Funcoes de Varias Variaveis Calculo 3 - Guia Completo com Exercicios Resolvidos

CÁLCULO 3 PROF VALDECIR BOTTEGA 1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 11 Funções de Duas Variáveis DEFINIÇÃO 1 Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais Uma função de duas variáveis é uma correspondência que associa a cada par xy em D exatamente um número real denotado por fxy O conjunto D é o domínio de f O contradomínio de f consiste em todos os números reais fxy com xy em D Exemplo 1 Índice de sensação térmica por exemplo se a temperatura é de 50o C e a velocidade do vento é 50 kmh então a sensação térmica será f550 15oC Exemplo 2 Seja f a função dada por fxy 9 x2 y2 Esboce o gráfico de f e exiba os traços nos planos z 0 z 2 z 4 z 6 e z 8 Solução domínio Dxy x2 y2 9 pode ser representado por todos os pontos do círculo x2 y2 9 O gráfico de f tem a equação z 9 x2 y2 Elevendo ao quadrado ambos os lados da equação temos z2 9 x2 y2 ou z2 x2 y2 9 uma esfera de raio 3 mas com z 0 Para achar o traço no plano xy concideramos z 0 e temos x2 y2 9 um círculo de raio 3 No plano xz concideramos y 0 e temos x2 z2 9 um semi círculo de raio 3No plano yz concideramos x 0 e temos y2 z2 9 um semi círculo de raio 3 1 Unindo os três planos temos um esboço do gráfico 4 2 2 4 4 2 2 4 x y x2 y2 9 z 9 x2 y2 12 Curvas de Nível Projetando o traço do gráfico de f no plano x k para o plano xy obtemos uma curva C de equação fxy k Se um ponto xy0 se move ao longo de C os valores fxy são sempre iguais a k C é chamada de curva de nível de f Exemplo 3 Esboce algumas curvas de nível da função do exemplo 2 Solução As curvas de nível são gráficos no plano xy de equações da forma fxy k isto é 9 x2 y2 k ou x2 y2 9 k2 Essas curvas são círculos desde que 0 k 3 Fazendo k 0 5 e 8 obtemos os círculos de raios 32 e 1 4 2 2 4 4 2 2 4 x y Exemplo 4 Descreva o domínio de f ache os valores indicados faça um esboço do gráfico e de três curvas de nível a fxy 4x2 y2 f25 f52 f02 b fuv 6 3u 2v f23 f14 2 a fxy 4x2 y2 b fuv 6 3u 2v 13 Funções com Três Variáveis DEFINIÇÃO 2 Uma função de três variáveis reais é definida analogamente com a diferença que o domínio D é agora um subconjunto de ℜ3 Para cada xyz em D está associado um número real fxyz Exemplo 5 Determine as curvas de superfície da função fxyz x2 y2 z2 exemplo 15 página 895 14 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 1 seja fxy lnx y 1 a Estime f11 b Estime fe1 c Determine o domínio e a imagem de f 2 seja fxy x2e3xy a Estime f20 b Determine o domínio e a imagem de f 3 Descreva a região R no plano xy que corresponde ao domínio da função dada e encontre a imagem da função a fxy 4 x2 y2 R D xyx2 y2 4 Im 02 b fxy 4 x2 4y2 R D xy x2 4 y2 1 Im z ℜ0 z 2 c z x y xy R D xyx 0y 0 Im ℜ d fxy ln4 x y R D xyy 4 x Im ℜ e fxy e xy R D xyy 0 Im ℜ z ℜz 0 4 Descreva as curvas de nível de cada função correspondentes aos níveis c dados a fxy 25 x2 y2 c 0c 3c 5 b fxy xy c 136 3 c fxyz x2 y2 z2 c 9 5 Esboce o gráfico da superfície definida pela função a z 4 x2 y2 b z y2 c z 6 2x 3y d fxy 3 e fxy 1 x y f fxy y g fxy x2 y2 h fxy cosx 6 Trace as curvas de nível de z 1 x2 y2 Esboce o gráfico da superfície definida por esta função Dê o domínio e a imagem 7 Trace as curvas de nível de z 1 2 x2 1 2 y2 Esboce o gráfico da superfície definida por esta função 15 Limites e Continuidade de funções de Duas Variáveis DEFINIÇÃO 3 lim xyabfxy L se para todo 0 existe δ 0 tal que fxy L sempre que xy D e 0 x a2 y b2 δ ou seja fxy L quando xy ab Exemplo 6 Ache lim xy23x3 4xy2 5y 7 Resp 86 Observação Se fxy L1 quando xy ab ao longo do caminho C1 e fxy L2 quando xy ab ao longo do caminho C2com L1 L2 então lim xyabfxy não existe Exemplo 7 Mostre que lim xy00 x2 y2 x2 y2 não existe Solução Aproximando xy 00 ao longo do eixo x tomando y 0fx0 x2 x2 1 posteriormente xy 00 ao longo do eixo y tomando x 0f0y y2 y2 1 Exemplo 8 Mostre que lim xy00 xy x2 y2 não existe use a reta x y DEFINIÇÃO 4 Uma função fxy é dita contínua em ab se lim xyabfxy fab Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto ab de D Exemplo 9 verifique se fxy x3 4xy2 5y 7 é contínua em xy 23 Exemplo 10 Onde a função fxy x2 y2 x2 y2 é contínua Exemplo 11 Onde a função gxy x2 y2 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 é descontínua 4 17 Lista de Exercícios 2 Calcule os limites a lim xy00 x22 3xy R 2 3 g lim xy00 x2 x2y2 R Não existe b lim xy π 2 1 y1 2cosx R 1 h lim xy00 xycosy 3x2y2 R Não existe c lim xy00 x4 y4 x2 y2 R 0 i lim xy00 xy x2y2 R 0 d lim xy00 3x32x2y3y2x2y3 x2y2 R 0 j lim xy00 2x2y x4y2 R Não existe e lim xyz231 y24y3 x2zy3 R 1 2 k lim xy00 x2y2 x2y21 1 R 2 f lim xy52x5 4x3y 5xy2 R 2025 2 DERIVADAS PARCIAIS Da definição de derivada fx para uma função de uma variável temos fx dfx dx lim Δx0 fx Δx fx Δx Exemplo 1 Calcule a derivada da função y 1 x2 Calcule o valor dessa derivada para x 1 Esboce o gráfico da função y e interprete o valor da derivada no ponto 12 Bem como estamos estudando funções de duas variáveis o que representa a derivada de uma função de duas variáveis Consideremos uxy para xy que varia numa determinada região do plano xy uma função que representa a temperatura de uma placa retangular Observe que a temperatura em cada ponto da placa depende da posição do ponto Observe também que x e y podem ambas variar ou pode uma variar e a outra ficar fixa Assim podemos considerar a taxa de variação em relação a cada uma das variáveis independentes Ou seja podemos considerar a taxa de variação de u em relação à x enquanto y permanece constante e a taxa de u em relação a y enquanto x permanece constante Essa idéia conduz ao conceito de derivadas parciais Definição de derivadas parciais primeiras de f em relação a x e y como as funções fx e fy tais que fxxy f x lim Δx0 fx Δxy fxy Δx e fyxy f y lim Δy0 fxy Δy fxy Δy Exemplo 2 Se fxy 3x2 2xy y2 ache a fxxy e fyxy b fx32 e fy32 21 Interpretação das Derivadas Parciais Exemplo 3 Seja fxy 4 x2 2y2 ache fx11 e fy11 5 Observação 1 Valem para derivadas parciais fórmulas análogas às das funções de uma variável Por exemplo se u fxy e v gxy então x uv u v x v u x e x uv v u x u v x v2 Exemplo 4 Encontre w y se w xy2exy Aplicando a regra do produto para u xy2 e v exy obtemos w y x2y2 2xyexy Exemplo 5 Se w x2y3 sinz exz ache w x w y e w z Resp w x 2xy3 sinz zexz w y 3x2y2 sinz w z x2y3 cosz xexz 22 Derivadas Parciais Segundas NOTAÇÃO fxx x f x 2f x2 e fyy y f y 2f y2 221 DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS TEOREMA 1 Seja f uma função de duas variáveis x e y Se ffxfyfxy e fyx são contínuas em uma região aberta R então fxy fyx em toda região R fyx x f y 2f xy e fxy y f x 2f yx Exemplo 6 Determine as derivadas parciais de segunda ordem de fxy x3 x2y3 2y2 23 Equações Diferenciais Parciais Exemplo 7 Uma função de temperatura de estado estacionário z zxy para uma placa plana satisfaz a equação de Laplace quando 2z x2 2z y2 0 Determine se as funções a seguir satisfazem a equação de 6 Laplace a z 5xy b z ex siny 24 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 1 Em um dia claro a intensidade de luz solar em velaspés às t horas após o nascente e à profundidade oceânica de x metros pode ser aproximada por Ixt I0ekx sin3 πt D em que I0 é a intensidade ao meiodia D é a extensão do dia em horas e k é uma constante positiva Se I0 1000 D 12 e k 010 calcule e interprete I t e I x quando t 6 e x 5 Resposta It56 0 e Ix56 6065 velaspésm 2 Se um gás tem densidade de ρ0 gramas por centímetro cúbico a 0C e 760 milímetros de mercúrio mm então sua densidade a TC e pressão P mm é ρTP ρ0 1 T 273 760 P gcm3 Quais são as taxas de variação da densidade em relação à temperatura e à pressão Resposta ρTTP 760ρ0 273P gcm3C e ρPTP 760ρ0 P2 1 T 273 gcm3mm 3 A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula I V R2 L2w2 em que I é a corrente V a voltagem R a resistência L a indutância e w uma constante positiva Ache e interprete I R e I L Resposta IR VR R2 L2w23 AΩ e IL VLw2 R2 L2w23 AH 4 Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas a fxy 3x2y 4x3y2 fxxx fyyy R fxxx 24y2 fyyy 0 b fxy 3x4 2x2y xy y2 fxx12 R fxx12 44 c fxy sin2xcos3y fxyx R fxyx 12sin2xsin3y d fxy x y23x2 fyxy10 R fyxy10 12 e fxy xsin23y fxyx R fxyx 0 f fxy y x fxxx11 R fxxx11 6 g fxy 3x2 y x y2 R fxx 6y2 y 2xy x y4 5 Mostre que cada uma das funções dadas satisfaz a equação do calor z t c2 2z x2 a z et cos xc b z et sin xc 6 Uma corda fixada nas extremidades esticada ao longo do eixo x é posta em vibração Com base em conceitos físicos é possível mostrar que o deslocamento representado pela função y yxt onde xt representa a corda na posição x e no instante t satisfaz a equação unidimensional da onda 2y t2 a2 2y x2 onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda Mostre que as funções que seguem satisfazem essa equação a yxt sinkxcoskat k a são constantes R 2y t2 k2a2 sinkxcoskat 2y x2 k2 sinkxcoskat Como 2y t2 a2 2y x2 a equação yxt sinkxcoskat satisfaz a equação da onda 7 b yxt cosh3x at R 2y t2 9a2 cosh3x 3at 2y x2 9cosh3x 3at Como 2y t2 a2 2y x2 a equação yxt cosh3x at satisfaz a equação da onda c z sinx at d z sinwatsinwx 7 Mostre que cada uma das funções dadas satisfaz a equação de Laplace 2z x2 2z y2 0 a uxy x2 y2 R 2u x2 y2 x2y2 x2y2 2u y2 x2 x2y2 x2y2 Como 2u x2 2u y2 0 a equação uxy x2 y2 não satisfaz a equação de Laplace b uxy ex siny R 2u x2 ex siny 2u y2 ex siny Como 2u x2 2u y2 0 a equação uxy ex siny satisfaz a equação de Laplace c z 5xy d z ex siny 8 Verifique que wxy wyx a w x3e2y y2 cosx R wxy wyx 6x2e2y 2y3 sinx b w x2 cosh zy R wxy wyx 2xz y2 sinh zy c w x2 x y R wxy wyx 2x2y 2xy2 x y4 9 Ache todas as derivadas parciais segundas de f a fxy x3y2 2x2y 3x R fxx 6xy2 4y fyy 2x3 fxy fyx 6x2y 4x b z x2y 3y2x R zxx 2y zyy 6x zxy zyx 2x 6y c u 4x2y 3x2y2 xy x2 y2 R uxx 8y 6y2 2 uyy 6x2 2 uxy uyx 8x 12xy 1 d z sinxcosy R zxx zyy sinxcosy zxy zyx cosxsiny e z x2 y23 R zxx 6x2 y22 24x2x2 y2 zyy 6x2 y22 24y2x2 y2 zxy zyx 24xyx2 y2 f fxy x2 cosxy R 2z x2 2cosxy 4xsinxyy x2cosxyy2 2z y2 x4 cosxy z yx 3x2 sinxy x3cosxyy 2z xy 3x2 sinxy x3cosxyy 10 Considere wxyz xsinyz Calculewxy121wyzxyzwzx121 R wxyxyz zcosyz wx121 1cos2 041615 wyzxyz xcosyz xyzsinyz wzxxyz ycosyz wzx121 2cos2 83229 8 11 Mostre que qualquer função dada por w sinaxcosbye a2b2 z satisfaz a equação de Laplace em três dimensões 2w x2 2w y2 2w z2 0 12 Se u vsecrt ache urvr r v u r Lembre que dsecx dx secxtanx e dtanx dx sec2x R t2 secrtsec2rt tan2rt 13 Considere a função produção fxy 60x 3 4 yque fornece o número de unidades de determinados bens produzidos sendo utilizadas x unidades de mão de obra e y unidades de capital Calcule fx8116 R fy8116 405 8 Essas quantidades são chamadas de produtividade marginal de mão de obra e produtividade marginal de capital fxy 60x 3 4 y 1 4 fxxy 45y 1 4 x 1 4 14 Resolva os exercícios ímpares do número 13 ao 45 do livro Cálculo James Stewart volume 2 páginas 917 a 920 Respostas ímpares 9 25 A REGRA DA CADEIA Se f e g são funções de uma variável real tais que w fu e u gx então a função composta de f e g é w fgx Aplicando a regra da cadeia temos dw dx dw du du dx Exemplo 8 Calcule a derivada de 1 y cos2x R y 2cosxsenx 2 y sen34x R y 12sen24xcos4x 3 y e2x R y 2e2x 4 y ln2x2 R y 2 x 5 y e3x3x2 13 R y 3e3x3x2 13 18xe3x3x2 12 Sejam fg e h funções de duas variáveis tais que w fuv com u gxy e v hxy então a função composta é w fgxyhxy Por exemplo se w u2 usinv com u xe2y e v xy então w x2e4y xe2y sinxy DEFINIÇÃO 1 Se w fuv com u gxy e v hxy e se fg e h são diferenciáveis então w x w u u x w v v x e w y w u u y w v v y Exemplo 9 Dada w ln u2 v2 com u xey e v xey calcule w x e w y R wx 1 x e wy e2y e2y e2y e2y Generalizando a regra da cadeia temos para uma função de n variáveis x1x2xn cada uma delas função de outras m variáveis y1y2ym Supondo que as derivadas parciais existam xi yj com i 12n e j 12m então 10 u y1 u x1 x1 y1 u xn xn y1 u y2 u x1 x1 y2 u xn xn y2 u ym u x1 x1 ym u xn xn ym Observação 2 A regra da cadeia generalizada envolve tantos termos no segundo membro de cada equação quantas forem as variáveis intermediárias Exemplo 10 Seja z uv uw vw onde u x v xcost e w xsint Encontre z x e z t R zx 2xcost sint sintcost e zt x2cost sint cos2t sin2t Observação 3 Supondo que z seja uma função diferenciável de duas variáveis x e y e ambas as funções diferenciáveis de uma única variável t então em vez da derivada parcial de z em relação a x teremos a derivada ordinária de z em relação a t z t z x x t z y y t Exemplo 11 Se z u2 2uv v2 com u xcosx e v xsinx ache dz dx R 2x1 2sinxcosx xcos2x xsin2x 26 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 1 Use a regra da cadeia para achar w z se w r2 sv t3 com r x2 y2 z2 s xyz v xey e t yz2 Resposta 4zx2 y2 z2 x2yey 6y3z5 2 Use a regra da cadeia para achar dw dt se w x2 yz com x 3t2 1 y 2t 4 e z t3 Resposta 44t3 12t2 12t 3 Ache as derivadas parciais usando a regra da cadeia a z u2 v2 u cosxcosy e v sinxsiny Resposta zx 2sinxcosxsin2y cos2y e zy 2sinycosysin2x cos2x b z sinuv u 2xey e v y2ex Resposta zx 2y2eyx cos2xy2eyx1 x e zy 2xyeyx cos2xy2eyxy 2 c w uev u tan1xyz e v ln3xy 5yz Lembre que d dx tan1x 1 1 x2 Resposta wx 1 3xy 5yz yz 1 xyz2 tan1xyz3y 3xy 5yz wy 1 3xy 5yz xz 1 xyz2 tan1xyz3x 5z 3xy 5yz wz wy 1 3xy 5yz xy 1 xyz2 tan1xyz5y 3xy 5yz 11 d z sin13u v u x2ey e v sinxy Lembre que d dx sin1x 1 1 x2 Resposta zx 6xey ycosxy 1 3x2ey sinxy2 e zy 3x2ey xcosxy 1 3x2ey sinxy2 4 Ache a derivada total dz dx usando a regra da cadeia a w u2 v2 z2 u tanx v cosx e z sinx R w tanxsec2x tan2x 1 b z veu uev u cosx e v sinx R z ecosxcosx sin2x esinxcos2x sinx c w uv uz vz u xcosx v xsinx e z x R w x2 sin2x x2 cos2x x2 sinx x2 cosx 2xsinxcosx 2xcosx 2xsinx 5 Seja w x z y z onde x cos2t y sin2te z 1 t calcule w t 3 Veja que você precisa calcular as seguintes derivadas parciais w t w x x t w y y t w z z t w t 1 z 2sintcost 1 z 2sintcost xy z2 1 t2 w t 2tsintcost 2tsintcost cos2t sin2tt2 1 t2 w t 1 w t 3 1 12 6 Resolva os exercícios ímpares do número 1 ao 25 do livro Cálculo James Stewart volume 2 página 936 R 13 27 DERIVADA DIRECIONAL Se f é uma função das variáveis x e y então podem ser definidas suas derivadas parciais fx e fy que representam respectivamente a taxa de variação de f na direção do eixo x e a taxa de variação de f na direção do eixo y O conceito de derivada parcial pode ser generalizado a fim de que possa ser obtida a taxa de variação de uma função em qualquer direção do plano onde ela está definida Essa idéia