 42 A equação característica da EDO 42 é 43 Sabemos que e assim 44 RESOLUÇÃO Solucionando a equação característica 45 temos m y t C y t Ky t m y C y Ky 0 y y y 0 C m K m λ2 λ 0 C m K m ω0 k m α c m λ2 α2λ ω2 0 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal F₀cosω₀t Cvt kxt ma Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Isolando a força harmônica do lado direito da equação e colocando a equação na forma de uma EDO temos 47 mxt Cx kx F₀cosω₀t Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A equação 47 é uma EDO não homogênea de segunda ordem Para solucionála precisamos encontrar uma solução particular que englobe a força harmônica A solução homogênea dessa EDO também é apresentada para o oscilador amortecido resolvendo a equação do segundo grau situada do lado esquerdo da EDO particular será feito pelo método dos coeficientes a determinar Acompanhe 48 xpt ΔXcosω₀t φ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos agora derivar duas vezes essa solução proposta em 48 e substituir suas respectivas derivadas em 47 assim 49 xpt ω²ΔXsenω₀t φ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 50 xpt ω²ΔXcosω₀t φ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Substituindo 48 49 e 50 em 47 temos 51 ΔX F₀cosω₀t k mω²cosωt φ Cω₀senω₀t φ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A equação 51 pode ser reescrita através de relações trigonométricas de arco duplo assim 52 ΔX F₀cosω₀t k mω²cosφ senω₀tsenφ Cω₀senω₀tcosφ cosω₀tsenφ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pondo cosω₀ t e senω₀ t em evidência temos 53 ΔX F₀cosω₀t k mω²cosφ Cω₀senφ k mω²senφ Cω₀cosφsenω₀t Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Reescrevendo 53 temos 54 ΔX F₀cosω₀t k mω²cosφ Cω₀senφ k mω²senφ Cω₀cosφsenω₀t Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Αν 2 π f ω2 Π ωc kmug ΔX ΔX k mw₀² cosϕ Cw₀senϕ cosw₀t k mw₀² senϕ Cw₀cosϕ senw₀t F₀ cosw₀t I ΔX k mw₀² senϕ Cw₀cosϕ senw₀t 0 II Cw₀ k mw₀² senϕ cosϕ ΔX δu1r²2εr² engenheiros Figura 10 Ponte Tacoma Narrows MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 3 Descrever os conceitos das propriedades de ondas e interferência de onda função de onda e a definição de ondas propagantes e estacionárias INTRODUÇÃO As ondas possuem comportamentos distintos das partículas Sua posição velocidade e aceleração dependem da amplitude e da sua velocidade angular que está relacionada diretamente à frequência de vibração Diante do atual contexto neste módulo vamos aprender um pouco mais sobre as propriedades das ondas CONCEITOS E PROPRIEDADES DE ONDAS Considerase uma onda qualquer perturbação oscilante ou seja qualquer perturbação no espaço que seja periódica no tempo A oscilação no espaço é caracterizada através do seu comprimento de onda λ e o tempo decorrido para ocorrência desta oscilação é denominado período da onda T O período é definido como sendo o inverso de sua frequência f A frequência de oscilação e o comprimento de onda se relacionam através da velocidade de propagação da onda 74 v λ f As ondas sejam eletromagnéticas sejam mecânicas podem vibrar transversalmente ou longitudinalmente Aquelas que possuem vibrações transversais chamadas de ondas transversais apresentam a sua velocidade de propagação perpendicular ângulo de 90 com a sua orientação de vibração Já a onda longitudinal apresenta a velocidade de propagação paralela ângulo de 0 à sua orientação de vibração A figura 12 exemplifica ambos os casos Figura 12 Ondas transversais e longitudinais Na figura 12 podemos observar que a onda transversal oscila para cima e para baixo enquanto se propaga da direita para a esquerda Isso ocorre porque na ponta direita da corda há um oscilador Já na onda longitudinal o oscilador move uma mola para frente e para trás e isso faz com que a mola se contraia e se expanda na mesma direção da oscilação As ondas sonoras são um tipo de onda longitudinal pois o som se propaga com sucessivas expansões e contrações do ar exatamente como uma mola oscilando DIREÇÕES DE PROPAGAÇÃO DE UMA ONDA As ondas podem ser classificadas como unidimensionais bidimensionais e tridimensionais Isso depende de em quantas direções ela está se propagando ao mesmo tempo Vamos pegar o exemplo de uma corda delgada fina que esteja na horizontal como mostra a figura 13 Figura 13 Corda delgada fina Podemos ver que só existe uma única direção de propagação da onda a horizontal com sentido da direita para a esquerda ou sentido negativo Agora vamos observar a figura 14 Figura 14 Ondas que se propagam na superfície da água Podemos observar ondas se propagando na superfície da água e em duas direções horizontal e vertical Elas sobem e descem vão para a direita e para a esquerda e estão presentes em qualquer combinação entre aquelas duas direções A figura 14 é um exemplo de onda que se propaga bidimensionalmente ou seja em duas dimensões Por fim temos as ondas que se propagam tridimensionalmente capazes de se propagar simultaneamente em todas as direções do espaço Exemplos simples de ondas tridimensionais cotidianas são o som e a luz A figura 15 relaciona esse tipo de onda com o Sol Figura 15 Sol exemplo de onda tridimensional CARACTERÍSTICAS DAS ONDAS Podemos representar as ondas utilizando variáveis como frequência f comprimento de onda λ amplitude A período T e número de onda k e velocidade v COMPRIMENTO E NÚMERO DE ONDA O comprimento de onda λ é o tamanho da onda e pode ser aferido através da medição da distância entre dois vales ou duas cristas figura 16 Figura 16 Medição da distância O comprimento de onda e o número de onda se relacionam através da seguinte equação matemática 75 AMPLITUDE Chamamos de amplitude a magnitude de um distúrbio que ocorre durante um ciclo de onda A figura 17 demonstra a amplitude pela letra A Figura 17 Amplitude FREQUÊNCIA E PERÍODO Período de uma onda É o tempo T de uma oscilação completa O produto entre o período e a frequência é igual à unidade 76 No sistema internacional de medidas o período é medido em segundos s e a frequência em Hertz Hz A frequência também pode ser expressa em relação à frequência angular de propagação de uma onda 77 VELOCIDADE DA ONDA Já discutimos a velocidade de propagação de uma onda e verificamos que matematicamente a sua relação é igual a Diante disto podemos fazer essa relação ser expressa em função de outras variáveis como em função da velocidade angular e do número de onda 78 Tratandose de ondas mecânicas a velocidade dessa onda depende diretamente do meio em que ela se propaga assim a sua velocidade pode ser descrita de formas distintas Vamos acompanhar kλ 2π T f 1 f ω 2π v λf v ω k v Tμ Ondas propagantes se locomovem livremente e assumem uma característica senoidal possuem forma de senoide Neste caso a onda possui uma exitação perturbação que varia em função da posição x e do tempo t MÃO NA MASSA TEORIA NA PRÁTICA Um osciloscópio é um instrumento de medida que demonstra as formas de diversos tipos de ondas em função do tempo Porém muitos usuários possuem dificuldade em interpretar os dados para determinar a frequência de onda Vamos então aqui aprender a identificar parâmetros que nos levem à conclusão do valor da frequência de oscilação Para isso vamos observar a figura 20 Figura 20 Frequência de uma forma de onda osciloscópio No eixo x temos a medição do tempo em segundos s o que nos permite determinar por observação o período T da onda e no eixo y temos a medida da amplitude A em unidade métrica metros decímetro centímetro milímetro etc Observe que a ida começa em A então faz uma crista e um vale para em B ponto em que se repete o movimento até C Isso significa que existe um comprimento de onda de A até B e outro comprimento de onda de B até C Como identificar um período O período é o tempo necessário para que haja um comprimento de onda ou seja de A até B temos 4 quadradinhos e como cada quadradinho vale 1 segundo então temos que o período é de T 4s Agora como determinar a frequência Utilizando a seguinte equação RESOLUÇÃO Então o que precisamos para poder calcular a frequência 1 Conhecer o intervalo e medição de tempo no eixo x 2 Obter uma figura estática como a figura 16 para que possamos observar e calcular VERIFICANDO O APRENDIZADO CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS f 0 25hz 1 T 1 4 yx t Asenkx ωt φ Neste tema nos deparamos com o conceito de movimento harmônico simples movimento oscilatório amortecido e movimento oscilatório amortecido forçado e suas classificações Observamos que a utilização da matemática é de suma importância para a classificação dos movimentos em subamortecido criticamente amortecido e superamortecido Analisamos que a utilização de equações diferenciais ordinárias EDO é importante para análise de suas soluções de movimentos oscilatórios Verificamos também como uma onda se comporta e como suas propriedades variam em função de suas características PODCAST AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS ALMEIDA B Notthing else matters Ondas nas Cordas do Violão In Youtube Consultado em meio eletrônico em 1 set 2020 BEER F P JOHNSTON E R Mecânica vetorial para engenheiros Estática São Paulo McGraw Hill 2006 HALLIDAY D RESNICK J Fundamentos de física gravitação ondas e termodinâmica Rio de Janeiro LTC 2016 MERIAN J A KRAIGE LG Mecânica para engenharia Dinâmica Rio de Janeiro LTC 2009 RAO S S Vibrações mecânicas Printece Hall Brasil 2009 THOMSON W T Theory of vibration with applications Prentice Hall 1988 TIPPLER P MOSCA G Física para cientistas e engenheiros Rio de Janeiro LTC 2016 EXPLORE Para saber mais sobre o movimento harmônico simples MHS leia o artigo Estudo da relação entre o movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples utilizando a vídeoanálise de uma roda de bicicleta de E S Silva disponível na Revista Brasileira de Ensino de Física Para saber mais sobre osciloscópio e ondas senoidais leia o artigo Batimentos e ressonância de diapasões analisados usando um osciloscópio de Chiquito e Ramos disponível na Revista Brasileira de Ensino de Física Para saber mais sobre oscilações amortecidas forçadas leia o artigo O oscilador harmônico amortecido forçado revisitado de Bertuola Hussein e Pato disponível na Revista Brasileira de Ensino de Física CONTEUDISTA Gabriel Burlandy Mota de Melo Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A figura 18 apresenta um exemplo de uma onda senoidal utilizada em um osciloscópio FUNÇÃO DE ONDA HARMÔNICA A equação 82 também é conhecida como função de onda harmônica A equação 82 descreve a onda senoidal se deslocando para a direita para qualquer posição e instante de tempo t Para uma onda senoidal se deslocando para a esquerda temos que a equação 82 assume a característica yx t Asenkx ωt φ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Essa onda figura 18 tem como forma característica as funções representadas nos gráficos da figura 19 y yx t A A y yx t Δt Δx v Δt Figura 19 Gráfico de funções CURRÍCULO LATTES