Aplicação do Conceito de Integração Tripla

DESCRIÇÃO Aplicação do conceito de Integração Tripla PROPÓSITO Definir integral tripla calcular a integral tripla por meio de integrais iteradas em coordenadas cartesianas cilíndricas e esféricas e aplicar a integração tripla em alguns problemas de cálculo integral com três variáveis PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos papel caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Calcular a integral tripla MÓDULO 2 Calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas MÓDULO 3 Aplicar o conceito de integração tripla TAGS Integral tripla coordenadas cilíndricas coordenadas esféricas aplicações integrais triplas MÓDULO 1 Calcular a integral tripla INTRODUÇÃO Ao se aplicar procedimentos análogos à integral simples aplicada em funções reais e à integral dupla aplicada em funções escalares com duas variáveis também podemos definir a integral tripla por meio de um somatório triplo que envolverá uma função escalar do R3 Este módulo definirá a integração tripla e ensinará a realizar o seu cálculo DEFINIÇÃO DE INTEGRAL TRIPLA ATENÇÃO Para definição da integral simples e integral dupla foi utilizado um somatório denominado Somatório de Riemann Para a definição da integral simples foi criada uma partição P u0 u1 un que dividia um intervalo ab em n subintervalos ui 1 ui tal que a u0 u1 un 1 un b com amplitudes de cada subintervalo ui 1 ui dada por Δui u1 ui 1 Logo apés em cada subintervalo uj 1 uj da Partiao P foi escolhido arbitrariamente um ponto pj Assim foi definida a soma de Riemann de fx em relacao a partigao P e ao conjunto de pontos p por meio da expressao N FP ay 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Desse modo a integral simples aplicada a uma fungao de uma variavel foi definida como B N JBFXDX LIM FP AU N 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que n representa que todas as amplitudes A u tendem a zero Diante da integral dupla de forma semelhante ao realizado no caso da fungao de uma variavel com o intervalo ab foi definida uma Partigao de uma area S que envolvia agora duas dimensdées em vez de uma so As amplitudes de cada area particionada eram definidas por A XA Foram escolhidos arbitrariamente um ponto p em cada area da partiao Assim a integral dupla da fungao fxy na regiao S sera definida por um limite da Soma Dupla de Riemann N M Sf F YDXDY LIM y FPy AXAY Ss A 00 J0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que A0 representa que todas as amplitudes de Ax e Ay tendem a zero Agora podemos usar um procedimento analogo para definir a integral tripla para uma fungao escalar com dominio em R3 A integral Tripla sera uma operagao matematica definida para uma fungao escalar com dominio em um subconjunto do R isto é dependendo de trés variaveis reais Seja um paralelepipedo V definido por v Z R37 ASXSB CSsYSDEGS vs H COM A B C D GE H REAIS 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal DICA Conforme realizado nos casos anteriores vamos definir uma Partigao P para o Paralelepipedo definido por V A diferenga agora é que essa partiao é por volume e envolve trés dimensGes Seja PyaX9XxXb PyiC V9 V1 Vm P39Zg9Z4Zh 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal partig6es dos intervalos ab cd e gh respectivamente As amplitudes dos intervalos serao definidas por Ax Ay e AZ O conjunto definido por Pxpp2Zq OSIS2 eOQsjsme 0kp i j e k inteiros 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal é denominado partigao do paralelepipedo V Para tal caso essa partigao P determinara mnk paralelepipedos cada um definido por 3 X Y Z Vuk x YZ R9 X4SXSX Yy4S YS YjEZ48Z5Z 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Seja agora um conjunto BcR O conjunto B sera limitado se existir um paralelepipedo V tal que todo B esta contido nesse paralelepipedo isto é BcV Neste momento ja podemos usar procedimentos analogos e definir a Soma Tripla de Riemann para a fungao escalar com dominio no R Sejaa fungao escalar fxyz com dominio no conjunto B c R3 com B limitado Assim existira um retangulo V tal que B esta totalmente contido em V Seja a partigao P do paralelepipedo V isto é Pxpp2Zq OSIS2 e0jsme0ksp 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal comi jek inteiros Para cada paralelepipedo Vj da partigao P escolhese arbitrariamente um ponto pj Pijk u Vis Wx com xX48 us Xj Yj vps Yj e 248 ws Z 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Desejamos definir um somatdrio cujas parcelas serao do tipo p A xjAyjA Zx COMENTARIO O problema é que a fungao fxyz somente é definida para B e os pontos Pijk podem cair em uma regiao do paralelepipedo V que nao pertence a B Resolveremos esta questao de forma andaloga ao resolvido para integral dupla Para solucionar este problema usaremos a seguinte definiao para Pj bjx S Pix B Py 0 se pi B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Agora podemos definir a Soma Tripla de Riemann da fungao fxyz relativa a uma partigao P e aos pontos arbitrarios Pijk pela expressao N M P YY Y FPyqAXjA YyAZq 0 J0 K0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Repare que como os pontos que nao pertencem a B tém valor de fungao zero as parcelas do somatorio referentes a eles serao nulas Portanto a Soma Tripla de Riemann em B sera igual a Soma Tripla de Riemann em V A integral tripla da fungao fxyz na regiao B sera definida por um limite da Soma Tripla de Riemann N M P If FX Y DXDYDZLIM 5 FPux AXA YJ AZ B A 0 0 J0 K0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que A0 representa que todas as amplitudes de Ax Ayje Az tendem para zero Se o limite existir entao a fungao f sera integravel em B e 0 valor da integral tripla sera o valor obtido pelo calculo do limite De forma similar fxyz sera denominada integrando e a integral tripla tera um limite inferior e superior de integragao para cada uma das trés integrais DICA A determinagao das integrais triplas nao sera feita pelo calculo do limite de sua definiao Em tépico posterior sera estudado como realizar esse calculo Antes vamos analisar as propriedades da integral tripla Podemos apresentar algumas propriedades para a integral tripla A demonstragao de todas elas é feita por meio da sua definigao pela Soma Tripla de Riemann Sejam as fungées fxyz e gxyz integraveis em B e k uma constante real 01 02 03 SSS LF Y Z t GX Y ZDXDYDZ fff FX Y ZIDXDYDZ f GX Y ZIDXDYDZ B B B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal S K FX Y DXDYDZ Kf FX Y ZDXDYDZ B B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Se fxy20emS Sf FX Y ZDXDYDZ 2 0 B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal DICA E possivel utilizar a mesma analogia para fxyz 0 fxyz 0 e fxyz 0 04 05 Se fxyZ 2 gxyz em B Sf FX Y ZDXDYDZ 2 fff GX Y ZDXDYDZ B B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal DICA E possivel utilizar a mesma analogia para fxyz gxyz fxyz gxyZ e fx yZ gx yz Sejam B e Bp tais que B U By BeBNB90 Sf FX Y ZDXDYDZ ff FX Y ZDXDYDZ f FX Y ZDXDYDZ B B B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal No calculo integral de uma variavel é possivel calcular as integrais definidas de uma forma mais direta usando as integrais imediatas por meio do Teorema Fundamental do Calculo Integral dupla Para o caso da integral dupla 6 usado o Teorema de Fubini por meio do calculo de duas integrais simples iteradas Integral tripla Para o caso da integral tripla a solugao sera transformar a integral em uma integral dupla e uma integral simples Vamos dividir em dois casos Quando B é um paralelepipedo neste caso os trés intervalos de integragao serao definidos por numeros e sem dependéncia entre as variaveis Quando os intervalos de integragao de pelo menos uma variavel depende das demais Seja fxyz uma fungao escalar integravel definida em BcR O conjunto B é um paralelepipedo definido por Bxy2 R8asxbcsyd egsysn com a b c d g eh reais 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim pelo Teorema de Fubini para integral tripla BDH Sf FX Y ZDV ff FX Y ZDXDYDZ FX Y ZDZDYDX B B ACG 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A integral que vemos ao lado direito da expressao apresentada é denominada Integrais Iteradas DICA O nome Integrais lteradas indica que inicialmente integramos parcialmente em relagao a uma variavel depois integraremos em relagao a segunda e por fim em relagao a terceira variavel Em cada caso similar ao realizado na integragao dupla durante a integragao parcial as demais variaveis sao consideradas como constantes ATENGAO Para este caso tanto faz integrarse parcialmente em relagao a variavel x y ou z Assim teremos cerca de seis possibilidades de acordo com a ordem escolhida de integracgao Repare na notagao dependendo da ordem escolhida a ordem de dx dy e dz deve mudar Os limites de integragao em cada integral da direita para esquerda correspondem as diferenciais da direita para esquerda No caso do exemplo o intervalo ab corresponde a variavel x o intervalo cd corresponde a variavel y e por fim o intervalo gh corresponde a variavel z Para fixar o conteudo vamos mostrar a integral quando escolhemos integral na ordem das variaveis x z e y DHB Sf FX Y ZDXDYDZ FX Y ZDXDZDY B CGA 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Pode ser provado que para o caso de se ter fxyz gxhyqZ a integral é tripla para quando os limites sAo numéricos ela pode ser analisada como um produto de trés integrais simples DHB B D H Sf FX Y ZDXDYDZ FX Y ZDXDZDY GXDX HYDY QZDZ B CGA A Cc G 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal EXEMPLO H De B D H Hig xZ 1Y2DXDYDZ a8xDx eypy HZ 10z A Como visto a integral tripla sera calculada com a determinacdo de trés integrais simples E importante relembrarmos as integrais simples imediatas e os métodos de integragao estudados no calculo de uma variavel Determine o valor de fff 3xy zy 2xzdxdydz em que B esta contido em uma caixa definido por 1x21ys3e0zs1 SOLUGAO Usando as integrais iteradas SS gl3xy zy 2xzdxdydz oO a 3xy zy 2xzdxdydz 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Vamos integrar parcialmente em relagao a variavel x mantendo as variaveis y e z constantes 2 2 2 2 J3xy zy 2xzdx 3xy dx zy dx J2xz dx 1 1 1 1 2 2 2 2 J3xy zy 2xzdx 3yx dx zy dx 2zx dz 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 J8xy zy 2xzdx 3y 3x Zy x42z 3x 1 1 1 2 3 J 3xy zy 2xzdx 5y 2 1 zy2 1 22 1 1 2 9 J3xy zy 2xzdx sv tzy3z 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Integrando agora parcialmente em relagao ao y mantendo z constante 3g 93 3 3 i5y2y92 y aly dy zly dy 3z dy 1 1 1 1 39 91 18 i3y2y2 a 3 4 3z yl 39 9 z I Sy zy3zay5 3212 53 12 32 31 1 39 ijy2y2 18 4z6z182z 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Por fim resolvemos a integral em z 1 1 1 J 18 2z dz 18 z2 2 18117 0 0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Seja fxyz uma fungao escalar integravel definida em BcRO conjunto B é uma regiao espacial limitada isto 6 um solido COMENTARIO Vamos considerar que o solido B é um conjunto de pontos xyz tais que ao fixar o valor de xy o valor de z estara limitado entre duas fungdes Considere 0 conjunto S c R2 um conjunto fechado e limitado e sejam duas fungdes escalares gxy e hxy continuas em S tais que para todo xy S gxy hx Seja B o conjunto do R3 isto é dos pontos xyz tais que gxy z hxy para todo xy S Na verdade 0 conjunto S é a projegao do sélido B no plano XY conforme a figura z B i r Teak I Bley yO X Assim de forma analoga a integral dupla Ax Jil afl y 2dV Sil pf y zydxdydz ff gl tx y zdz aay 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal O raciocinio também poderia ter sido feito de outras duas maneiras PELA PROJECGAO DE B SOBRE O PLANO XZ Pela projegao de B sobre o plano XZ isto 6 mantendo xy fixo sendo gxz y hxz Assim HXZ ISS BFX Y ZDV Sif BFX Y ZIDXDYDZ ff etx ZFX Y ZDY DXDZ 3 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal PELA PROJECAO DE B SOBRE O PLANO YZ Pela projegao de B sobre o plano YZ isto 6 mantendo yz fixo sendo gyz x hyz Assim Sl pFX Y ZDV fff aFX Y ZDXDYDZ ff 4 2 Fx y ZDXDYDZ B J J B J J S G Y Z J J 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em todos os casos 0 calculo da integral tripla iniciara pela solugao de uma integral simples em que uma variavel tera limites de integragao dependendo das duas outras variaveis Por fim deve ser resolvida uma integral dupla sobre a area S Para se determinar a projegao S do sdlido B em um dos trés planos cartesianos existe a necessidade de termos uma visao espacial ATENGAO Se existirem regides dentro da area S onde gxy hxy e outras onde gxy 2 hxy a integral deve ser separada em integrais em que a ordem de gxy e hxy seja mantida Para isso deve ser usada a propriedade 4 vista no item anterior Determine fff x y dxdydz em que B é a regiao interna ao paraboloide de equagdo z x y comz 9 SOLUGAO O sdlido B projetado no plano XY forma um circulo de centro na origem e raio 3 que chamaremos de S com equagao x2y 9 conforme a figura Zz eS a wee y xX y 9 xX Fixando o valor de xy a variavel z ira variar do paraboloide até o plano z 9 assim x2y2z79 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dessa forma Mee y dxdydz I sheo yz x y2 dz dxdy 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em z heey x2 ty dz x y Jat yaaz yx y Z2 y2 9 Of Vea x y dz x y x 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto Wan y dxdydz Ss ax y 9x dxdy 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Na qual S 6 0 circulo de equagao x2y2 9 Agora 0 problema caiu na resolugao de uma integral dupla Como ela tem simetria polar mudaremos para variavel polar Lembrando que x pcos e y psen assim p2 x2 y Dsve 9x2y axdy JI 5p 96 pod 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A regiao S em coordenadas polares vale 0 p 3com0 s 6s 277 2773 27 3 Sl p p pdpde J J 96 p dpde J aos 96 pdp Sp 00 1 3 4 3 fp 967 pdode 19 5p Sp 0 0 3 125 243 32417 Sf pQp pdode 27 