resulta no conceito de derivada direcional A derivada direcional que representa a taxa de variação numa determinada direção pode ser entendida como uma combinação das derivadas parciais ou seja das taxas de variação nos eixos coordenados Para obter a taxa de variação de f no ponto x0y0 na direção e sentido de um vetor unitário u ab consideramos o ponto Px0y0z0 O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta a superfície S em uma curva C A inclinação da reta tangente T a C em P é a taxa de variação de f na direção e sentido de u Observe na figura que PQ hu hahb para algum valor do escalar h Dessa forma x x0 ha y y0 hb logo x x0 ha y y0 hb e Δz h z z0 h fx0 hay0 hb fx0y0 h tomando h 0 obtemos a derivada direcional de f em x0y0 na direção e sentido do vetor unitário u ab Dufx0y0 lim h0 fx0 hay0 hb fx0y0 h se este limite existir TEOREMA 1 Se fxy tem derivadas parciais contínuas de primeira ordem num círculo com centro em x0y0 então para qualquer vetor unitário u u1u2 Dufx0y0 existe e é dada pela fórmula Dufx0y0 f x x0y0u1 f y x0y0u2 Prova Definindo gh fx0 hay0 hb fxhyh g0 lim h0 gh g0 h lim h0 fx0 hay0 hb fx0y0 h Dufx0y0 Usando a regra da cadeia g g x dx dh g y dy dh fxxya fyxyb e g0 fxx0y0a fyx0y0b Dufx0y0 Exemplo 12 Determine a derivada direcional da função fxy x2y3 4y no ponto 11 na direção do vetor u 2 i j Resp Duf11 3 5 14 Exemplo 13 Qual é a derivada de x2y5 no ponto 31 na direção do vetor de origem 31 e extremidade 43 Resp Duf31 174 17 Observação 4 Como o vetor unitário formando um ângulo θ com o vetor i é u cosθ i sinθ j a derivada de f em x0y0 nessa direção e nesse sentido pode ser escrita na forma Dufx0y0 f x x0y0cosθ f y x0y0sinθ Exemplo 14 Ache a derivada direcional de x3 5x2y em 21 na direção que faz um ângulo π 4 rad com a orientação positiva do eixo dos x Resp Duf21 26 2 Exemplo 15 Se fxy yexy ache a derivada direcional em 00 na direção de u 4 i 3 j Resp Duf00 3 5 Exemplo 16 A temperatura de um disco metálico é dada por Txy 25 x2y21 Calcule a taxa de variação da temperatura no ponto 11 a na direção do eixo x b na direção que forma 30o com o eixo x c na direção que forma 40o com o eixo y d na direção do vetor 2i j Solução a A taxa de variação de T na direção do eixo x em 11 é dada pela derivada parcial na direção do eixo x ou seja Tx11 50 121212 5 5556 b a taxa de variação da temperatura no ponto 11 na direção que forma 30o com o eixo x é a derivada na direção do vetor cos 30oi sen30oj que é dada pelo vetor 3 2 i 1 2 j assim a taxa de variação de T na direção que forma 30o com o eixo x no ponto 11 é 25 3 25 9 5 3668 c a taxa de variação da temperatura no ponto 11 na direção que forma 40o com o eixo y é a derivada na direção do vetor cos 50oi sen50oj pois na definição de derivda direcional o ângulo da direção é considerado o menor ãngulo que o vetor forma com o eixo x considerando o sentido antihorário como positivo que é dada pelo vetor 0642i 076j assim a taxa de variação de T na direção que forma 40 com o eixo y no ponto 11 é 779 d a taxa de variação da temperatura no ponto 11 na direção do vetor 2ij é 10 5 9 28 Vetor Gradiente Observação 5 A derivada direcional pode ser expressa como o produto escalar dos vetores u a i b j e fxxy i fyxy j Este último vetor é denominado gradiente de f gradf fxy fxxy i fyxy j Dada uma função como pode ser obtido o seu vetor gradiente num dado ponto Por exemplo se fxy x3e2y qual seu vetor gradiente no ponto 12 15 O gradiente de uma função define uma função vetorial ou seja uma função que a cada ponto de ℜ2 associa um vetor Para entender melhor essa idéia esboce alguns vetores que representem a função vetorial definida pelo gradiente da função z x2 2y2 Ou seja calcule o gradiente de z para 4 pontos por exemplo 111111 e 11 Em cada um desses pontos desenhe seu respectivo vetor gradiente Observe que para cada ponto do plano está associado um vetor gradiente embora você tenha desenhado apenas quatro deles Uma função vetorial como a função gradiente é chamada de campo vetorial Da observação 5 sabese que a taxa de variação de uma função numa dada direção depende do produto escalar entre gradiente e vetor direção Nesse sentido a taxa de variação de uma função numa dada direção depende do ângulo entre o vetor gradiente e o vetor direção Essa maneira de interpretar a derivada direcional é útil para resolver diversos problemas dessa área Utilize essa maneira de entender a derivada direcional para determinar a taxa de variação da função hxy xy no ponto 13 na direção do vetor 2 i j Quando se calcula a derivada direcional de uma função num ponto dado dependendo da direção o valor da derivada taxa de variação pode ser assumir diferentes valores Em muitas situações o interesse está em encontrar a direção na qual a taxa de variação valor da derivada naquele ponto é máxima Ou seja dentre as infinitas possibilidades de direção a partir de um ponto dado qual aquela que fornece a taxa máxima de variação Lembrese de que a taxa de variação de uma função num dado ponto depende do angulo entre o vetor gradiente e o vetor direção nesse ponto Isso porque a derivada direcional é definida pelo produto escalar entre esses vetores Relembre o conceito de produto escalar Com base nisso conclua que a taxa de variação máxima ocorre na direção e sentido do vetor gradiente Analogamente a taxa nula ocorre na direção perpendicular à do gradiente e a taxa mínima ocorre na mesma direção e sentido oposto ao do gradiente Considere a função fxy xey Determine em que direção ocorre a taxa máxima de variação de f no ponto 20 Encontre também o valor dessa taxa máxima de variação Resp taxa máxima de variação de f em 20 é 5 e ocorre na direção do vetor i 2 j 281 PROPRIEDADES DO GRADIENTE Seja f diferenciável no ponto xy 1 Sefxy 0 então Dufxy 0 para todo u 2 A direção de crescimento máximo de f é dada por fxy O valor máximo de Dufxy é fxy 3 A direção de crescimento mínimo de f é dada por fxy O valor mínimo de Dufxy é fxy Exemplo 17 Uma chapa de metal está situada em uma região plana de modo que a temperatura T expressos em graus F em xy seja inversamente proporcional à distância da origem e a temperatura em P34 é 100o F Nessas condições encontre em P a a taxa de variação de T em p na direção de iy 16 b a direção em que T aumenta mais rapidamente c a direção em que T decresce mais rapidamente d a direção em que T é nula a taxa de variação de T em p na direção de iy é 28 2 Pelo enunciado a temperatura é dada por Txy k x2y2 onde k é uma constante de proporcionalidade como a temperatura em P34 é 100o F então T34 k 3242 100 daí k 500 dai Txy 500 x2y2 Assim a a direção em que T aumenta mais rapidamente é dada pelo vetor T 34 12i 16j b a direção em que T decresce mais rapidamente é dada pelo vetor T 34 12i 16j c a direção em que T é nula é a direção perpendicular ao T 34 12i 16j considerando essa direção ab então devemos ter o produto escalar de ab pelo vetor 12i 16j igual a zero ou seja a 4 3 b assim a direção onde a derivada é zero é dada por múltiplos do vetor 1 4 3 ou pelo versor 3 5 4 5 Analogamente obtemos a direção do vetor 1 3 4 como outra direção onde a taxa é nula que também pode ser expressa pelo versor vetor unitário 4 5 3 5 Exemplo 18 Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado a fxy x2 3xy y2 P42 Resp 2 17 b fxy y x P42 Resp 17 2 c fxy ycosx y P0 π 3 Resp aproximadamente 1 29 LISTA DE EXERCÍCIOS 5 1 Encontre a derivada direcional de fxy 3x2 2y2 em 13 na direção e sentido de P 13 a Q 12 Resp 48 29 2 Encontre a derivada direcional da função dada na direção de v em P a fxy 3x 4xy 5y P12 v 1 2 i 3 j Resp 3 5 2 b fxy xy P23 v i j Resp 5 2 2 c fxy x2 y2 P34 v 3 i 4 j Resp 7 25 d fxy ex siny P1 π 2 v i Resp e e fxyz xy yz xz P111 v 2 i j k Resp 2 6 3 2 Seja fxyz x2 y2 z2 e os pontos P231 e Q314 a Ache a derivada de f em P na direção de P para Q Resposta A derivada de f em P na direção de P para Q é dada pelo produto escalar do gradiente de f em P pelo vetor direção unitarizado 17 fP 231 1 14 a direção de P para Q é dada pelo vetor 525 a derivada de f em P na direção de P para Q é 7 2 21 b ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em P e determine o valor dessa taxa de crescimento Resposta O vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em P é o vetor gradiente que nesse caso é unitário O valor da dessa taxa no caso é 1 3 A temperatura em uma região do plano é dado por Txy 100 x2y2 a Se a partir do ponto 12 nos movermos no sentido positivo do eixo x a temperatura aumenta ou diminui Justifique tua resposta b Em que ponto ab a temperatura vale 45oC sabendo que a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y sentido positivo nesse ponto é igual a 12oCcm c Calcule o gradiente da temperatura em 34 Solução Determine a partir do ponto 12 a direção em a temperatura permanece constante a Se nos movermos no sentido positivo do eixo x a partir do ponto 12 temos a derivada de T na direção do eixo x em 12 que é a derivada parcial de T em relação a x em 12 Seu valor é 8 portanto nessa situação a temperatura diminui pois o valor da derivada é negativo b O ponto ab onde a temperatura vale 45oC é dado por Tab 100 a2b2 45 ou seja a2 b2 100 45 20 9 Nesse ponto a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y sentido positivo é igual a 12 então Tyab 12 200b a2b22 Então temos duas equações e duas incógnitas a2 b2 20 9 12 200b a2b22 Resolvendo temos que b 8 27 e a 2 27 389 4 A temperatura em graus Celsius na superfície de uma placa metálica é dada por Txy 20 4x2 y2 onde x e y são medidos em polegadas Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente no ponto 23 Qual a taxa de crescimento Resp f 166 e f 17 5 Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado a fxy xtany P2 π 4 Resp tany i xsec2y j 17 b fxyz x2 y2 z2 P142 Resp x i y j zk x2 y2 z2 1 6 O potencial elétrico V em xyz é dado por V x2 4y2 9z2 a Ache a taxa de variação de V em P213 na direção de P para a origem Resp A taxa de variação de V em P213 na direção de P para a origem é dada pela derivada de V em P na direção do vetor 2i j 3k que é o produto escalar de 4854 213 1 14 178 14 DuV213 178 14 b Ache a direção que produz a taxa máxima de variação de V em P 18 Resp a taxa de variação de V é máxima em P na direção do vetor gradiente de V em P que é a direção do vetor 4854 V 4854 c Qual é a taxa máxima de variação em P Resp O valor dessa taxa máxima é o módulo desse vetor que é V 2996 5474 7 A superfície de um lago é representada por uma região D no plano xy de modo que a profundidade em metros sob o ponto xy é fxy 300 2x2 3y2 Em que direção um bote em P49 deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente Resp f 1654 e f 1654 8 A temperatura T em xyz é dada por T 4x2 y2 8z2 a Ache a taxa de variação de T em P121 na direção de i 3j 2k Resp DuT121 12 14 b Em que direção T aumenta mais rapidamente em P Resp T 8416 c Qual é esta taxa máxima de variação Resp T 1833 d Em que direção T decresce mais rapidamente em P Resp T 8416 9 Seja fxy 3 x 3 y 2 Encontre um vetor v ortogonal ao f32 e determine a taxa de variação de f na direção de v e interprete o significado geométrico desse valor encontrado É possível generalizar esse resultado ou seja a taxa de variação de uma dada função na direção perpendicular ao gradiente é sempre nula Justifique sua resposta com base em argumentos da teoria Resp v 3 13 1 e Dvf 0 10 Considere a função dada por gxy 2x2 y3 para xy pares de números reais No ponto 11 qual o valor da taxa de variação máxima e em que direção ela ocorre Resp 5 na direção do vetor 43 11 Dada a função hxy x2ey para xy pares de números reais Estando no ponto 10 em que direção a taxa de variação é amáxima bnula cmínima Resp a 21 b 12 e 12 c 21 12 A temperatura T em C em qualquer ponto da região 10 x 10 10 y 10 é dada pela função Txy 100 x2 y2 a Esboce curvas isotérmicas curvas de temperatura constante para T 100 CT 75 CT 50 C T 25 C e T 0 C b Suponha que um inseto que procura calor é colocado em qualquer ponto do plano xy Em qual direção ele deveria moverse para aumentar sua temperatura mais depressa Como se relaciona a direção com a curva de nível por esse ponto 210 Máximos e mínimos para função de várias variáveis Pesquisa de máximos e mínimos locais de funções reais a duas variáveis reais definidas em regiões abertas do plano z fxy Os máximos e mínimos locais estarão entre os pontos xy que satisfazem à condição de primeira ordem 19 f x 0 e f y 0 Pontos críticos Para decidir se estes pontos são máximos ou mínimos locais usase a condição de segunda ordem Seja xy um ponto crítico ou seja um ponto que satisfaz às condições de primeira ordem Seja Hxy o determinante Hessiano H fxx fxy fyx fyy onde todas as derivadas parciais devem ser calculadas em xy 1 Se H 0 e fxx 0 então xy é mínimo local 2 Se H 0 e fxx 0 então xy é máximo local 3 Se H 0 então xy é ponto de sela f não tem nem máximo nem mínimo local Exemplo 19 Examine a função fxy x4 4xy y4 1 para máximos e mínimos fx 4x3 4y fy 4y3 4x igualando estas duas derivadas a zero obtemos as equações x3 y 0 e y3 x 0 substituindo y x3 da primeira equação na segunda obtemos x9 x xx8 1 xx4 1x4 1 xx2 1x2 1x4 1 e existem 3 raízes reais x 011 Os três pontos críticos são 00 11 e 11 Agora calculando as segundas derivadas fxx 12x2 fxy 4 fyy 12y2 H fxxfyy fxy 2 144x2y2 16 H00 16 0 então 00 é ponto de sela H11 128 0 e fxx11 12 0 então 11 é mínimo local e f11 1 H11 128 0 e fxx11 12 0 então 11 é mínimo local e f11 1 Exemplo 20 Examine a função fxy 1 x2 y2 para máximos e mínimos Resp 00 é ponto de sela Exemplo 21 Examine a função fxy 25 x y4 y 14 para máximos e mínimos Resp 11 nada se pode afirmar 211 Máximos e mínimos vinculados Multiplicadores de Lagrange Máximos e mínimos condicionados da função z fxy quando x e y estão submetidos ao vínculo gxy k São obtidos da porção xy das soluções xyλ do sistema que descreve as condições de primeira ordem fxy λgxy onde λ 0 20 Exemplo 22 Ache os máximos e mínimos se houver de fxy xy sujeita à restrição x2 y2 8 Solução Para obter as três equações de Lagrange procedemos da seguinte maneira Fxyλ xy x2 y2 8λ Calcule as derivadas parciais em relação a x e y fx y gx 2xλ fy x gy 2yλ x2 y2 8 Isolando λ nas duas primeiras equações obtemos λ y 2x λ x 2y ou seja y 2x x 2y 2y2 2x2 y2 x2 Fazendo y2 x2 na terceira equação obtemos x2 x2 8 2x2 8 x2 4 x 2 Se x 2 a equação x2 y2 leva a y 2 ou y 2 Se x 2 a equação x2 y2 também leva a y 2 ou y 2 Assim os quatro pontos em que podem ocorrer extremos com restrições são 222222 e 22 Como f22 f22 4 e f22 f22 4 temos que o valor máximo de fxy é 4 que ocorre nos pontos 22 e 22 e o valor mínimo é 4 que ocorre nos pontos 22 e 22 Observação Máximos e mínimos condicionados têm aplicação em diversas áreas como por exemplo Em economia uma empresa pode tentar maximizar seus lucros mas só pode produzir de acordo com as propriedades técnicas de sua função produção Em engenharia podese precisar adequar a curva de resposta de um determinado componente eletrônico para otimizar seu rendimento porém está amarrado a esta otimização a faixa de temperatura de operação do mesmo Até mesmo em nosso diaadia este problema persiste geralmente precisamos maximizar a utilidade de nossos bens de consumo porém não podemos comprar combinações de bem que excedam nossa renda 212 LISTA DE EXERCÍCIOS 6 1 Se fxy x2 4xy y3 4y ache os extremos locais e os pontos de sela de f Resp 42 ponto de mínimo e 4 3 2 3 ponto de sela 2 Ache os extremos e os pontos de sela de fxy x3 3xy y3 Resp 00 ponto de sela e 11 ponto de mínimo 3 Dada a equação fxy xy x2 y2 2x 2y 4 Determine os pontos de valor máximo minimo local ou ponto de sela Resp máximo local em 22 4 Encontre todos os máximos locais mínimos locais e pontos de sela da função fxy 4xy x4 y4 Resp ponto de sela em 00 e máximo local em 11 e 11 5 A temperatura na superfície de uma placa de metal é dada pela equação Txy 8y3 12x2 24xy Determine os pontos onde a temperatura atinge valor máximo minimo local ou ponto de sela Resp Nada se pode afirmar 6Resolva os exercícios ímpares do número 5 ao 11 da página 959 e 3 ao 11 da página 968 do livro Cálculo Volume 2 James stewart 21 Respostas 213 Exercícios Complementares 7 1 Mostre que u sinx at lnx at é solução da equação da onda utt a2uxx 2 Use a regra da cadeia para determinar dz dt se z x2 y2 com x e2t e y e2t Resp z 2e4t e4t e4t 2e4t e4t e4t 3 Se fxyz xsinyz determine a o gradiente de f Resp f sinyz i xzcosyz j xycosyzk b a derivada direcional de f no ponto 130 na direção do vetor u i 2 j k Resp Duf130 3 6 4 Dê o domínio da função fxy 16 x2 16y2 Resp xy ℜ2 x2 16 y2 1 5 Ache todas as derivadas parciais segundas de z x2 y24 Resp zx 8xx2 y23 zy 8yx2 y23 zxx 8x2 y23 48x2x2 y22 zyy 8x2 y23 48y2x2 y22 zxy zyx 48xyx2 y22 22 6 A temperatura num ponto xyz é dada por Txyz 200ex23y29z2 onde T é medido em graus Celsius e xyz em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P212 em direção ao ponto 333 Resp DuT212 10400e43 6 b Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P Resp T e4380012007200 c Encontre a taxa máxima de crescimento em P Resp 1 5531 1015 7 Determine os domínios das funções e faça o esboço dos domínios a fxy x y 1 x 1 Resp D xy ℜ2y x 1 e x 1 b fxy xlny2 x Resp D xy ℜ2y2 x 8 Faça o esboço das curvas de nível da função fxy xy para c 1 1 2 1 5 9 Verifique se u ln x2 y2 é solução da equação de Laplace bidimensional uxx uyy 0 Resp uxx y2 x2 x2 y22 e uyy x2 y2 x2 y22 10 Utilize a regra da cadeia para determinar z s e z t se z exy tany x s 2t e y s t Resp zs s t e s2 2st t tan s t 1 t s 2te s2 2st t tan s t e s2 2st t sec2 s t zt 2 s t e s2 2st t tan s t s t2 s 2te s2 2st t tan s t e s2 2st t sec2 s t 11 Encontre a derivada de fxyz x3 xy2 z em P0110 na direção de v 2 i 3 j 6k Em que direção f varia mais rapidamente em P0 e qual é a taxa de variação máxima Resp Duf 8 7 f110 221 e f 3 12 Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela se houver da função fxy xy x3 y2 Resp ponto de sela em 00 e máxilo local em 1 6 1 12 23 3 Integrais Múltiplas 31 Área de uma Região Plana Definição Seja uma função contínua nãonegativa y fx Estudaremos a região A limitada inferiormente pelo eixo x à esquerda pela reta x a à direita pela reta x b e superiormente pela curva y fx 1 2 3 4 5 10 05 00 05 10 x y Podemos tentar a aproximação da área A tomando retângulos inscritos ou circunscritos A somatória das áreas de cada retângulo pode ser usada como uma aproximação para a área desejada A altura de cada retângulo é o valor da função fx para algum ponto t ao longo da base do retângulo Escolhemos Δx para a base de cada retângulo A área será aproximadamente igual ao somatório Sn ft1Δx ft2Δx ftnΔx Sn i1 n ftiΔx quando usamos n retângulos com base Δx e ti como um ponto ao longo da base do iésimo retângulo Observação Quanto menor escolhermos a largura Δx melhor será a aproximação da área sob a curva Quando Δx 0 o número de termos n da somatória de aproximação Sn aumenta De fato quando Δx 0 n e a somatória Sn se aproxima da área exata A sob a curva Este processo pode ser simbolizado por lim nSn A A Integral Definida A área definida acima é chamada a integral de f no intervalo ab a qual é indicada com o símbolo a b fxdx Por definição a b fxdx lim n i1 n ftiΔx Quando este limite existe dizemos que a função f é integrável no intervalo ab TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Para calcularmos o valor da integral definida usamos o 2o Teorema Fundamental do Cálculo que faz a relação entre a integral indefinida e a integral definida 24 Seja f contínua no intervalo fechado ab e F uma função tal que Fx fx para todo x ab Então a b fxdx Fxa b Fb Fa Exemplo 1 Calcule 1 2 x3dx Resposta 15 4 Exemplo 2 Calcule 3 6x2 2xdx Resposta 36 32 Integração Múltipla Lembrese que uma função de duas variáveis está definida numa região do plano xy que pode ser o próprio R2 Dessa forma parece natural considerar a integral de f definida numa região do plano xy Nesse caso as partições para definir a integral são pequenos retângulos Exemplo 3 Calcule o volume aproximado do solido que esta acima do quadrado R 02x02 e abaixo do paraboloide z 16 x2 2y2 2 2 1 1 11 12 22 131 71 101 41 34 i j i j V f x y A f A f A f A O Volume é chamado a integral dupla de f no retângulo R é por definição 1 1 lim m n ij ij m n i j R f x y dA f x y A onde dA dydx 321 Integrais Repetidas ou Iteradas A idéia para calcular a integral dupla de uma dada função é considerar uma das variáveis fixa e variar a outra Para entender essa idéia consideraremos uma região do plano bem simples um retângulo R de pontos de coordenadas xy tal que a x b e c y d Desenhe essa região para você entender melhor Seja fxy uma função contínua para os pontos desse retângulo e fxy 0 para xy R Se considerarmos x fixo e y variando de c à d então f é uma função só de y e então podemos definir c d fxydy que é a integral simples de uma variável que resulta numa função de x Vamos chamar o valor dessa integral de Ix ou seja Ix c d fxydy Esse valor representa a área de uma fatia do sólido de base R e 25 altura f Veja se você visualiza essa região Faça um esboço para ver se você entendeu Podemos agora definir a b Ixdx cujo valor é o volume do sólido de base R e altura f Sendo assim a integral dupla pode ser calculada por integrais iteradas ou integrais parciais da seguinte forma R fxydydx a b Ixdx a b c d fxydy dx Exemplo 4 Calcule a integral dupla Rx 3y2dydx na região R xy0 x 21 y 2 Solução Rx 3y2dydx 0 2 1 2x 3y2dydx 1 2 0 2x 3y2dxdy a Calculando 0 2 1 2x 3y2dydx para obter os extremos observe que a integral interna depende de y portanto vamos examinar a região considerando x fixo e y variando Qual a variação de y para cada x fixo Veja que para cada x fixo na região y varia de