Exercícios Resolvidos - Sinais e Sistemas - Série de Fourier e Funções

SINAIS EXEMPLO 1 𝑥𝑛 3 𝛿𝑛 2 Para localizarmos o local do pulso temos n 2 0 n 2 EXEMPLO 2 𝑥𝑛 2 𝛿𝑛 1 Para localizarmos o local do pulso temos n 1 0 n 1 EXEMPLO 3 𝑥𝑛 2 𝑢𝑛 2 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 Para o termo 2 𝑢𝑛 temos um degrau para n 0 de valor 2 Para o termo 2 𝛿𝑛 temos um pulso em n 0 de valor 2 Para o termo 𝛿𝑛 1 temos um pulso em n 1 0 n 1 de valor 1 n 2 3 xn n n 1 xn 2 EXEMPLO 4 𝑥𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 3 𝑢𝑛 6 𝑢𝑛 9 Para un Para un3 Degrau invertido a partir de n 3 0 n 3 n xn 2 2 1 n 2 1 xn n 1 xn n xn 3 1 Para un6 Degrau a partir de n 6 0 n 6 Assim EXEMPLO 5 Para un Para un4 n 1 6 n 1 6 9 3 n 1 xn 0 n xn 0 4 1 SÉRIE DE FOURIER Apresente os 4 primeiros termos da série O intervalo é T2 Portanto L T 2 1 𝒂𝟎 𝟏 𝑳 𝒙𝒕 𝒅𝒙 𝒂𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 𝒂𝟎 𝒙𝟏 𝟎 𝒙𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝒂𝒏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒏 𝝅𝒙 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒏 𝝅𝒙 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅𝒙𝒅𝒙 𝟎 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅𝒙𝒅𝒙 𝟏 𝟎 𝒂𝒏 𝟏 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅𝒙𝟏 𝟎 𝟏 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅𝒙𝟎 𝟏 𝒂𝒏 𝟏 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅𝟏 𝟏 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅𝟎 𝒂𝒏 𝟏 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅 𝟏 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅 𝒂𝒏 𝟎 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅𝒙𝒅𝒙 𝟎 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅𝒙𝒅𝒙 𝟏 𝟎 𝒃𝒏 𝟏 𝒏𝝅 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅𝒙 𝟏 𝟎 𝟏 𝒏𝝅 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅𝒙 𝟎 𝟏 𝒃𝒏 𝟏 𝒏𝝅 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅𝟏 𝟏 𝒏𝝅 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅𝟎 𝒃𝒏 𝟏 𝒏𝝅 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅 𝟏 𝒏𝝅 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅 𝟏 𝒃𝒏 𝟏 𝒏𝝅 𝟐 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅 𝒃𝒏 𝟐 𝒏𝝅 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅 Se n for número par temos 1 cosn 1 1 0 Se n for número ímpar temos 1 cosn 1 1 2 Assim considerando apenas n ímpar temos m 2n1 criar um número ímpar 𝒃𝒏 𝟐 𝟐 𝒏 𝟏 𝝅 OBS isso garante que são selecionados apenas os valores de n que são ímpares Finalizando 𝒇𝒙 𝟎 𝟐 𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅𝒙 𝒎𝟏 𝟐 𝟐 𝒏 𝟏 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒏 𝟏𝝅𝒙 𝒇𝒙 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒏 𝟏𝝅𝒙 𝟐 𝒏 𝟏 𝒎𝟏 Para n1 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟏𝟏𝝅𝒙 𝟐𝟏𝟏 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟑𝝅𝒙 𝟑 Para n2 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐𝟏𝝅𝒙 𝟐𝟐𝟏 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟓𝝅𝒙 𝟓 Para n3 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟑𝟏𝝅𝒙 𝟐𝟑𝟏 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟕𝝅𝒙 𝟕 Para n4 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟒𝟏𝝅𝒙 𝟐𝟒𝟏 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟗𝝅𝒙 𝟕 AULA DE REVISÃO PARA AV 1 Parte 2 04052020 TRANSFORMADA DE FOURIER 4 x 0 ft 0 x 0 Resolução Passo 1 colocar os intervalos e valores da função na integral 𝐹𝑗𝑤 𝑓𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 0 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 0 4 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 0 Passo 2 resolver a integral e aplicar os limites 𝐹𝑗𝑤 4 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 0 4 1 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑡 0 4 1 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤0 𝐹𝑗𝑤 4 1 𝑗𝑤 0 1 4 1 𝑗𝑤 1 4 𝑗𝑤 𝑗𝑤 𝑗𝑤 4 𝑗𝑤 𝑗2 𝑤2 4𝑗𝑤 1𝑤2 4𝑗 𝑤 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM SINAL DISCRETO Resolução a Passo 1 Aplicar a função na transformada de Fourier 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝑠𝑒𝑛Ω cosΩ 3 𝑒𝑗Ωn𝑑Ω 𝜋 𝜋 Verificar a possibilidade de simplificar os termos para facilitar a integração 𝑠𝑒𝑛𝛀 𝒆𝒋𝒘 𝒆𝒋𝒘 𝟐𝒋 𝒆𝒋𝒘 𝟐𝒋 𝒆𝒋𝒘 𝟐𝒋 𝑐𝑜𝑠𝛀𝟑 𝒆𝒋𝒘𝟑 𝒆𝒋𝒘𝟑 𝟐 𝒆𝒋𝒘𝟑 𝟐 𝒆𝒋𝒘𝟑 𝟐 Substituir nos colchetes os termos acima 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝒆𝒋𝒘 𝟐𝒋 𝒆𝒋𝒘 𝟐𝒋 𝒆𝒋𝒘𝟑 𝟐 𝒆𝒋𝒘𝟑 𝟐 𝑒𝑗Ωn𝑑Ω 𝜋 𝜋 Efetuar as simplificações e resolver as integrais 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝒆𝒋𝒘 𝑒𝑗Ωn 𝟐𝒋 𝒆𝒋𝒘𝑒𝑗Ωn 𝟐𝒋 𝒆𝒋𝒘𝟑𝑒𝑗Ωn 𝟐 𝒆𝒋𝒘𝟑𝑒𝑗Ωn 𝟐 𝑑Ω 𝜋 𝜋 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝒆𝒋Ω𝑗Ωn 𝟐𝒋 𝒆𝒋Ω𝑗Ωn 𝟐𝒋 𝒆 𝒋Ω 𝟑 𝑗Ωn 𝟐 𝒆𝒋Ω 𝟑 𝑗Ωn 𝟐 𝑑Ω 𝜋 𝜋 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝒆𝒋Ωn1 𝟐𝒋 𝒆𝒋Ω𝒏𝟏 𝟐𝒋 𝒆jΩn1 3 𝟐 𝒆jΩn1 3 𝟐 𝑑Ω 𝜋 𝜋 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝒆𝒋Ωn1 𝟐𝒋 𝒆𝒋Ω𝒏𝟏 𝟐𝒋 𝒆jΩn1 3 𝟐 𝒆jΩn1 3 𝟐 𝑑Ω 𝜋 𝜋 𝑥𝑛 1 2𝜋 1 2𝑗 𝒆𝒋Ωn1 𝑗𝑛 1 1 2𝑗 𝒆𝒋Ωn1 𝑗𝑛 1 1 2 𝒆jΩn1 3 𝑗 𝑛 1 3 1 2 𝒆jΩn1 3 𝑗 𝑛 1 3 𝜋 𝜋 𝑥𝑛 1 2𝜋 1 2𝑗 𝒆𝒋πn1 𝑗𝑛 1 1 2𝑗 𝒆𝒋πn1 𝑗𝑛 1 1 2 𝒆jπn1 3 𝑗 𝑛 1 3 1 2 𝒆jπn1 3 𝑗 𝑛 1 3 1 2𝜋 1 2𝑗 𝒆𝒋πn1 𝑗𝑛 1 1 2𝑗 𝒆𝒋πn1 𝑗𝑛 1 1 2 𝒆jπn1 3 𝑗 𝑛 1 3 1 2 𝒆jπn1 3 𝑗 𝑛 1 3 𝑥𝑛 1 2𝜋 1 2𝑗 𝒆𝒋πn1 𝑗𝑛 1 1 2𝑗 𝒆𝒋πn1 𝑗𝑛 1 1 2𝑗 𝒆𝒋πn1 𝑗𝑛 1 1 2𝑗 𝒆𝒋πn1 𝑗𝑛 1 1 2 𝒆jπn1 3 𝑗 𝑛 1 3 1 2 𝒆jπn1 3 𝑗 𝑛 1 3 1 2 𝒆jπn1 3 𝑗 𝑛 1 3 1 2 𝒆jπn1 3 𝑗 𝑛 1 3 𝑥𝑛 1 2𝜋 1 𝑗𝑛 1 𝒆𝒋πn1 𝒆𝒋πn1 2𝑗 1 𝑗 𝑛 1 𝒆𝒋πn1 𝒆𝒋πn1 2𝑗 1 𝑛 1 3 𝒆jπn1 3𝒆jπn1 3 𝟐𝒋 1 𝑛 1 3 𝒆jπn1 3𝒆jπn1 3 𝟐𝒋 𝑥𝑛 1 2𝜋 1 𝑗𝑛 1 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑛 1 1 𝑗 𝑛 1 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑛 1 1 𝑛 1 3 senπn 1 3 1 𝑛 1 3 𝑠𝑒𝑛𝜋n 1 3 Como 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑛 1 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑛 1 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑥𝑛 1 2𝜋 1 𝑛 1 3 senπn 1 3 1 𝑛 1 3 𝑠𝑒𝑛𝜋n 1 3 MMC 𝑛 1 3 3𝑛1 3 𝑛 1 3 3𝑛1 3 𝑥𝑛 1 2𝜋 1 3𝑛 1 3 senπn 1 3 1 3𝑛 1 3 𝑠𝑒𝑛𝜋n 1 3 𝑥𝑛 1 2𝜋 3 3𝑛 1 senπn 1 3 3 3𝑛 1 𝑠𝑒𝑛𝜋n 1 3 CONVOLUÇÃO Efetuar a convolução dos sinais abaixo Resolução Passo 1 transforma a tabela em equação do sinal e fazer o gráfico xn 3 δ n 3 2 δ n 1 δ n 1 yn δ n 2 2 δ n 1 3 δ n 1 4 δ n 2 Gráficos xn yn 2 1 1 2 3 1 1 3 2 1 2 3 4 1 Passo 2 Escolher qual a ordem da convolução 𝒚𝒏 𝒙𝒏 𝒚𝒏𝒙𝒏 𝒌 𝒌 𝒙𝒏 𝒚𝒏 𝒙𝒏𝒚𝒏 𝒌 𝒌 Propriedade 𝒚𝒏 𝒙𝒏 𝒙𝒏 𝒚𝒏 Dica colocar na primeira posição o sinal que tem menos picos 𝒙𝒏 𝒚𝒏 𝒙𝟑𝒚𝒏 𝟑 𝒙𝟏𝒚𝒏 𝟏 𝒙𝟏𝒚𝒏 𝟏 Passo 3 substituir os valores de xn 𝒙𝒏 𝒚𝒏 𝟑 𝒚𝒏 𝟑 𝟐 𝒚𝒏 𝟏 𝟏 𝒚𝒏 𝟏 𝟑𝒚𝒏 𝟑 𝟐 𝒚𝒏 𝟏 𝟏 𝒚𝒏 𝟏 5 4 2 3 6 9 12 1 3 2 0 1 2 4 6 8 1 0 2 3 1 2 3 4 Somando os picos nas mesmas posições 3 5 4 6 3 2 2 13 13 1 8 0 8 1 2 3 3 4