33 53 217 81 Sp 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Uma das aplicagées da integral tripla 6 o calculo de massa de um solido definido por meio de uma densidade volumétrica de massa Seja um objeto sdlido que possui a forma de uma esfera de equagao x2 y z24 Esse objeto tem uma densidade volumétrica de massa dada por 6x y z x kgm Determine a massa do objeto sabendo que ela pode ser obtida pela integral M ff AX Y ZDXDYDZ Vv 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal SOLUGAO CALCULO DE INTEGRAL TRIPLA Assista ao video para conferir a resolugao da questao MAO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MODULO 2 Calcular a integral tripla em coordenadas cilindricas e esféricas INTRODUGAO Em alguns problemas devido a sua simetria as vezes fica mais facil de se resolver a integral tripla transformando as coordenadas retangulares para coordenadas cilindricas e coordenadas esféricas Este mddulo apresentara o sistema de coordenadas cilindricas e esféricas e o calculo da integral tripla por meio dessas coordenadas INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILINDRICAS Antes de estudarmos o calculo da integral tripla em coordenadas cilindricas vamos definir 0 sistema de coordenadas cilindricas O sistema de coordenadas cilindricas 6 um sistema que permite a representagao de um ponto P no espago por meio de trés coordenadas p 9 z Veja a figura a seguir Zz Pp8Z zZ O y No Xx Qp80 EM QUE z A coordenada z do ponto P representa a cota isto é a distancia entre o ponto P e o plano xy Repare que essa coordenada z 6 a mesma do sistema de coordenadas retangulares xyz O valor de z varia de até Q O ponto Q é a projegao do ponto P no plano XY p Acoordenada p a distancia entre o ponto Q e a origem O O valor de p varia de 0 até 8 A coordenada 8 0 Angulo no plano XY medido no sentido antihorario entre o segmento OQ e 0 eixo positivo x O valor de 8 varia de zero até 2m ATENGAO Observe que as coordenadas p e 8 sao as polares do ponto Q isto sao as coordenadas polares da projegao do ponto P no plano XY A relagao entre o sistema de coordenadas retangulares xyz e o sistema de coordenadas cilindricas pe 0 z pode ser obtida por meio de uma analise geométrica da figura Dessa forma para se converter as coordenadas cilindricas de um ponto para coordenadas retangulares usamos as equaées XPCOSO YPSENOE ZZ 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Igualmente para se converter as coordenadas retangulares de um ponto para as coordenadas cilindricas devem ser usadas as equacoées Y PxXyY ARCTG E ZZ 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Converta as coordenadas do ponto Px yz 1 1 3 para coordenadas cilindricas SOLUGAO parvxt y Vt 12 12 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal y 7 8 5 tgO in 1 como x Oey 0 isto é o ponto P esta no terceiro quadrante do plano XY assim o valor de 0 77 4 Sir E por fim z 3 Portanto Pp 8 z v2 7 3 Converta as coordenadas cilindricas do ponto Pp 0 z 2 s para coordenadas retangulares SOLUGAO 1T 1 X p cos 2 cos 25 1 7 3 y e senO 2 sen 25 3 zz4 Logo Px y Z 1 134 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal As coordenadas cilindricas sao muito utilizadas em problemas do R3 que envolvem simetria em torno de um eixo que colocaremos normalmente como eixo z EXEMPLO Problemas que envolvem um cilindro ou um cone A integral tripla foi definida por meio de uma Soma Tripla de Riemann que usou uma filosofia de dividir o volume de integragao por paralelepipedos com volumes AV AxAyAz usando coordenadas retangulares Para representagao em coordenadas cilindricas 0 sdlido sera dividido em volumes que terao na sua base retangulos polares com area dada por pApaAgs Assim 0 volume de cada sélido sera dado pela area da base vezes a altura dada por A Deste modo a Soma Tripla de Riemann pode ser definida como N M P N M P 2D 202 J02K0F XPp Ypy ZpyJ AXA YyA ZK 2 292 yeg2X K0F Ppp Opp Zpy PAPA OA 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Calculando o limite da Soma Tripla de Riemann ff FX Y 2DXDYDZ if FP Z PDPPDODZ V Vo 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que V 0 volume de integragao em coordenadas retangulares Vc 0 volume de integragao em coordenadas cilindricas Repare que como as integrais sao calculadas em relagao a limites de integragao diferentes tornase necessario um fator de corregao no integrando Para o caso da transformagao de coordenada retangular para cilindrica esse fator valera 0 conforme apresentado na equaao acima A resolugao da integral tripla em integrais iteradas segue 0 mesmo raciocinio apresentado para a integral tripla em coordenadas retangulares Determine a integral SI Wx y dxdydz por meio da integragao em coordenadas cilindricas Sabese que V é o sdlido contido no cilindro de base x2y24ecom0sz5 SOLUGAO ff FX Y ZDXDYDZ fff FP Z PDPPDODZ V Ve 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Como p yx y iC yz ax y fp 9 z p 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A equagao que define o cilindro em coordenadas cilindricas sera Vxys450sps2 V0s0s27 JV0sz5 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim 5212 5272 Sf fle 8 z pdpdédz J Jp pdpdédz p dpdodz Vo 00 0 00 0 5212 5 20 2 1 1 80 I J Jp dpdedz fdz p2ap 6 027 0y32 20 n 00 0 0 0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 4 fhex2 Determine a integral Mie We yazdyde por meio das coordenadas cilindricas 4 RESOLUGAO Sff FX Y ZDXDYDZ fff FP Z PDPDDZ V Vo 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Se analisarmos os limites de integragao da integral em coordenadas cartesianas veremos que V um cone com vértice em 000 com altura 16 e base localizada em z 16 com raio 4 Convertendo 0 volume V para coordenadas cilindricas teremos Vveysz 16 psz 6 JV 45 xs 4e16x2 sys 16 x éumcirculo deraio 40sps4e0s6s2r 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Passando a fungao fx y z y2 para coordenadas cilindricas fe 9 z psen26 Assim 421716 42716 Sff e 8z pdpdédz p2sen p dzddp psen dzdédp Vo 00 p 00 p 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em z mantendo p e 6 constantes 16 16 psen2 dz psen2J dz psen2 2 psen2 169 p p 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Logo 421 il 0 8 z pdpdédz p3sen26 16 paeqp Ve 00 217 4 fl fe 8 z pdodéaz sen26 a0 02 16 p dp Vo 0 2 2mf4 4 1 5 11 27 v J sen d zsen20 ao 549 5 5008 20 17 0 493 41603 p4do 1 alt sl yg tgs 4096 V Ifo 162 dp 160 p dp 16 p a a4 245 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Entao 4096 40961 Il vy FP Z PDPPDODZ Cc 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Outro sistema de coordenadas para representar um ponto no espao é o sistema de coordenadas esférica Antes de estudarmos 0 calculo da integral tripla em coordenadas esféricas vamos definir esse sistema O sistema de coordenadas esféricas um sistema que permite a representagao de um ponto P no espago por meio de trés coordenadas r 6 Veja a figura a seguir Zz Pr8 r g O NW 8 y x Q EM QUE r A coordenada r é a distancia radial do ponto isto 6 a distancia entre o Ponto P e a origem do sistema O O valor de r varia de 0 até Acoordenada é um azimute vertical isto 6é o Angulo entre o segmento OP e 0 eixo positivo do z O valor de varia de zero até T 8 Por fim a coordenada 6 é um azimute horizontal isto é o Angulo que o segmento OQ forma com eixo positivo do x Ele 6 a mesma coordenada 8 do sistema cilindrico O ponto Q é a projegao do ponto P no plano XY A relagao entre o sistema de coordenadas retangulares xyz e o sistema de coordenadas esféricas r g 8 pode ser obtida por meio de uma analise geométrica da figura Assim para se converter as coordenadas esféricas de um ponto para coordenadas retangulares usamos as equagoes XRSEN COSO Y RSEN SENO E ZRCOS 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Da mesma forma para se converter as coordenadas retangulares de um ponto para as coordenadas esféricas devem ser usadas as equacées 4X Y Rx 22 ARCTG E ARCTG 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 6 6 Converta as coordenadas do ponto ls y ToD 1 para coordenadas esféricas SOLUGAO 6 6 a peeyFeea lis pet 42 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal y T 3m tg z0 1 como x Oey 0 isto é o ponto P esta no segundo quadrante do plano XY assim 77 27 Vere 4B 7 tgp FT 13 assim 3 37 1 Portanto Pr g 2 va Converta as coordenadas esféricas do ponto Pr 4 para coordenadas retangulares SOLUGAO 1T Vs 1 2 X rseng cos0 4 sens cosz 45 42 1 1 1 V2 y rseng sen 4 sen senz 45 42 B z rcos 4 cos 4 23 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto Px y Z 2 2 28 As coordenadas esféricas sao muito utilizadas em problemas do R3 que envolvem simetria em torno de um ponto EXEMPLO Problemas que envolvem esferas Para representagao em coordenadas esféricas 0 sdlido sera dividido em volumes que terao a forma de cunhas esféricas O volume da cunha esférica sera dado por Pseng ArAgaAé Assim sendo a Soma Tripla de Riemann pode ser definida como N M P N M P 2 D202 J0 Y KeoF Xpp Ypy Zp AX AY ALK dD jz9250 KeoF Rep Ppy Op RSEN AR 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Calculando o limite da Soma Tripla de Riemann 2 Sff FX Y ZDXDYDZ fff FR 0 R SEN DRDDO V Ve 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que V 0 volume de integragao em coordenadas retangulares Ve 0 volume de integragao em coordenadas esféricas Repare que como as integrais sao calculadas em relagao a limites de integragao diferentes tornase necessario um fator de corregao no integrando Para o caso da transformagao de coordenada retangular para esféricas esse fator valera re seng conforme apresentado na equagao anteriormente apresentada A resolugao da integral tripla em integrais iteradas segue 0 mesmo raciocinio apresentado para a integral tripla em coordenadas retangulares Determine a integral f 8e xyzaV em que V 0 solido contido na esfera x2 y2 z2 4 SOLUGAO A montagem dessa integral em coordenadas retangulares tornaria a sua solugao bastante complicada Em coordenadas esféricas 0 volume V sera representado pelas equagdesO srs 20S0s2r7e0S 987 A fungao fx yz BeVO ty 2 Q a 8e x2 2472 r Sif Be av fff vbe rseng drdpdé Sf v8 Pseng drdpdd 77 1028r eseng drdpde a76 iSsengde ior ef dr 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 V J d2n 0 T sengdg cos0 costr 2 0 2 V Jr edr 0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Resolveremos essa integral usando duas vezes o método de integragao por partes Inicialmente faremos u r du 2rdre dv edr v e Assim 2 2 2 2 free dr 2e aire dr 4e2 2re dr 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Fazendo agora u r du dre dv edr v el Assim 2 2 2 2 2 Jredr re J el dr re e 26 e1 e2 1 0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Entao 2 2 Sr ef dr 4e 2Jre dr 4e26 1 2e72 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Retornando a integral inicial Sf v8e rseng drdgdé 8276 igsengdeI57 e dr 8277 2 22 2 If peveYav oto 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Este mddulo apresentou apenas o caso da mudanga de variavel para coordenadas cilindricas e coordenadas esféricas No entanto a mudanga de variavel na integral tripla pode ser feita de uma forma mais geral O que mudara em cada caso sera 0 fato de corregao que aparecera no integrando por causa da mudanga dos intervalos de integragao As mudangas gerais nao serao abordadas neste tema mas podem ser estudadas em nossa bibliografia SAIBA MAIS Pesquise na internet e nas referéncias bibliograficas a mudanga de variavel em integrais triplas Considere que uma laranja tenha a forma de uma esfera com raio de 4 cm Sabese que a obtencao do volume de um sdlido pode ser feita pela integral tripla V fff dv fff dxdydz Vv Vv 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Considere um gomo da laranja como se fosse uma cunha dessa esfera com abertura de Determine o volume ocupado por este gomo RESOLUGAO INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFERICAS Assista ao video para conferir a resolugao da questao MAO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MODULO 3 Aplicar o conceito de integragao tripla INTRODUGAO Existem varias aplicagées no calculo diferencial e integral com trés variaveis em que a ferramenta da integracao tripla 6 usada Entre essas aplicagdes podemos citar calculo de volume de um sdlido densidades volumétricas momentos e centro de massa de objetos Este mddulo apresentara algumas dessas aplicagées na resolugao de alguns problemas de calculo CALCULO DO VOLUME DE UM SOLIDO A integral tripla foi definida em médulo anterior por meio da Soma Tripla de Riemann ff FX Y ZDxDypzLIM y Ny MSP Flip LAX AY AZ aT 10J0K0 IJK J K B A0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que A0 representa que todas as amplitudes de A x Ayje Az tendem para zero Se fizermos o valor de fxyz 1 temos N M P ff DXDYDZ LIM YOY od peg AXA YAZ 10J0K0 J B A0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que A0 representa que todas as amplitudes de Ax Ay e Az tendem para zero Como estudado a Soma de Riemann sera uma soma de paralelepipedos e quando A0 esse somatorio dos paralelepipedos definidos pelo limite da Soma Tripla de Riemann sera igual ao volume do sdlido B Assim Vp Sif DV fff DXDYDZ B B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Determine 0 volume do conjunto dos pontos do espao B definidos como Bxyz1sxs2 Os ys3e18ZzS 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal SOLUGAO O volume de B sera dado por 231 Ve Sf dv fff dxdydz JJ dzdydx B B 101 231 2 3 1 Veal dzdydx fdziJdyJ dz 21301 1 6 101 1 0 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Verificando que a representagao do sdlido B é um paralelepipedo de lados a 211b303ec112 0 volume seria abc 132 6 Determine o volume de um sdlido V definido pelos pontos interiores ao paraboloide z 4 x2 y para z 20 SOLUGAO O volume V é 0 paraboloide que tem boca virada para baixo que sera obtido por V Sif yaV if yaxdydz 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A projecdo do solido sobre o plano XY é 0 circulo 4 x2 y 0 x2 y24 Para um ponto xy desse circulo o valor de z ira variar de z 0 e0 paraboloide z 4 x2 y Assim 4x y Vfifaxdydz ff dz axdy ff 4 x y Jaxdy Vv co Cc 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Pela simetria polar converteremos a integral dupla na sua forma polar com o circulo tendo a equagado OS p S 2e05 OS 27 Como 4 x y 4p f 4 x y dxdy Jf 4 p pdpae Cc Cp 2n2 2m 2 Sf 4 x yabxdy ji4 p pdpde ao I4p p od Cc 00 0 0 22 1 42 V fff dxdydz 27 20 lo 4P lo 2n8 4 877 V 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dependendo das dimensées de um objeto podemos definir sua massa em relagao a sua dimens4o pela densidade de massa Quando o objeto tiver apenas uma dimensao isto é uma linha a densidade linear de massa sera utilizada 6x medida em kgm Assim cada parte infinitesimal do objeto dl tera massa dada por 5 i Am dm kal lim kgm aco AE dm 6dL 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Desse modo um objeto que tem a dimenso linear e varia desde x a até x b tera massa dada por B MASSA L DM AXDX AXDX L L A 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para o caso de um objeto planar com duas dimensGes a densidade superficial de massa sera definida por 5ii Am dm kal 2 lim s 7 kgm asso 4S dS 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para se obter a massa devemos usar a integragao dupla dm 0 Fs dm odS 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Entao MASSA S ff AX YDS ff AX YDXDY Ss Ss 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para um objeto com trés dimens6es sera definida a densidade volumétrica de massa 5 i Am dm ka 3 lim 7kgm avoo AV 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Se a massa se dividir igualmente em todo volume entao 6 sera uma constante e a massa pode ser obtida multiplicandose 5 pelo volume No entanto quando o volume nao é homogéneo tendo densidade volumétrica de massa diferente em cada ponto teremos MASSA V fff AX Y Z DV fff AX Y Z DXDYDZ V V 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal O exemplo de aplicagao foi dado para grandeza de massa mas pode ser utilizado para diversas grandezas fisicas que podem ser definidas pelas duas densidades como carga elétrica corrente elétrica etc Determine a massa de um soélido na forma de um cubo definido por 0 x 20 ys 2e0 z 2 com densidade volumétrica de massa Ox yZxXtyrz SOLUGAO Massa V fff x y z dxdydz fff xy zdxdydz Vv Vv 222 Massa V JJJx y zdxdydz 000 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Resolvendo inicialmente a integral na variavel z mantendo x e y constantes 7 2 122 152 92 Fxt y zdz x yizie 52 lo x y20 3 2 0 2x 2y2 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Agora resolvendo a integral em y mantendo x constante 2 J2x 2y 2ay 2x Qyyl2 2y2 2x 220 2202 4x 8 sx y 2dy 2x 2ylg 25y 19 2x 22 0 4x 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Por fim resolvendo a integral em x f 244 12 292 J4x 8dx 8x2 45x lo 20 22 0 168 24 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim a massa do sdlido vale 24 A densidade volumétrica de massa também pode ser usada para se obter as coordenadas do centro de massa de um objeto O centro de massa é um ponto hipotético no qual na mecanica classica considerase que toda massa do sistema fisico estara concentrada As coordenadas do centro de massa de um objeto sao obtidas dividindose 0 momento pela massa total Para um objeto com densidade volumétrica de massa dada por 8xyz as coordenadas do centro de massa podem ser obtidas pelas seguintes expressées Sff yxOx yz dxdydz SIS wx yz dxdydz SIS y20x yz dxdydz x y 2 2 m m m 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que m fff ox y zdxdydz Vv 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A seguir vamos analisar a aplicagao das express6ées Determine as coordenadas do centro de massa do cubo da questao anterior SOLUGAO No exemplo anterior foi calculado que a massa valia 24 Sff yxOx yz dxdydz 1 1 x ng SIT VX0 y Z xyz 57 SIS xx y zdxdlydiz 1 1 x salololoxx y zdxdydz salololo x2 xy xzdalyde 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Resolvendo inicialmente a integral na variavel z mantendo x e y constantes 2 2 2 12 2 X52 2 Ix xy xz dz x try 25 x52 x xy20 5 2 0 2 J x2 xy xzdz 2x 2xy 2x 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Agora resolvendo a integral em y mantendo x constante F oy 2 2490y12 2 2 92 2x2 Qxy 2x dy 2x 2xvig 2x5 lo 2x 2x2 0 x2 0 2 J 2x2 2xy 2x dy 4x2 4x 4x 4x 8x 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Por fim resolvendo a integral