y 1 à y 2 portanto são esses os extremos da integral interna Para a integral externa vamos pensar de forma análoga Nesse caso x varia e y está constante examinamos a região perguntando como x varia para cada y fixo Para cada y fixo x varia de x 0 à x 2 e então esses são os extremos da integral externa b Para 1 2 0 2x 3y2dxdy calculamos primeiramente a integral interna em x e posteriormente a integral externa em y a 2 2 2 2 0 1 2 2 3 0 1 2 2 2 0 0 3 3 7 7 2 12 R y y x y dA x y dy dx xy y dx x x dx x b 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 0 2 2 2 3 1 1 3 3 3 2 2 6 2 2 12 R x x x y dA x y dxdy x xy dy y dy y y De forma mais geral a b g1x g2x fxydydx e c d h1y h2y fxydxdy Exemplo 5 Vamos calcular agora a integral da função fxy 2 x 2y para valores de xy da região limitada por y 1 1 2 x y 1 2 x e x 0 x 1 Desenhe essa região no plano xy Para encontrar os extremos observe que y varia de y 1 2 x à y 1 1 2 x para cada x fixo e que x varia de x 0 à x 1 para varrer toda a região Ou seja temos 0 1 1 2 x 1 1 2 x2 x 2ydydx 26 1 1 2 0 2 1 1 2 2 2 0 2 2 2 2 D x x y x y x V x y dA x y dy dx y xy y dx 2 2 2 1 0 1 2 0 1 3 2 0 2 1 1 2 2 2 4 2 1 3 1 3 x x x x x x x dx x x dx x x x Observação Os limites de integração interiores podem ser funções da variável de integração exterior mas os limites de integração exteriores não podem depender de nenhuma das variáveis Exemplo 6 Calcule 1 2 0 x2xy 3dydx R 334 Exemplo 7 Calcule 1 4 1 2 2x 6x2ydydx R 234 322 Cálculo do Volume Observe que se f é positiva para os pontos de R então o valor da integral dupla pode ser interpretado como o volume do sólido que tem por base R e altura f Isto está relacionado a interpretação geométrica da integral dupla V R fxydA Em cada caso Desenhe o sólido em R3 definido pelos gráficos das funções Identifique qual a região é base no plano xy do sólido e desenhea Identifique também a função que dá a altura do sólido Escreva a integral dupla cujo valor é o volume do sólido Calcule o valor do volume do sólido Lembrese Se f é contínua definida para x e y tal que fxy 0 para todo xy em R então a integral R fxydA fornece o valor do volume da região abaixo do gráfico de f e acima de R Assim para calcular os volumes solicitados é preciso analisar com atenção esses aspectos Confira a seguir os passos principais da resolução em cada caso Esteja atento para entender o que está sendo feito Exemplo 8 Calcule o volume da região limitada por z 1 x2 y 0 z 0 y 3 Solução Base do sólido retângulo limitado por x 1 x 1 y 0 e y 3 Altura do sólido cilindro z 1 x2 O volume do sólido é dado por V 0 3 1 1 1 x2dxdy Exemplo 9 Calcule o volume da região limitada por x 2y z 4 e os planos coordenados Solução Base do sólido triângulo limitado por x 2y 4 e os eixos coordenados Altura do sólido plano z 4 x 2y O volume do sólido é dado porV 0 4 0 4x 2 4 x 2ydydx 27 33 Lista de Exercícios 8 1 Calcule a integral repetida de a 0 1 0 2x ydydx R 3 b 1 2 0 4x2 2y2 1dxdy R 203 c 0 1 0 1y2 x ydxdy R 23 d 0 2 0 4y2 2 4 y2 dxdy R 4 e 0 1 0 x 1 x2 dydx R 13 2Resolva os exercícios ímpares do número 3 ao 23 da página 992 e 24 ao 29 da página 993 do livro Cálculo Volume 2 James stewart R 3Resolva os exercícios ímpares do número 7 ao 12 da página 1000 do livro Cálculo Volume 2 James 28 stewart R 34 Integrais Duplas em Coordenadas Polares Vamos ver agora como definir e calcular uma integral dupla quando o integrando e a região são expressos em coordenadas polares Isso será útil pois em muitas aplicações é mais simples e mais fácil utilizar coordenadas polares ao invés de cartesianas Isso acontecerá especialmente quando as regiões consideradas são limitadas por circunferências ou trechos delas As coordenadas polares no espaço também são denominadas de coordenadas cilíndricas O centro do subretangulo polar Rij rθri1 r riθj1 θ θi tem coordenadas polares ri ½ri1 ri e θj ½θj1 θj para calcular a área de Rij usamos o fato de que a área de um círculo de raio r e ângulo θ é ½r2θ Subtraindo as áreas de dois setores cada um deles com ângulo central θ θj θj1 descobrimos a área de Rij 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 i i i i i i i i i i A r r r r r r r r r r θ θ θ θ θ As coordenadas retangulares do centro de Rij são ri cosθj ri sinθj Assim a soma de Riemann é 1 1 1 1 cos sin cos sin m n i j i j i i j m n i j i j i i j f r r A f r r r r θ θ θ θ θ 29 Definição Se f é uma função contínua de r e θ em uma região plana R fechada e limitada então a integral dupla de f em R em coordenadas polares é dada por cos sin b a R f x y dA f r r r dr d β α θ θ θ ou R frθdA R frθrdrdθ Para transformar uma integral expressa em coordenadas cartesianas numa integral em coordenadas polares ou para escrever uma integral dupla em coordenadas polares é preciso identificar a região do plano na qual a integral está definida bem como a função que está sendo integrada A próxima etapa é expressar a região e a função em coordenadas polares lembrando que dA dydx dxdy rdrdθ x rcosθ y rsinθ r2 x2 y2 tgθ y x Para identificar os extremos da integral é preciso analisar a região R examinando como varia r para cada valor fixo de θ e qual a variação de θ para que a região toda seja abrangida Exemplo 10 Calcule R 3x 4y2dA onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x2 y2 1 and x2 y2 4 2 2 2 2 0 1 2 2 3 2 0 1 3 4 2 2 1 0 3 4 3 cos 4 sin 3 cos 4 sin cos sin R r r x y dA r r r dr d r r dr d r r d π π π θ θ θ θ θ θ θ θ θ 2 0 15 2 0 0 7cos 15sin 7cos 1 cos2 15 15 7sin sin 2 2 4 15 2 d d π π π θ θ θ θ θ θ θ θ θ π Exemplo 11 Determine o volume do sólido limitado pelo plano z 0 e pelo parabolóide z 1 x2 y2 Como 1 x2 y2 1 r2 o volume é 2 1 2 2 2 0 0 2 1 3 0 0 1 2 4 0 1 1 2 2 4 2 D V x y dA r rdrd d r r dr r r π π θ θ π π Exemplo 12 Determine a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas r cos2θ 30 4 cos2 4 0 4 2 cos 2 1 0 2 4 4 2 1 2 4 4 1 4 4 4 1 1 4 4 4 cos 2 1 cos4 sin 4 8 D A D dA r dr d r d d d π θ π π θ π π π π π π π θ θ θ θ θ θ π θ θ 35 Lista de Exercícios 9 1 Calcule a integral dupla e esboce a região R a 0 2π 0 6 3r2 sinθrdrdθ R 0 b 0 π2 2 3 9 r2 rdrdθ R 5 5 π 6 2 Use uma integral dupla para encontrar a área da região indicada r 6cosθ 2 4 6 3 2 1 0 1 2 3 x y R 9π b r 1 cosθ 1 2 10 05 05 10 x y R 3π 2 3Resolva os exercícios ímpares do número 7 ao 27 da página 1006 Cálculo Volume 2 James stewart 31 R 4 CÁLCULO VETORIAL 41 Campos Vetoriais DEFINIÇÃOUm campo vetorial em três dimensões é uma função F cujo domínio D é um subconjunto de ℜ3 Fxyz Mxyz i Nxyz j Pxyzk onde MN e P são funções escalares O nome campo está relacionado ao fato do gráfico dessa função ser constituído por vetores Analogamente um campo vetorial definido numa região do plano é uma função que associa a cada ponto xy um vetor Fxy Mxy i Nxy j Alguns exemplos de campos vetoriais campos de força eletromagnéticos ou gravitacionais e campos de velocidade do ar de fluídos em movimento Um campo pode ser representado geometricamente esboçandose para cada ponto o vetor que lhe é associado com origem nesse ponto e tamanho igual ao módulo desse vetor Exemplo 13 Descreva o campo vetorial F se Fxy y i x j e em seguida se Fxy x i y j 32 Ponto Vetor associado 11 11 12 21 11 11 12 21 Desenhe esses pontos e vetores num sistema coordenado no plano e veja como fica a visualização geométrica de um campo vetorial Para desenhar os vetores para esses pontos inicialmente identifique o ponto e desenhe o vetor associado a cada um deles com origem no ponto 4 2 2 4 4 2 2 4 x y Analise o comportamento do gráfico obtido Ou seja examine como os vetores se comportam em cada ponto considerado como variam comprimento direção e sentido que são as características de um vetor em cada ponto Exemplo 14 a e b Exemplos de camplos vetoriais em 3D a b c Campos Gradientes página 1058 O gradiente de uma função fxy fxxy i fyxy j define uma função vetorial ou seja uma função que a cada ponto de ℜ2 associa um vetor Portanto a função gradiente é um campo vetorial Exemplo 15 Determine o vetor gradiente de fxy x2y y3 fxy fxxy i fyxy j 2xy i x2 3y2 j A figura c acima mostra o mapa de contorno de f com o campo de vetor gradiente 33 42 Lista de Exercícios 10 1Resolva os exercícios ímpares do número 1 ao 14 e 21 ao 26 da página 1059 Cálculo Volume 2 James stewart 34 43 Integrais de Linha DEFINIÇÃO Uma curva plana é um conjunto C de pares ordenados ftgt em que f e g são funções contínuas em um intervalo I DEFINIÇÃO Seja C uma curva que consiste em todos os pares ordenados ftgt onde f e g são funções contínuas em um intervalo I As equações x ft e y gt para t em I são as equações paramétricas de C com parâmetro t 431 Parametrização de Curvas no Plano e no Espaço Uma curva no plano é um conjunto de pontos no caso pares ordenados relacionados por meio de uma função Assim uma curva C no plano é um conjunto de pontos que pode ser assim representado C xyy fx ou xfxx R Analogamente uma curva no espaço é um conjunto de pontos ternas ordenadas relacionadas por meio de uma função Assim uma curva C no espaço é um conjunto que pode ser assim representado C xyzz fxy ou xyfxyxy R Muitas vezes em situações de aplicações uma curva pode representar o movimento de uma partícula no plano ou no espaço Nesse caso é necessário representar as coordenadas da curva em função de um parâmetro Ou seja as coordenadas x y z são representadas por meio de funções xt yt e zt Essa representação é chamada de representação paramétrica da curva que também pode ser chamada de caminho Exemplo 16 Por exemplo uma partícula percorre a curva C representada pelo trecho do gráfico da função y x2 para 1 x 2 Então uma parametrização dessa curva é dada por xt t yt t2 1 x 2 Ou ainda C tt21 t 2 que é a representação paramétrica do caminho C Sua representação geométrica é dada pela figura abaixo 1 0 1 2 1 2 3 4 x y Exemplo 17 Considere agora o caminho C cuja parametrização é dada por x t y t 1 0 t 3 desenheo antes de continuar Para desenhar esse caminho observe quey x 1 pois x t e y t 1 Logo esse caminho é a reta y x 1 para x no intervalo 03 Veja a figura abaixo 35 4 2 2 4 4 2 2 4 6 x y Importante Uma curva pode ser representada por mais de uma parametrização É possível que duas curvas se interceptem sem que duas partículas que as percorram colidam isso por que o parâmetro t que representa o tempo pode ser diferente nos pontos onde as curvas se interceptam Exemplo 18 Trace o gráfico da curva C de equações x 2t e y t2 1 com 1 t 2 Tangentes e Comprimentos de Arco TEOREMA Se uma curva suave C é dada parametricamente por x ft e y gt então o coeficiente angular dy dx da tangente à C em Pxy é dy dx dydt dxdt desde que dx dt 0 Exemplo 19 Seja C a curva parametrizada por x 2t y t2 1 1 t 2 Determine os coeficientes angulares da tangente e da normal à C em Pxy Resp tangente t e normal 1 t Exemplo 20 Seja C a curva parametrizada por x t3 3t y t2 5t 1 t ℜ Ache a equação da tangente a C no ponto correspondente a t 2 Resp y x 61 9 432 Comprimento de Arco TEOREMA Se uma curva suave C é dada parametricamente por x ft e y gt com a t b e se C não intercepata a si própria exceto possivelmente em t a e t b então o comprimento S de C é S a b ft2 gt2 dt a b dx dt 2 dy dt 2 dt Exemplo 21 Ache o comprimento da curva x 5t2 y 2t3 0 t 1 Resp 543 433 Diferencial de Comprimento de Arco ds dx2 dy2 dx dt 2 dy dt 2 dt 434 Teorema de Cálculo para Integrais Curvilíneas Integrais de Linha Se uma curva suave C é dada por x gt y ht a t b e se fxy é contínua em uma região D contendo C então 36 i C fxyds a b fgtht gt2 ht2 dt ii C fxydx a b fgthtgtdt iii C fxydy a b fgththtdt Exemplo 22 Calcule C2 x2yds onde C é a metade superior do círculo unitário Solução O círculo unitário pode ser parametrizado por x cost y sent no intervalo 0 t π 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 3 2 3 0 2 2 cos sin 2 cos sin sin cos 2 cos sin cos 2 2 3 C dx dy x y ds t t dt dt dt t t t t dt t t dt t t π π π π π Exemplo 23 Calcule C 2xds onde C é a curva y x2 de 00 a 11 seguido pelo segmento de reta vertical de 11 a 12 Solução A curva C1 pode ser parametrizado por x x y x2 no intervalo 0 x 1 A curva C2 pode ser parametrizado por x 1 y y no intervalo 1 y 2 1 2 2 1 0 1 2 0 1 32 2 1 2 4 3 0 2 2 2 1 4 1 4 5 5 1 6 C dx dy x ds x dx dx dx x x dx x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 C x ds dx dy dy dy dy dy 1 2 2 2 2 5 5 1 2 6 C C C xds x ds x ds 37 44 Lista de Exercícios 11 1Resolva os exercícios ímpares do número 1 ao 16 e 19 ao 22 da página 1070 Cálculo Volume 2 James stewart R 45 Teorema Fundamental para as Integrais de Linha Integrais Curvilíneas 451 Campo Vetorial Conservativo Alguns exemplos de campos vetoriais conservativos campos gravitacionais magnéticos e elétricos O termo conservativo vem da lei clássica da física relativa à conservação de energia Essa lei diz que a soma da energia cinética com a energia potencial de uma partícula movendose em um campo de forças conservativo é constante A energia cinética de uma partícula é a energia devida ao movimento enquanto sua energia potencial é a energia devida à sua posição no campo de forças Teste para Campos Vetoriais Conservativos no Plano Suponha que M e N têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um disco aberto R O campo vetorial Fxy M i N j é conservativo se e somente se N x M y Exemplo 24 Determine se o campo vetorial Fxy x y i x 2 j é ou não conservativo N x 1 M y 1 portanto não conservativo 38 Exemplo 25 Determine se o campo vetorial Fxy 3 2xy i x2 3y2 j é ou não conservativo N x 2x M y portanto conservativo Teste para Campos Vetoriais Conservativos no Espaço Suponha que M N e P têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas no interior Q de uma esfera no espaço O campo vetorial Fxyz M i N j Pk é conservativo se e somente se Fxyz 0 Da mesma forma F é conservativo se e somente se P y N z P x M z e N x M y DEFINIÇÃO Um campo vetorial F é conservativo se Fxyz fxyz para alguma função escalar que também pode ser denominada campo escalar ou função potencial f Ou seja o gradiente de um campo escalar é um campo vetorial Observação i x j y k z f f x i f y j f z k Observação Quando um campo é conservativo é possível encontrar sua função potencial Exemplo 26 Se Fxyz y2 i 2xy e3z j 3ye3z k determine uma função f tal que Fxyz fxyz fxxyz y2 fyxyz 2xy e3z fzxyz 3ye3z integrando fxxyz y2 com relação a xtemos fxyz xy2 gyz que derivando com relação a y resulta fyxyz 2xy gyyz e comparando com a derivada obtida anteriormente temos fyxyz 2xy e3z 2xy gyyz logo gyyz e3z Portanto gyz e3z hz analoganete obtemos hz k e fxyz xy2 ye3z k 452 Independência do Caminho Teorema 1 Se Fxy Mxy i Nxy j é contínua em uma região conexa D então a integral curvilínea C F dr é independente do caminho se e somente se F é conservativo ou seja Fxy fxy para alguma função escalar f Teorema 2 Seja Fxy Mxy i Nxy j contínua em uma região conexa D e seja C uma curva parcialmente suave em D com extremidades Ax1y1 e Bx2y2 Se Fxy fxy então C Mxydx Nxydy x1y1 x2y2 F dr fxyx1y1 x2y2 Exemplo 27 Seja Fxy 2x y3 i 3xy2 4 j a Mostre que C F dr é independente do caminho Resp fxy x2 xy3 4y b Calcule 01 23 F dr Resp 66 Teorema 3 Se Mxy e Nxy têm derivadas parciais primeiras contínuas em uma região simplesmente conexa D então a integral curvilínea C Mxydx Nxydy é independente do caminho em D se e somente se M y N x Observação O teorema vale para uma função de três variáveis Se Mxyz Nxyz e Pxyz têm derivadas parciais primeiras contínuas em uma região simplesmente conexa D então a integral curvilínea C Mxyzdx Nxyzdy Pxyzdz é independente do caminho em D se e somente se 39 M y N x M z P x N z P y Exemplo 28 Mostre que a integral curvilínea C e3y y2 sinxdx 3xe3y 2ycosxdy é independente do caminho em uma região simplesmente conexa Observação Se F xyz tem derivadas parciais primeiras contínuas em toda uma região simplesmente conexa D então as condições seguintes são equivalentes i F é conservativo isto é F f para alguma função escalar f ii C F dr é independente do caminho em D iii C F dr 0 para toda curva fechada simples C em D Exemplo 29 Prove que se Fxyz 3x2 y2 i 2xy j 3z2 k então F é conservativo 46 Lista de Exercícios 12 1Resolva os exercícios ímpares do número 12 ao 21 da página 1080 Cálculo Volume 2 James stewart R 47 O Teorema de Green Esse teorema estabelece uma relação entre a integral de linha ao longo de uma curva fechada simples C e 40 a integral dupla sobre a região cuja fronteira é limitada pela curva C Dessa forma ele é um meio de converter integrais de linha definidas em curvas fechadas simples de campos não conservativos em integrais duplas Sendo assim esse teorema pode ser útil para analisar e estudar processos que relacionem o contorno de uma região com o domínio pontos internos dessa região Diante do que já estudamos podemos dizer que quando o campo F é um campo conversativo a integral de linha de F ao longo de um percurso fechado é nula Quando não é conservativo muitas vezes é mais conveniente utilizar o teorema de Green para calcular a integral de F ao longo de um caminho fechado Seja C uma curva fechada simples parcialmente suave e seja R a região que consiste em C e seu interior Se M e N são funções contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em toda uma região D contendo R então C Mdx Ndy R N x M y dA onde denota uma integral curvilínea ao longo de uma curva fechada simples C Uma curva deste tipo constitui a fronteira de uma região R do plano xy e por definição a orientação ou direção positiva ao longo de C é tal que R esteja sempre à esquerda Exemplo 30 Calcule C x4dx xydy onde C é o triângulo constituído pelos segmentos de reta de 00 a 10 de 10 a 01 e de 01 a 00 4 1 1 0 0 1 2 1 1 0 2 0 1 2 1 2 0 1 3 1 1 6 6 0 0 1 1 C D x y x y Q P x dx xy dy dA x y y dydx y dx x dx x Observação Com o teorema de Green podese achar a área A de uma região R delimitada por uma curva fechada simples parcialmente suave C Fazendo M 0 e N x temse A C xdy R dA Mas se M y e N 0 temse A C ydx R dA Combinando as duas fórmulas temse a terceira fórmula do próximo teorema Teorema Se uma região R do plano xy é delimitada por uma curva fechada simples parcialmente suave C então a área A de R é A C xdy C ydx 1 2 C xdy ydx Exemplo 31 Use o teorema acima para achar a área da elipse x2 a2 y2 b2 1 utilizando a parametrização x acost e y bsint com 0 t 2π 41 1 2 2 1 2 0 2 0 cos cos sin sin 2 C A x dy y dx a t b t dt b t a t dt ab dt ab π π π Observação O teorema de Green pode ser estendido a uma região R que contenha buracos desde que integremos sobre toda a fronteira mantendo sempre a região R à esquerda de C A integral dupla sobre R é igual à soma das integrais curvilíneas ao longo de C1 e C2 A soma de duas integrais ao longo da mesma curva e em direções opostas é zero 48 Lista de Exercícios 13 1Resolva os exercícios ímpares do número 1 ao 14 da página 1087 Cálculo Volume 2 James stewart R 42 49 Rotacional e Divergência DEFINIÇÃO Seja Fxyz Mxyz i Nxyz j Pxyzk onde MN e P têm derivadas parciais em alguma região O rotacional de F que mede a direção e magnitude da circulação do vento dentro de um tornado por exemplo é dado por rotF F i j k x y z M N P P y N z i M z P x j N x M y k Exemplo 32 Se Fxyz xz i xyz j y2 k determine o rotacional de F 2 2 2 curl 2 0 0 2 x y z xz xyz y y xyz y z y xz xyz xz x z x y y xy x yz y x x yz i j k F F i j k i j k i j k DEFINIÇÃO Seja Fxyz Mxyz i Nxyz j Pxyzk com MN e P com derivadas parciais em alguma região A divergência de F é a derivada de F por exemplo se F representa a velocidade de partículas em movimento a divergência mede a taxa do fluxo de partículas por unidade de volume em um ponto É denotada por divF ou F dada por divF F M x N y P z Exemplo 33 Se Fxyz xz i xyz j y2 k ache F 2 div xz xyz y x y z z xz F F 43 410 Lista de Exercícios 14 1Resolva os exercícios ímpares do número 1 ao 21 da página 1094 Cálculo Volume 2 James stewart R 44 411 O Teorema de Stokes 4111 Integrais de superfície Se uma superfície S com forma parametrica z gxy então a integral de fxyz sobre a superfície S num domínio D é S fxyzds D fxygxy gxxy2 gyxy2 1 dA onde dS gxxy2 gy 2 1 dA Exemplo Calcule S yds onde S é a superfície z x y2 0 x 1 0 y 2 S yds 0 1 0 1 y 1 4y2 1 dA 13 2 3 4112 Teorema de Stokes Seja o campo vetorial Fxyz Mxyz i Nxyz j Pxyzk sobre a superfície S fxy então temos C F dr S rotF dS Exemplo 34 Use o teorema de Stokes para calcular a integral de S rotF dS onde Fxyz xzi yzj xyk e S é a parte da esfera x2 y2 z2 4 que esta dentro do cilindro x2 y2 1 e acima do plano xy Solução Subtraindo x2 y2 1 de x2 y2 z2 4 obtemos z2 3 ou seja z 3 Então C é a circunferência dada pelas equações x2 y2 1 e z 3 A equação vetorial de C é rt costi sentj 3 k 0 t 2π e rt senti costj e temos também Frt 3 senti 3 costj costsentk Portanto pelo teorema de Stokes S rotF dS C F dr 0 2π Frt rtdt 0 2π 3 costsent 3 sentcostdt 3 0 2π 0dt 0 Observação Seja Fxyz Mxyz i Nxyz j Pxyzk sobre a superfície fxyz z gxy 0 então temos S F dS R M zxy x N zxy y PdA 412 Lista de Exercícios 15 45 1Resolva os exercícios ímpares do número 1 ao 11 da página 1122 Cálculo Volume 2 James stewart R 46 413 O Teorema da Divergência Gauss Seja Q uma região em três dimensões delimitada por uma superfície fechada S e denotemos por n o vetor normal unitário exterior a S em xyz Se F é uma função vetorial dotada de derivadas parciais contínuas em Q então S F dS Q FdV isto é o fluxo de F sobre S é igual à integral tripla da divergência de F sobre Q Exemplo 35 Encontre o fluxo do campo vetorial Fxyz zi yj xk sobre a esfera unitária x2 y2 z2 1 div 1 z y x x y z F 3 4 3 div 1 4 1 3 S B B F dS dV dV V B π π F 414 Lista de Exercícios 16 1Resolva os exercícios ímpares do número 1 ao 11 da página 1129 Cálculo Volume 2 James stewart R 47