Resolução de Problemas - Tratamento Térmico e Lei de Newton em Guindastes

Conteúdo do exercício Metodologia Ativa Resolução de problemas o objetivo dessa atividade é instigar a resolução de problemas com base no que foi estudado nesta disciplina Aqui você deve explorar as possibilidades da metodologia ativa na contextualização do assunto proposto para a solução de problemas Preparadoa Vamos começar O tratamento térmico das peças do um guindaste é muito importante Ele evita que ocorram desgastes corrosões e até mesmo que a estrutura do guindaste quebre com o passar do tempo O guindaste é um tipo de equipamento que fica exposto a condições climáticas variadas como o sol calor vento chuva etc Essa rotina juntamente com o esforço que esse equipamento sofre pode causar o desgaste em sua carcaça e peças Por isso o tratamento térmico das peças do guindaste é tão importante ele melhora a resistência do aço ao desgaste cortequebra e corrosão Um dos processos é o de Normalização A normalização consiste no aquecimento das peças seguido de resfriamento ao ar o que resulta em uma granulação mais refinada e uniforme Segundo a lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente Mediante essas informações sobre a normalização e a segunda lei de Newton resolva o seguinte problema Ao aquecer uma determinada peça de um guindaste se a temperatura do ambiente é de 20C e a temperatura do corpo cai em 20 minutos de 100 C a 60 C dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 C Apresente a Equação Diferencial ordinária que descreve a lei de resfriamento de Newton Apresente o desenvolvimento dos cálculos para a determinação do tempo para que a temperatura decaia para 30 Nome Disciplina CÁLCULO VETORIAL E EDO Resfriamento de um corpo De início começaremos nossa modelagem discutindo algumas hipóteses de trabalho que tornam razoável nossa modelagem Com efeito nosso modelo e discussão é baseado nas referências FIGUEIREDO D NEVES 2015 e GONDAR J L CIPOLATTI 2016 Nesse sentido consideraremos um corpo homogêneo que possui uma determinada temperatura T que em decorrência da homogeneidade do corpo é a mesma em qualquer parte Assim podemos pensar num ponto material que possui essa temperatura e valem as seguintes hipóteses i A temperatura do ambiente em que o corpo está situado Ta é constante e é a mesma em qualquer ponto do ambiente ii O fluxo de calor através da parede desse corpo é proporcional a diferença de temperaturas do corpo e do ambiente De posse dessas hipóteses podemos modelar a evolução da temperatura Tt pela lei do resfriamento de Newton que é da seguinte forma dTtdt T kT Ta 1 em que k é uma constante positiva que depende das propriedades físicas do corpo O sinal negativo que aparecem em 1 advém da primeira lei da termodinâmica a qual nos dá que o calor flui do ambiente de maior temperatura para o menor Por outro lado a interpretação da derivada a equação 1 nos dá que a taxa com que a temperatura T varia ao decorrer do tempo é negativa Com efeito a curva que descreve T será decrescente o que entra em consonância com os objetivos do nosso modelo em descrever o resfriamento de um corpo Agora resolveremos a equação 1 Ainda mais consideraremos o seguinte PVI T0 T0 isto é a temperatura no tempo zero medido é dada por T0 Note que essa EDO é separável então utilizando o método de separação de variáveis temos o seguinte T T Ta ddt lnT Ta k integrando a expressão acima obtemos dlnT Ta kdt lnT Ta kt C1 T Ta C ekt T Ta C ekt 1 em que C eC1 é uma constante de integração Daí para a condição inicial em t 0 obtemos que C T0 Ta e a solução de 1 é dada por Tt T0 Taekt Ta 2 Da equação 2 obtemos as seguintes considerações i Observe que se T0 Ta então 2 decresce monotonicamente ii Se T0 Ta então 2 cresce monotonicamente Fisicamente essas duas observações qualitativas traduzemse da seguinte forma se um corpo está imerso num ambiente de menor temperatura então a temperatura desse corpo diminui com o passar do tempo por outro lado se esse corpo está num ambiente de menor temperatura então sua temperatura cresce Resultados esses que concordam com a primeira lei da Termodinâmica Com isso em mãos temos a solução geral do problema da lei de resfriamento para qualquer tipo de problema Nesse sentido para o dado problema em questão que temos segue que Ta 20C e T0 100C e que temos ainda que após t 20 minutos a temperatura sai de 100C para 60C graus Logo nosso modelo fica dado por Tt 100 20ekt 20 80ekt 20 3 e como sabemos que em t 20 minutos a temperatura é T 60C segue que 60 Tt 4 80e4k 20 e4k 60 100 80 e4k 1 2 lne4k ln21 4k lne ln2 k ln2 4 logo isso determina a constante k e desse modo temos que nosso modelo fica dado por Tt 80e ln2t4 20 4 2 Então para termos Tt 30C segue que Tt 80e ln2t4 20 30 80e ln2t4 10 e ln2t4 1 8 e ln2t4 23 lne ln2t4 ln23 ln24t 3 t 12 ln2 173123404907 e logo após t 173123404907 minutos a temperatura decairá para o 30 graus Referências FIGUEIREDO D NEVES A F Equações Diferenciais Aplicadas 3 ed Rio de Janeiro Editora IMPA 2015 Citado na página 1 GONDAR J L CIPOLATTI R A Iniciação à Física Matemática Modelagem de processos e métodos de solução 2 ed Rio de Janeiro Editora do IMPA 2016 Coleção Matemática e Aplicações Citado na página 1 3