em x 2 1 22 1 52 4 32 80 2 4y3 y21 53 93 293 2 I ax Bx ox 45x lo 85x lo 32 0 a2 0 16 5 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim 1 1 80 10 y 2f2j2 Li X salololox Zdxdydz 5 5 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal O valor das coordenadas x e z sera semelhante pela simetria do problema 1 1 80 10 Y aglololovix y zdxdyde 343 5 1 222 1 8 10 2 salololozx y Zdxdydz 553 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 10 10 10 Dessa forma o centro de massa esta localizado no ponto x y Z F O momento de inércia quantifica a dificuldade de mudar um estado de rotagao de um objeto em torno de um eixo e de um ponto EXEMPLO Quanto maior for o momento de inércia de um objeto mais dificil sera giralo ou alterar sua rotagao Podemos definir o momento de inércia para um s6lido definido no espaco Seja um objeto no espago com massa dada por sua densidade volumétrica de massa Ox y Z Este objeto esta definido por um volume dado por V Estamos interessados em calcular o momento de inércia desse objeto em relagao aos trés eixos coordenados Dividiremos esse objeto em particulas pontuais de massa dm localizadas em um ponto xyz Dessa forma o momento de inércia em relagao ao eixo sera dado pela distancia ao quadrado de dm ao eixo vezes o valor de dm Se somarmos os momentos de inércia de todas as particulas que compdem o objeto obteremos o momento de inércia do corpo desejado Desse modo teremos O MOMENTO INERCIA EM RELACAO AO EIXO X O MOMENTO INERCIA EM RELACAO AO EIXO Y O MOMENTO INERCIA EM RELACAO AO EIXO Z I I YP 2am fit y2oxy 2dv I 7 27 60 y zbaxdyde Vv Vv Vv 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal I Sf x2 72 am fff x2 72 ovx y zdV fff x2 z ovx y zdxdydz Vv Vv Vv 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 1 fff 22 yam fff 22 y Jovy zaV II x 7 ox y zaxayaz Vv Vv Vv 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Determine 0 momento de inércia em torno dos trés eixos coordenados para o cubo dos exemplos anteriores RESOLUGAO Solugao l fy 72 ovx y zdxdydz BeloY 2x y zdxdydz 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Resolvendo inicialmente a integral na variavel x mantendo y e z constantes 2 2 v Zy z 7 zx dz iv yzzy 2 Y 2x dz 0 1 512 7 y2z zy z x2 Y 2 5x7 2 y2z zy 2 2y7 z 2y3 P2z 2 2yz2 22 227 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Resolvendo agora a integral em y mantendo z constante 2 1 42 1 412 1 912 ay az 2 2y2 228 22 dy 2 Wo 2z2 xy lo 2225 lo 8 40 16 22 227 yi5 8 2z72 4272 44794422 z 822 423 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Por fim resolvendo a integral em z 240 16 40 161 5j2 1 42 1 412 4 2 3 524 252 73 74 5 Zzt 82 4z Joe 3 Zlo 3 52 lo 852 lo 452 lo j w 248224423 dz 24 245 ge t6 432416 phe Se OZ BEE Be 3 373 3 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em relagao aos eixos y e Z 222 l Sf 2 7 oux y zdxdydz JJ J 2 z Jox y zdxdydz Vv 000 222 Sif 2 y oux y zdxdydz JJ 2 y Jox y zdxdydz V 000 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Pela simetria as integrais resultarao no mesmo valor da integral de 224 Assim ly 1 Qual o momento de inércia de um sdlido na forma de um cilindro de raio b e altura h em relagao a um eixo que passa pelo seu centro Sabese que a densidade volumétrica de massa do cilindro vale d em que d é a distancia de um ponto do cilindro ao seu eixo central RESOLUGAO APLICAÇÃO INTEGRAL TRIPLA MOMENTO DE INERCIA Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Este tema apresentou e aplicou o conceito da integral tripla de funções escalares No primeiro módulo definimos a integral tripla e estudamos como se calcula a integral em coordenadas retangulares Vimos que a integral tripla pode ser obtida por meio de três integrais simples iteradas No segundo módulo apresentamos o sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas bem como a representação e o cálculo da integral tripla nesses dois sistemas de coordenadas Por fim vimos exemplos de aplicação de integral tripla no cálculo de volumes no cálculo de massa e centro de massa e no momento de inércia Consideramos que ao fim deste tema você saiba definir e trabalhar com a integração tripla de funções escalares AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS APOSTOL T M Cálculo 2 ed Estados Unidos da América John Wiley Sons 1969 cap 11 p 92416 Vol 2 GUIDORIZZI H L Cálculo 5 ed São Paulo LTC 2013 cap 5 p 105140 Vol 3 STEWART J Cálculo 5 ed São Paulo Thomson Learning 2008 cap 16 p 10201051 Vol 2 EXPLORE Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema pesquise nas referências e na internet CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES