Processamento Digital de Sinais - Exercícios Resolvidos Transformada de Fourier

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS Prof Ms Helber Holland helberhollandestaciobr 1 AULA 04 Parte 2 Exercícios PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 04 Unidade 2 Análise no domínio da frequência 2 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM SINAL DISCRETO EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 𝑋 𝑒𝑗Ω 𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑗Ω𝑛 𝑋 𝑒𝑗Ω 𝑛 𝛿𝑛 𝑒𝑗Ω𝑛 𝑋 𝑒𝑗Ω 1 𝑒𝑗Ω0 𝑋 𝑒𝑗Ω 𝑒𝑗Ω0 𝑒0 1 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 04 Unidade 2 Análise no domínio da frequência 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM SINAL DISCRETO EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 3 Pretendese determinar a resposta impulsional hn do filtro digital passa baixo ideal com frequência de corte wc A resposta em frequência Hejw 𝑥𝑛 1 2𝜋 න 𝜋 𝜋 𝑋 𝑒𝑗Ω 𝑒𝑗Ω𝑛𝑑Ω ℎ𝑛 1 2𝜋 න 𝑤𝑐 𝑤𝑐 1 𝑒𝑗Ω𝑛𝑑Ω 1 2𝜋 න 𝑤𝑐 𝑤𝑐 𝑒𝑗Ω𝑛𝑑Ω 1 2𝜋 1 𝑗𝑛 𝑒𝑗Ω𝑛 𝑤𝑐 𝑤𝑐 1 2𝜋𝑗𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑐𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑐𝑛 1 𝜋𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑐𝑛𝑒𝑗𝑤𝑐𝑛 2𝑗 1 𝜋𝑛 sen𝑤𝑐𝑛 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 04 Unidade 2 Análise no domínio da frequência 4 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM SINAL DISCRETO EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 4 Calcule a transformada Xeiw do sinal abaixo 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 4 𝑋 𝑒𝑗Ω 𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑗Ω𝑛 𝑋 𝑒𝑗Ω 𝑛 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 4 𝑒𝑗Ω𝑛 𝑛4 1 2 𝑛 1 𝑒𝑗Ω𝑛 𝑛4 1 2 𝑛 𝑒𝑗Ω𝑛 𝑛4 𝑒𝑗Ω 2 𝑛 𝑛𝒏𝒐 𝑛 𝒏𝟎 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 1 Como 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 1 𝑒𝑗Ω 2 4 1𝑒𝑗Ω 2 𝑒4𝑗Ω 16 2𝑒𝑗Ω 2 𝑒4𝑗Ω 16 2 2𝑒𝑗Ω 𝑒4𝑗Ω 82𝑒𝑗Ω PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 04 Unidade 2 Análise no domínio da frequência TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM SINAL DISCRETO EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Pretendese determinar a resposta xn entre e da resposta em frequência X𝑒𝑗Ω cosΩ jsenΩ 𝑥𝑛 1 2𝜋 න 𝜋 𝜋 cosΩ jsenΩ 𝑒𝑗Ω𝑛𝑑Ω Como 𝑒𝑗Ω cosΩ j senΩ 𝑥𝑛 1 2𝜋 න 𝜋 𝜋 𝑒𝑗Ω 𝑒𝑗Ω𝑛𝑑Ω 1 2𝜋 න 𝜋 𝜋 𝑒𝑗Ω𝑛𝑗Ω𝑑Ω 1 2𝜋 න 𝜋 𝜋 𝑒𝑗Ω𝑛1𝑑Ω 1 2𝜋 1 𝑗𝑛 1 𝑒𝑗Ω𝑛1 𝜋 𝜋 1 2𝜋𝑗𝑛1 𝑒𝑗𝜋𝑛1 𝑒𝑗𝜋𝑛1 1 𝜋𝑛1 𝑒𝑗𝜋 𝑛1 𝑒𝑗𝜋 𝑛1 2𝑗 𝑠𝑒𝑛𝜋 𝑛1 𝜋𝑛1 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 04 Unidade 2 Análise no domínio da frequência 6 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM SINAL DISCRETO EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 4 Calcule xn da transformada mostrada a seguir 𝑋 𝑒𝑖Ω 𝑒Ω 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜋 Ω 0 𝑒Ω 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 Ω 𝜋 𝑥𝑛 1 2𝜋 න 𝜋 𝜋 𝑋 𝑒𝑗Ω 𝑒𝑗Ω𝑛𝑑Ω 𝑥𝑛 1 2𝜋 න 𝜋 0 𝑒Ω 𝑒𝑗Ω𝑛𝑑Ω 1 2𝜋 න 0 𝜋 𝑒Ω 𝑒𝑗Ω𝑛𝑑Ω 𝑥𝑛 1 2𝜋 න 𝜋 0 𝑒𝑗Ω𝑛Ω𝑑Ω 1 2𝜋 න 0 𝜋 𝑒𝑗Ω𝑛Ω𝑑Ω 𝑥𝑛 1 2𝜋 න 𝜋 0 𝑒Ω𝑗𝑛1𝑑Ω 1 2𝜋 න 0 𝜋 𝑒Ω𝑗𝑛1𝑑Ω 𝑥 𝑛 1 2𝜋 1 𝑗𝑛 1 𝑒Ω𝑗𝑛1𝜋 0 1 2𝜋 1 𝑗𝑛 1 𝑒Ω𝑗𝑛10 𝜋 Neste caso como a função foi apresentada particionada temos que integrar separado PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 04 Unidade 2 Análise no domínio da frequência 𝑥 𝑛 1 2𝜋 1 𝑗𝑛 1 𝑒Ω𝑗𝑛1𝜋 0 1 2𝜋 1 𝑗𝑛 1 𝑒Ω𝑗𝑛10 𝜋 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1 1 𝑒𝜋𝑗𝑛1 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1𝑒𝜋 𝑗𝑛1 1 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1 𝑒𝜋 𝑗𝑛1 2𝜋 𝑗𝑛1 𝑒𝜋 𝑗𝑛1 2𝜋𝑗𝑛1 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1 𝑒𝜋𝑗𝑛𝑒𝜋 2𝜋 𝑗𝑛1 𝑒𝜋𝑗𝑛𝑒𝜋 2𝜋𝑗𝑛1 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1 𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑎𝑏 𝑒𝑎 𝑒𝑏 𝑒𝜋𝑗𝑛 cos 𝜋𝑛 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑛 cos 𝜋𝑛 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑛 1 𝑛 0 1 𝑛 𝑒𝑗 cos 𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 Como 𝑒𝜋𝑗𝑛 cos 𝜋𝑛 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑛 cos 𝜋𝑛 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑛 1 𝑛 0 1 𝑛 PAR ÍMPAR Valor de cos para n Assim E PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 04 Unidade 2 Análise no domínio da frequência 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1 𝑒𝜋𝑗𝑛𝑒𝜋 2𝜋 𝑗𝑛1 𝑒𝜋𝑗𝑛𝑒𝜋 2𝜋𝑗𝑛1 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1 Retornando para o resultado 1 𝑛 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1 1 𝑛𝑒𝜋 2𝜋 𝑗𝑛1 1 𝑛𝑒𝜋 2𝜋𝑗𝑛1 1 2𝜋 1 𝑗𝑛1 1 2𝜋𝑗𝑛 1 1 1 𝑛 𝑒𝜋 1 2𝜋 𝑗𝑛 1 1 𝑛 𝑒𝜋 1 Colocar esse sinal dentro do colchetes 1 2𝜋𝑗𝑛 1 1 1 𝑛 𝑒𝜋 1 2𝜋 𝑗𝑛 1 1 𝑛 𝑒𝜋 1 Colocando em evidência 1 1 𝑛 𝑒𝜋 2𝜋 1 1 𝑗𝑛 1 1 𝑗𝑛 1 1 𝑛 𝑒𝜋 𝜋𝑛2 1 Fazendo o MMC PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 04 Unidade 2 Análise no domínio da frequência 9 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM SINAL DISCRETO EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 4 Calcule xn da transformada mostrada a seguir 𝑋 𝑒𝑖Ω 𝑠𝑒𝑛 Ω cosΩ3 a b 𝑥𝑛 1 2𝜋 න 𝜋 𝜋 𝑋 𝑒𝑗Ω 𝑒𝑗Ω𝑛𝑑Ω PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 04 Unidade 2 Análise no domínio da frequência 10 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM SINAL DISCRETO EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 4 Encontre a magnitude e fase do sinal abaixo 𝑋 𝑒𝑗Ω 𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑗Ω𝑛 11 Bibliografia AULA 04 NALON J A Introdução ao Processamento Digital de Sinais 1 ed Rio de Janeiro LTC 2006 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS